Appunti di Econometria

Econometria: Ingredienti

1) Problema Economico

Esempio: Misurare elasticità della domanda di un bene rispetto al proprio prezzo (elasticità di domanda diretta)

• Q = f(P)
• Q = quantità
• P = prezzo

Elasticità:

EQP = - dQ/dP * P/Q

0 < EQP < ∞

2) Modello Economico

Q = a + bP Modello di domanda b < 0 (domanda è inclinata negativamente)

EQP = - b * P/Q

• W = scala
• Coefficiente angolare

3) Modello Statistico

Q = a + bP + U

U = errore/disturbo

• Fonti di errore:
• - forma funzionale
• - variabili omesse
• - errori di misura

4) Dati/Osservazioni (sulle variabili economiche)

• Variabili che cambiano nel tempo t=1,...,_T -> Dimensione dinamica
• Variabili che cambiano tra individui i=1,...,_N

Esempio:

• PIL_t, t=1,...,_T => Time Series
• PIL di un paese nel tempo
• PIL_i i=1,...,_N => Cross-Section
• PIL di un "anno" tra paesi diversi
• PIL_it => Panel

Qt = a + b_t + Ut, t=1,...,_T

Qt, Pt_t(Qt) => Variabili non osservate (Ut)

a, b => Costanti/Parametri (noti, ma stimabili)

5) Stimatori/Stime

Stimatore => Strumento statistico (variabile casuale)

Stime => Stimatori + Dati

6) Affidabilità delle stime/Prova ipotesi

7) Previsione

QT = a + b_t(t-_T)

Dati di Qt e REL + Stimatore per a e b => Stime a=7 b=-0,5

^Q T+1 = a + b Pt+1 (Previsione oggi T per domani (T+1))

Note

Il modello statistico valido oggi è valido anche domani "conosciamo" Pt+1

Stimatore Alternativo a OLS

_Lβ_L = _LY

L non stocastica

Lx = In

^conv(β_L) = E[(β_L-β)(β_L-β)']

^conv(β) = σ_u²(x'x)^-1

vs

^conv(β_L) = σ_u²LL'

Stimatori non distorti e uguagli in συ (≠ da OLS)

Rspolviamo L nel seguente modo:

L = (x'x)^-1x' + D

D = Generica matrice non stocastica

Lx = (x'x)^-1x'x + Dx

Lx = I + Dx => Dx = O ortogonalità

σ_u² LL' = σ_u² (x'x) + β_u DD'

cov(β_L) - cov(β) ≥ 0

Tutte le prove in cui testiamo_⌊²-1

NB: ⌊² non è un indicatore di correttezza del modello

Stima θ_u²

Ipotesi errori normalmente distribuiti

• U~ℓ0,θ_u²ℓ²)

2n Xℓ(0, I_n) Normal standard

(F N)

A Idempotente (Simmetrica)

GT² Forma quadratica

Z^′ A Z = O²X² T(A)

• Γ-T, -T
• T-1

V-U ℓ0, ξ_u

• ℓ0,θuo:7)
• žu n:( o, ξ_u²/I_n)

U A u^′

Z^′A Z (0 ⁄ OU.U (1⁄O)

It (v ⁄ 0_u) . E^cℓU²/ θ_u²) e O

E ( U²/Ϧ _u² )= T

θ_u2/T b (E Ux²/

T + Θu²/T

E (ε Ux²/ T )= Ev n A^m) VX² (A^(M)

Inferenza/Prova Ipotesi

t = 1, ..., T

Yₜ = β₁ + β₂X₂ₜ + β₃X₃ₜ + ... + βₖXₖₜ + uₜ

βᵢ = ∂Yₜ/∂Xᵢ Effetto Marginale di Xᵢ su Yₑ

Incarnazione Ipotesi

1. Ipotesi Nulla H₀: βᵢ = 0 (Singola) ↔ 1 Restrizione
2. Ipotesi Alternativa H₁: βᵢ ≠ 0
3. Statistica Test
4. Livello Significatività del Test

