Econometria 6

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

Elementi di EconometriaEsercizi Diagnostica

(SOLUZIONI)

1. Esercizi

   Supponete di avere a disposizione osservazioni sul salario orario, y_i e sugli anni di istruzione, x_i, di individui residenti in Veneto, Lombardia e Piemonte. Avete stimato con OLS un modello del tipo

   lny_ij = β₀ + β₁x_i + u_i

   per ciascuna regione e per le tre regioni nel loro insieme. Avete ottenuto i seguenti risultati:

   • Veneto
     • β̂₁ 0.06
     • SE(β̂₁) 0.042
     • SQR 45
     • n 292
   • Lombardia
     • β̂₁ 0.05
     • SE(β̂₁) 0.01
     • SQR 32
     • n 182
   • Piemonte
     • β̂₁ 0.075
     • SE(β̂₁) 0.034
     • SQR 11
     • n 232
   • Tutte
     • β̂₁ 0.069
     • SE(β̂₁) 0.024
     • SQR 100
     • n 706

   dove SQR è la somma dei quadrati dei residui nel modello di regressione ed n è la numerosità campionaria.

   1. Verificate l’ipotesi nulla che i parametri del modello di regressione siano gli stessi nelle tre regioni.
   2. Assumendo che sub a) sia vero, verificate che la pendenza comune della retta di regressione sia pari ad uno.

   Considerate un modello di regressione che vuole spiegare il prezzo delle abitazioni, price, in funzione delle loro caratteristiche: sqrft, la dimensione dell’abitazione; bdrms, il numero di camere da letto; size, l’area del terreno circostante l’abitazione. Il modello da stimare è dato da

   price = β₀ + β₁size + β₂sqrft + β₃bdrms + u

   I risultati di diverse regressioni per un campione di n = 88 osservazioni, relative alle due contee di Gnu (35 osservazioni) e di Gnat (53 osservazioni), sono riassunti nella tabella seguente, dove F-test è il test di significatività della regressione.

Variabili esplicative

costante

size

sqrtft

bdrms

size²

size×sqrtft

size×bdrms

sqrtft²

sqrtft×bdrms

bdrms²

price²

(col. (1))

price³

(col. (1))

n

R²

SQR

F-test

Anche usando GRETL,

• Ottenete gli stimatori OLS di β₀ e β₁ per lo studente A e per lo studente B.
• Calcolate l'R² della regressione e s² sia per lo studente A che per lo studente B.
• Ottenete lo standard error di β₀ e β₁, sia per A che per B.
• Spiegate perché gli standard error ottenuti dallo studente A sono maggiori di quelli ottenuti dallo studente B.

Un ricercatore, utilizzando un campione di 530 lavoratori (250 maschi e 280 femmine), ha ottenuto i seguenti risultati:

salario = 12.68 + 2.79 M

dove gli SE sono riportati tra parentesi sotto le stime dei coefficienti, R² = 0.06 e SER = 3.10.

Il salario è misurato in Euro/ora e M è una variabile binaria uguale a 1 se il soggetto è maschio e pari a 0 se femmina.

• Definite teoricamente il differenziale salariale maschio/femmina.
• Quantificate il differenziale salariale maschio/femmina.
• Il differenziale salariale maschio/femmina è significativamente diverso da zero?
• Costruite un intervallo di confidenza al 95% per il differenziale salariale.
• Nel campione, qual è il salario medio dei maschi? e delle femmine?
• Un altro ricercatore usa gli stessi dati ma stima la regressione:

salario = ..... + ...... F

dove F è una variabile binaria uguale ad 0 se il soggetto è maschio e pari a 1 se femmina.

• Calcolate le stime (mancanti) dei parametri.
• La seguente tabella contiene i dati sul punteggio ottenuto ad un test di ammissione (ACT, scala da 1 a 36) al college e sulla media dei voti agli esami (GPA, scala da 0 a 4) per un campione di 8 studenti universitari.

Verificate l'ipotesi nulla che ROS non abbia effetti sul salario contro l'alternativa che l'effetto sia positivo ad un livello di significatività del 10%.

