Gli errori di specificazione
Consideriamo il modello (2.3), che riportiamo per comodità del lettore:
= β + γ + ∼ σe N(0, 2I) (C.1)y X Z e T× × × × × ×T 1 T K K 1 T M M 1 T 1
Si suppone che l’equazione (C.1) rifletta la struttura del modello vero. Se invece della (C.1) stimiamo l’equazione:
= β + ∼ σu N(0, 2 I) (C.2)y X u Tu× ×T K T 1× ×T 1 K 1
omettiamo indebitamente gli regressori contenuti nella matrice Z. In questo caso le stime dei parametri sono distorte e inconsistenti.
Per dimostrarlo definiamo le stime OLS dei parametri della (C.2)
∗( ) (C.3)−ββ̂ = ′ ′1X X X y∗
Sostituiamo nella (C.3) l’espressione di y ricavata dal modello vero (C.1)
( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′ ′ ′ ′− − −β = β + γ + = β + γ +ˆ 1 1 1X X X X Z e X X X Z X X X e∗
e prendiamo il valore atteso:
( ) (C.5)( )′ ′−β = β + γ ≠ βˆ 1E X X X Z∗ β
La (C.5) dimostra che le stime dei β ottenute nel modello indebitamente vincolato (C.2) sono distorte, nonostante che le variabili incluse nella (C.2) X figurino anche nel modello vero. La distorsione è una combinazione lineare degli γ parametri delle variabili indebitamente omesse, con coefficienti dati dai coefficienti di regressione delle variabili Z sulle X.
Si noti che in caso di ortogonalità fra variabili incluse e omesse, quando cioè X′Z = 0, la distorsione scompare. In questo caso però è possibile dimostrare che lo stimatore della varianza dei residui del modello rimane distorto e quindi le procedure di inferenza conducono a risultati erronei (Johnston, 1984, par. 6.6).
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