Econometria - gli schemi di aggiustamento

L rispetto ad ed uguagliando a zero si ottieneDerivando la yt+ = +*c y c y c y c y −1 t 2 t 1 t 2 t 1+ = + + −*( c c ) y c y ( c c ) y c y− −1 2 t 1 t 1 2 t 1 1 t 1+ − = −*( c c )( y y ) c ( y y )− −1 2 t t 1 1 t t 1 γ= +schema di aggiustamento parzialecioè lo (3.1.1) se si pone .c c c( )1 1 2è spesso determinato come funzioneIl valore desiderato della variabile yt(deterministica) di una o più variabili osservate. Nel caso lineare di una solavariabile si haxt = α + β (3.1.3)*y xt tper cui, sostituendo nella (3.1.1), si ottiene=(1−γ) +αγ+βγ + (3.1.4)y y x ut t−1 t tschema del tutto simile a quella del Koyck salvo per la mancanza del residuo=αγ =(1−γ), eritardato. Ovviamente, i coefficienti del modello (3.1.4) sono a a0 1=βγ.a2 β=1 nella (3.1.3). A talIn certi casi può essere utile verificare l'ipotesi nulla H

Possiamo riscrivere la (3.1.4) nella forma 3-2Modulo VI – Modelli dinamici– =αγ+γ( – + (3.1.5)y y x y x u)+γ(β–1)t t–1 t t–1 t t=γ(β–1), sia uguale a zero, supponendo e verificando l'ipotesi che il parametro di x atγ≠1.

Osservazione 3.1 - Lo schema di aggiustamento (3.1.1) detto del primo-* come variabile esplicativa. Ci possono essere, ma sono scarsamente utilizzati schemi di aggiustamento di ordine superiore al primo.

Osservazione 3.2 - Gli schemi di aggiustamento parziale sono spesso usati per rappresentare situazioni di disequilibrio, ma non sempre si adattano ai dati.

La passeggiata aleatoria γ=0

Se lo schema (3.1.1) diventa = + (3.1.6)y y ut t–1 t

La passeggiata aleatoria (senza deriva). È in effetti uno schema autoregressivo del primo ordine, sebbene il processo sia non stazionario.

Talvolta lo schema (3.1.6),

molto utilizzato in economia, è esteso con l'aggiunta di una intercetta = +μ+ (3.1.7)y y ut t-1 tpasseggiata aleatoria con deriva .ed in tal caso è chiamatoLa combinazione dell'aggiustamento parziale con le attese adattive*In molte situazioni il valore desiderato nella (3.1.3) è funzione di una variabiley teattesa x t = α + β (3.1.8)* ey xt t* può rappresentare il consumo permanente, funzione lineare delAd esempio y treddito permanente atteso.In questo caso la (3.1.4) diventa- - γ = αγ + βγ +eL y x u[1 (1 ) ] t t te sostituendovi la !?Random walk , in inglese.1 Drift, in inglese.2 3-3Modulo VI – Modelli dinamici=(1-λ +(1-λL L y L x L u(1-λ )[1-(1-λ) ] )αγ+βγ(1-λ) )t t tcioè =(1-λ +(1-λL L y L x L u(1-λ )[1-(1-λ) ]

)αγ+βγ(1−λ) )t t to ancora=(1+λ−γ) −λ(1−γ) +(1−λ)αγ+βγ(1−λ) + −λy y y x u ut t−1 t−2 t t t−1i cui parametri sono stimati con il vincolo= + λ − γ = − γ −^{c c1 11 4} = − λ − γ = − γc c(1 ) (1 )^{2 4}ovverossia = −c c c c/1 2 4 4 3-4Modulo VI – Modelli dinamici3.2 Aggiustamento parziale moltiplicativoSe nelle (3.1.1) e (3.1.3) sostituiamo alle variabili i loro logaritmi, eccetto che nelresiduo, otteniamo (3.2.1)*y y= γ ⋅ +t tln ln u ty y− −1 1t t= α + β (3.2.2)*y xln lnt tschema di aggiustamento parziale moltiplicativo .che rappresenta unoSostituendo, si ottiene l'equazione=αγ+(1−γ)ln +βγln + (3.2.3)y y x uln t t−1 t tche possiamo scrivere nella forma= + + +

(3.2.4)y a a y a x uln ln lnt 0 1 t−1 2 t t, e parametri da stimare.con a a a0 1 2Elasticità di breve lungo periodo elasticità di breve