Includereste ROS nella specificazione finale del modello se spiega il compenso del CEO in funzione della performance dell'impresa? Spiegare.

Supponete che la domanda di tè cinese in Italia sia determinata dall'equazione

lnQ = β₀ + β₁lnP_C + β₂lnP_I + β₃lnP_B + β₄lnY + u

dove Q sta per le importazioni di tè cinese in Italia, P_C sta per il prezzo del tè cinese in lire, P_I sta per il prezzo del tè indiano in lire, P_B sta per il prezzo del caffè brasiliano e Y sta per il reddito disponibile.

Avendo a disposizione un campione di 22 osservazioni, è stata effettuata una prima regressione OLS i cui risultati sono

lnQ = 2.837 – 0.738 lnP_C + 0.199 lnP_B + 0.257 lnY

dove tra parentesi sono riportati i relativi errori standard.

• Formulate l'ipotesi nulla che conduce alla seconda regressione.
• Sotto l'ipotesi di omoschedasticità, indicate se è possibile rigettare o meno l'ipotesi nulla.
• Quali sono le implicazioni economiche dell'ipotesi nulla (al massimo 10 righe).

Considerate un modello di regressione in cui si vuole spiegare la domanda per trasporto pubblico urbano (autobus) negli U.S.A. in termini di diversi fattori che la possono spiegare. Per ciascuna di 40 città abbiamo osservato, nello stesso istante temporale, le seguenti variabili: bus, migliaia di passeggeri per ora; fare, il costo del biglietto in US$; price, il prezzo della benzina al gallone; inc, il reddito pro-capite in US$; pop, la popolazione in migliaia; dens, la densità della popolazione per miglio²; area, la superficie della città in miglia². Abbiamo così potuto stimare il modello

bus = β₁ + β₂fare + β₃price + β₄inc + β₅pop + β₆dens + β₇area + u

• Utilizzando i dati in “data4-4” nel dataset Ramanathan, stimate con GRETL il modello di regressione di cui sopra.
• Calcolate il test F di significatività della regressione e indicate se è possibile rifiutare l'ipotesi nulla.
• Indicate quali parametri sono statisticamente diversi da zero.

Supponete che u = 0.75, calcolate la media e la deviazione standard di r.

Per quale valore di u si ottiene il più grande valore della media di r? Qual è la deviazione standard di r per questo valore di u?

Quale valore di u minimizza la varianza di r?

Siano X e Z due variabili aleatorie normali standardizzate indipendenti e sia Y = X² + Z.

Mostrate che:

• E(Y|X) = X²
• E(Y) = 1
• E(XY) = 0
• Cov(X, Y) = 0 e quindi Corr(X, Y) = 0, per cui la media condizionale di Y dipende da X ma X e Y sono incorrelate!

In un’indagine campionaria su 400 potenziali votanti, 215 hanno risposto di aver intenzione di votare per il candidato uscente e 185 per il suo sfidante. Sia p la frazione di potenziali che preferiscono il candidato uscente al tempo dell’indagine e sia p̂ quella degli intervistati che preferiscono il candidato uscente.

• Si usino i risultati dell’indagine per stimare p.
• Si usi lo stimatore della varianza di p̂, p̂(1 - p̂)/n, per stimare l’errore standard dello stimatore.
• Qual è il p-value per H₀: p = 0.5 contro H₁ ≠ 0.5?
• Qual è il p-value per H₀: p = 0.5 contro H₁ > 0.5?
• Perché i risultati nei due punti precedenti differiscono?
• L’indagine mostra una evidenza statisticamente rilevante del fatto che il candidato uscente è in testa al tempo dell’indagine? Perché?
• Costruite un intervallo di confidenza al 95% per p.
• Costruite un intervallo di confidenza al 99% per p.
• Considerate la coppia di v.a. (X,Y) con funzione di densità di probabilità (fdp) congiunta data da

Calcolate:

• Pr(Y < 2), Pr(Y > 2, X > 0), Pr(Y = 1, X ≥ 1).
• Le fdp marginali di X e Y.
• La funzione di densità di probabilità di Y dato X = 2.