Econometria - gli schemi di aggiustamento

F. Carlucci - Traccia per un corso di econometria

Modulo V - Modelli dinamici

Schemi di aggiustamento

Nei modelli di disequilibrio si suppone spesso che una variabile si aggiusti nel tempo, in funzione dello scarto rispetto al suo valore precedente desiderato (obiettivo) di quella variabile e quello effettivamente verificatosi. Si ha allora, in termini stocastici:

y_t - y_t-1 = γ (y_t* - y_t-1) + u_t (3.1.1)

con 0 ≤ γ ≤ 1. Se γ=0 non si ha aggiustamento, mentre se γ=1 questo è immediato, cioè la discrepanza è assorbita totalmente nel tempo.

Lo schema (3.1.1) può derivare, secondo l'approccio classico, anche da considerazioni relative ad una particolare funzione di perdita che può essere adottata dagli operatori economici. Se essa è quadratica nella differenza tra valore effettivo e valore desiderato, si ha:

L = c₁ (y_t - y_t*)² + c₂ (y_t - y_t-1)² (3.1.2)

Questa funzione di perdita può essere interpretata nel senso che l'operatore tende a minimizzare sia il quadrato dello scarto tra valore desiderato e valore effettivo, sia il quadrato delle variazioni di y_t rispetto ad y_t-1. Derivando la L rispetto ad y_t e uguagliando a zero si ottiene:

y_t = (c₁ + c₂) y_t* + c₂ y_t-1

corrispondente al schema di aggiustamento parziale (3.1.1) se si pone γ = c₁ / (c₁ + c₂).

Il valore desiderato della variabile y_t è spesso determinato come funzione (deterministica) di una o più variabili osservate. Nel caso lineare di una sola variabile si ha:

y_t* = α + β x_t (3.1.3)

per cui, sostituendo nella (3.1.1), si ottiene:

y_t = (1-γ) y_t-1 + αγ + βγ x_t + u_t (3.1.4)

Schema del tutto simile a quello del Koyck salvo per la mancanza del residuo ritardato. Ovviamente, i coefficienti del modello (3.1.4) sono α₀ = αγ, α₁ = (1-γ), e α₂ = βγ. In certi casi può essere utile verificare l'ipotesi nulla H₀: β = 1 nella (3.1.3). A tal uopo possiamo riscrivere la (3.1.4) nella forma:

y_t - y_t-1 = αγ + γ (x_t - x_t-1) + u_t (3.1.5)

e verificare l'ipotesi che il parametro β - 1 sia uguale a zero, supponendo γ ≠ 1.

Osservazioni sugli schemi di aggiustamento

Osservazione 3.1 - Lo schema di aggiustamento (3.1.1) è detto del primo ordine perché contiene y_t* - y_t-1 come variabile esplicativa. Ci possono essere, ma sono scarsamente utilizzati, schemi di aggiustamento di ordine superiore al primo.

Osservazione 3.2 - Gli schemi di aggiustamento parziale sono spesso usati per rappresentare situazioni di disequilibrio, ma non sempre essi si adattano ai dati.

La passeggiata aleatoria

Se γ = 0, lo schema (3.1.1) diventa:

y_t = y_t-1 + u_t (3.1.6)

passeggiata aleatoria (senza deriva). È in effetti uno schema autoregressivo del primo ordine, sebbene il processo sia non stazionario. Talvolta lo schema (3.1.6), molto utilizzato in economia, è esteso con l'aggiunta di una intercetta:

y_t = μ + y_t-1 + u_t (3.1.7)

ed in tal caso è chiamato passeggiata aleatoria con deriva.

La combinazione dell'aggiustamento parziale con le attese adattive

In molte situazioni il valore desiderato nella (3.1.3) è funzione di una variabile attesa:

y_t* = α + β e_tx_t (3.1.8)

Ad esempio, y_t* può rappresentare il consumo permanente, funzione lineare del reddito permanente atteso. In questo caso la (3.1.4) diventa:

y_t - y_t-1 = αγ + βγ e_t + u_t

Conclusioni sui modelli dinamici

Sostituendovi la funzione e_t, si ottiene uno schema che può spiegare e rappresentare numerose situazioni economiche, integrando sia le dinamiche di aggiustamento che le attese adattive.