Dalla (3.2.3) si trae immediatamente l' periodo della rispettoytalla xt ∂ ln y (3.2.5)= βγ =η = t a 2b ∂ ln x tmentre quella di lungo periodo può essere calcolata tramite la (3.2.2), ipotizzando=* . Allorache nel lungo termine sia y yt t η =β (3.2.6)lSe l'aggiustamento è immediato le due elasticità sono uguali.Un secondo modo per ottenere l'elasticità di lungo periodo è quello di ipotizzare= , costante cioè nel tempo. In questo caso la (3.2.4) diventay yt t−1 a (3.2.7)a 1= + +0 2ln ln x uy t t t− − −1 1 1a a a1 1 1η =ed è a a/(1− )=β.l 2 1 3-5Modulo VI – Modelli dinamici3.3 Aggiustamento reale o nominale della monetaEsemplifichiamo quanto illustrato in precedenza con un modello di

aggiustamentoparziale per la moneta, con il quale verificare le due ipotesi seguenti:

1. la moneta si aggiusta secondo lo schema (3.2.1);
2. se vale la !? per la moneta, l'aggiustamento è reale (l'ipotesi alternativa è che l'aggiustamento sia nominale).

Sia la moneta desiderata data da (3.3.1)*m = β + β + βtln ln y r0 1 t 2 tp tdove =* quantità di moneta nominale desiderata,m t =p livello dei prezzi,t =w reddito reale,t tasso dell'interesse.=rt e a semi-elasticitàLa (3.3.1) è una funzione ad elasticità costante rispetto a wtcostante rispetto ad . Si suppone che non vi sia illusione monetaria.rtUtilizzando lo schema di aggiustamento (3.2.1) in termini reali si ottiene (3.3.2)*/ /m p m p= γ · +t t t tln ln u t/ /m p m p− − − −1 1 1 1t t t te combinando questo con la (3.3.1) si perviene ad una relazione del tutto simile alla(3.2.4) mm (3.3.3)−= + + + +t t 1ln ln ln ua a w a r

at t t0 1 2 3 pp −t t 1=β γ =0,1,2 =1−γDove per e .a i ai i 3Se lo schema di aggiustamento (3.2.1) viene utilizzato in termini nominali si ha

m m= γ ⋅ +t tln ln u tm m− −t t1 1che combinata con la (3.3.1) determina l'equazione seguente

= + + + + − + (3.3.4)ln m a a ln w a r a ln m (1 a ) p u−t 0 1 t 2 t 3 t 1 3 t tdove valgono le posizioni relative alla (3.3.3). 3-6

Modulo VI – Modelli dinamiciUtilizziamo una procedura standard che permette di scegliere tra due teorie,ciascuna delle quali rappresentata da una equazione. La procedura si basa sullacostruzione di una equazione che includa le due e che si riduca all'una o all'altramediante l'annullarsi di alcuni parametri.Dunque, lo schema di aggiustamento reale (3.3.3) può essere scritto nella formam m (3.3.5)p−= + + + + +t t 1 1ln a a ln w a r a ln a ln ut t t0 1 2 3 4p p p −t t t 1= , e lo schema di aggiustamento nominale (3.3.4)

Dove a_a34 nella m m (3.3.6)-1= + + + +t tln a a ln w a r a ln ut t t0 1 2 3p pt t =

Allora l'equazione (3.3.5) ingloba lo schema di aggiustamento reale se ; ea a3 4=0 ingloba il nominale se . Pertanto, una volta stimata la (3.3.5) si verificano lea4 seguenti ipotesi, ottenendo le risposte ai quisiti iniziali:= si ha l'aggiustamento reale,- se a a3 4≠ =0 e si ha l'aggiustamento nominale,- se a a a3 4 4≠ ≠0 e non si ha alcun tipo di aggiustamento.- se a a a3 4 4 = può essere verificata o con il consueto test delle differenze oLe ipotesi H a a:0 3 4scrivendo la (3.3.5) nella forma mm (3.3.6)p- = + + + + λ +t t 1 1ln ln ln ln ua a w a r at t t0 1 2 3 p pp - -t t t1 1λ= -dove . Il test diviene allora l'usuale test della di Student con l'ipotesi nullaa a t4 3λ=0.H :0 3-7

Modulo VI – Modelli dinamici3.4 Aggiustamento con correzione del divario (E.C.M.)Sempre

E.C.M. aggiungiamo il residuo stocastico ut− = γ − + γ − + (3.4.2)* * *( y y ) ( y y ) ( y y ) u− − − −t t 1 t t 1 0 t 1 t 1 tγ=(c +c +c γ =c +c γ=γe .