Econometria 2

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

Elementi di Econometria11 novembre 2013 - prova intermediaSoluzione (traccia)

Naturalmente, tutte le risposte vanno adeguatamente motivate con riferimento alla teoria...

1. Sia S il salario medio. Si ha che

   • I_{C 95%} (S) = {|t| ