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Soluzioni: probabilità e statistica (esercizio 1)

Prob{Y = 0} = 0.95
Prob{Y = 20000} = 0.05

E(Y) = μ = 0 ∙ 0.95 + 20000 ∙ 0.05 = 1000
Var(Y) = σ2 = (0 - 1000)2 ∙ 0.95 + (20000 - 1000)2 ∙ 0.05 = 19000000
σ = 4358.89

E(Ȳ) = 1000
Var(Ȳ) = 19000000/100
√Var(Ȳ) = 435.88

Prob{Ȳ > 2000} = 1 - Prob{Ȳ = 1 - Prob{ (Ȳ - 1000)/435.88 ≤ (2000 - 1000)/435.88}
= 1 - Prob{N(0,1) ≤ 2.294}
= 1 - 0.9891 = 0.0109

Prob{Y = 0} = 0.95
Prob{Y = 20000} = 0.05

E(Y) = μ = 0 ∙ 0.95 + 20000 ∙ 0.05 = 1000
Var(Y) = σ2 = (0 - 1000)2 ∙ 0.95 + (20000 - 1000)2 ∙ 0.05 = 19000000
σ = 4358.89

E(Y) = 1000
Var(Y) = 19000000/100
√Var(Y) = 4358.88

Prob{Y > 2000} = 1 - Prob{Y = 1 - Prob{ (Y - 1000)/4358.88 ≤ (2000 - 1000)/4358.88}
= 1 - Prob{N(0,1) ≤ 2.2942}
= 1 - 0.98991 = 0.01009

Calcoli di probabilità

Pro. X ≤ 3; X ~ N(1, 4)
Pro. -1/2 < X - 1/2 < 3 - 1/2
Pro. N(0, 1) ∈ 1.17 = 0.87413 (Gretl: Strumenti/Calcolo p-value)

Pro. X > 0; X ~ N(3, 9)
Pro. X - 3 / 3 > 0 - 3 / 3 = Pro. (N(0, 1) > −1) = 0.8413

Pro. 40 ≤ X ≤ 52 = Pro. X ≤ 52 - Pro. X ≤ 40... = 0.6326

Pro. X ≤ 6.6? = 0.99 - (Gretl)

Pro. X ≥ 7.78 = 0.90 - (Gretl)

Calcolo di r

r = wrs + (1-w)rb
E(r) = w E(rs) + (1-w) E(rb)
= 0.5 ∙ 0.08 + 0.5 ∙ 0.05 = 0.065

Var(r) = w2 Var(rs) + (1-w)2 Var(rb) + 2 Cov(rs, rb) w (1-w)
= 0.52 ∙ 0.07 + 0.52 ∙ 0.04 + 2 ∙ 0.5 ∙ 0.5 ∙ Cov(rs, rb)

via: Corr(rb, rs) == 0.25
Cov(rs, rb) = Corr(rb, rs) = 0.0007

Var(r) = 0.009375
Var(r) = 0.049
min Var(r) impone a w un (*)
W = frac(18)(102) = 0.176
Var(r) = 0.038

X e Z indipendenti

X e Z sono N(0,1) indipendenti
Se X e Z sono indipendenti allora
E(X|Z)=E(X) (=0)
E(Z|X) = E(Z) (=0)

⇒ E(Y|X) = E(X2+Z|X) = E(X2|X) + E(Z|X)=X2+0 = X2

E(Y) = E[E(Y|X)] = E[E[X2]] = 1

E[X|Y] = E[E(X|Y|X)] = E[X-E(Y|X)] = E[X, X2] = E[X, X3] = 0

Cov(X,Y) = E[XY] - E(X)E(Y) = 0 - 0⋅1 = 0
⇒ Corr(X,Y)=0

Valori attesi per ATX non è aleatorio

E(Y|X) = X2

PER L A. N. A. NORMALE
TUTTI I MOMENTI DISPARI SONO NULLI

1) (p= 215/400 = 0.5375

SE((p) = √Var((p)= √ p(1-p)/ n = √ 0.5375 (1-0.5375)/ 400= 0.0249
t = ((p - 0.5)/ 0.0249 = 0.5375 - 0.5 / 0.0249 = 1.506
p-value = 0.13 (Gretl)
t = 1.506
p-value = Prob | N(0,1) | > toss = Prob (| N(0,1) | > 1.506) = 0.066

e) test bilaterale vs. test unilaterale
se a = 10%, 0.5%, 1% -> NON si rifiuta
in quanto p-value > a

2) ICas.((p) = | p |_|-| p - Z x SE((p)|_= | p - 1.96 ≤ p / (p / SE((p) ≤ p + 1.96 = | p - 1.96 x SE((p) ≤ p ≤ p + 1.96 x SE((p)
= | p : 0.5375 x 1.96 x 0.0249 ≤ p x 0.5375 x 1.96 x 0.0249 = | p : 0.488 ≤ p ≤ 0.586

ICal((p) = | p |_|-| p + Z x SE((p)|_= | p : 0.5375 - | p | ≤ p | 0.5375 | ≤ p-- | p : 0.4875 | ≤ p | 0.5863

Realizzazioni

  • 0
  • 1
  • 2

P(V) = 0.18
P(X = 1) = 0.34
P(Y > 2) = 0.61
P(1 > 2, X > 3) = 0
P(Y = 1, X > 1) = 0.30

Vedi sopra P(B | V) X = 2
0.08/0.30 = 0.1
0.19/0.30 = 0.63
0.08/0.30 = 0.27

Calcola standard ordinario 2:
E(X) = 0.96
E(1) = 11.3
E(1X) = 1.59
E'(1) = 1.77

Va(X) = E(1(X2) - E(X)2) = 0.6384
Va(1) = E(12) + E(1)2 = 0.443

E(T) = E[3X + 4X2 + X3 + 2X4]= 8/10E(X1) + 4/10E(X2) + 1/10E(X3) + 2/10E(X4)= μ

Var(T) = σ2/4
Var(T') = 9Var(X1) + 16Var(X2) + Var(X3) + 4Var(X4)/100= 3/10σ2
Var(T) > Var(T')
σ2/4 > 3/10σ210 > 12 No!
⇒ Var(T) ≥ Var(T')

Preferisco T

Calcoli W0 e W1

W0 = 10 000
R ~ N(0.05, 0.102)
W1 = W0(1+R) = W0 + W0R
E(W1) = W0 + W0E(R) = 10 000 + 10 000 · 0.05 = 10 500
Var(W1) = W02 · Var(R) = 10 0002 · 0.102 = 1 000 000
W1 ~ N(10 500, 10002)

Prob1{W1 ≥ 9 500} = Prob1{N1 = 10 500 ≤ 9 500 - 10 500/1000}
Prob1{N(0,1) ≤ -1.85} = 0.668

qα Prob{R ≥ 9α} = 0.05
Prob{R - 0.05/0.10 ≥ 9α - 0.05/0.10} = 0.05
Prob{N(0,1) ≥ 9α - 0.05/0.10} = 0.051.645
⇒ -1.645 = 9α - 0.05/0.10
9α = -0.1145
W1 = 10 000(1 - 0.1145) = 8855
W0 - W1 = 10 000 - 8855 = 1145 perdita

Calcolo E(W)

  • W012
  • pi, W30.150.400.45 {0.05 + 0.05 + 0.05} {0.05 + 0.12 + 0.13} {0.05 + 0.27 + 0.13}

E(W) = 0 ∙ 0.15 + 1 ∙ 0.40 + 2 ∙ 0.45 = 1.3

Var(W) = E[(W - 1.3)2] = (0 - 1.3)2 ∙ 0.17 + (1 - 1.3)2 ∙ 0.40 + (2 - 1.3)2 ∙ 0.45 = 0.51

PB(W = 3 | B = 3) = 0.05 ≠ P05(W = 3) · P05(B = 3) = 0.15 · 0.15 = 0.0225

Calcolo Cov(A, B)

A500060007500
Pi(A)0.10.500.3

B012
P05(B)0.150.500.35

=> Cov(A, B) = τ · 1

Mi garbziente

Regra.: (μ^)^N - F(μ-...| (μ^)^ ̅μ ̅ |) > 1.96;).-{) μ ̅ ̅(μ (μ^) ̅ < μ ̅ ̅(μ ̅ ̅ ̅ < ̇ (μ^) + ̅1.96 ̅(μ^)?), ̧Nel nostro

Similet', l'ampresso dell'I$C è ded oro μ^ + 19.96 ̅(μ )> μ^ - 1.96 ̅(μ^))2 = ̅19.96

5E (/^ ) = 2.196√(Ⓜ) Nel nostro caso l'ampiezza è pari a ̅4:4: 2 1.96 /nn=(2 ̇1.96 /3^)̅230.3=3 ̅3:≥ n≥424

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Scienze economiche e statistiche SECS-P/05 Econometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Valentino_1995 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Verona o del prof Lubian Diego.
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