Statistica Test

β̂ ols → β̂ = (X'X)⁻¹ X'Y, β̂ = β+(X'X)⁻¹ X'U = β+AD

Se uₙ~N(0, σ²Iₙ) Allora β̂ ~N (β, σ²₍ₓᵪ₎⁻¹)

β̂ ~N (β̂, σ̂²₍ₓᵪ₎ₖₖ)

β̂ⱼ - βⱼ ~ N (0, 1) Statistica Test

Ĝᵤ = RSS / T-k

β̂ⱼ / σ̂ᵤ (₍ₓᵪ₎ₖₖ) ᵏ₀ ~ t (T-k)

z ~ N (0, 1) w ~ χ²

z / √(w/s)

N.B.

1) θ̂₂ ignorato RSSU θ̂ non distorto e consistente (testi standard) 2) θ̂₂ ignorato RSSU θ̂₂ distorto ma consistente per θ̂_u 3) θ̂_u RSSU distorto ma consistente per θ̂₂

T - test = T (R²) ~ χ²_(G) asintotico

Ho: β₂ = 0

Se T-test asintotico calcolato > χ² critico -> Ho rifiutato

Dato T, tanto più elevato è R² tanto maggiore sarà la probabilità di essere in sua regione critica.

Ma : -> R² misura la rilevanza di X₂ nella regressione ma X_i non è rilevante perché ortogonale rispetto a d_i

Variabile Dummy

Esempio

Modello riferimento

Wi = β1 + β2 EDi + Ui

• S = Salario del lavoratore i-esimo
• E = Livello istruzione del lavoratore i-esimo

Variabile qualitativa binaria

• Gi = 0 se il lavoratore i-esimo è maschio
• Gi = 1 è femmina

Come utilizzare Gi?

1. Modello additivo

   Wi = β1 + β2 EDi + β3 Gi + Ui

   • β2 = δ0 β3 = 0, non ha senso
   • Gi = 0 Wi = β1 + β2 EDi + Ui
   • Gi = 1 Wi = β1 + β3 + β2 EDi + Ui

2. Modello moltiplicativo (interattivo)

   Wi = β1 + β2 EDi + β4 EDi · Gi + Ui

   • Gi = 0 Wi = β1 + β2 EDi
   • Gi = 1 Wi = β1 + β2 EDi + β4 EDi = β1 + (β2 + β4) EDi

3. Modello misto

   Wi = β1 + β2 EDi + β3 Gi + β4 EDi · Gi + Ui

   • Gi = 0 Wi = β1 + β2 EDi
   • Gi = 1 Wi = β1 + (β3 + (β2 + β4) EDi)

Commenti modello misto

1. Set completo di interazioni tra Gi e il modello di riferimento (include Gi nei costanti)
2. Esistono due modi equivalenti per stimare i parametri del modello misto
1. I modo: stimare con OLS i parametri β1... β4 direttamente dal modello misto
2. II modo: stimare con OLS i parametri β1- β4 indirettamente

2^o STADIO

REGRESSIONE OLS DI y SU z²

y=z²β+υ

β_2SLS=(Z̄'Z̄)^-1Z̄'y CONSISTENTE PER β

Idea

I STADIO: z~ x+m SOMMA AGGREGATA

[z~'x z~]' [x' x x' z~]^-1[z~'x z~]=[x' x x' z~]^-1 z~ 'x (x' x)^-1 x' z

β̄_2SLS = [2 z' x (x' x)^-1 x' z (x' x)^-1 (x' z)^-1 z' z] ^-1 z' x (x' x)^-1 x' y.

=[ 2² x' x (x' x)^-1 x' x (x' x)^-1 z' x (x' x)^-1 (zβ+ υ) =

[ 2² x' x (x' x)^-1 x' x (x' x)^-1 z' z ]^-1 z x + β + [2 x (x' x)(x' x)^-2 z (x' x)^-1]^-1 z (x' x)^-1 x' u

PEm (β_2SLS)= β + PEm [ ] pEm[ x' u / T ] / T =0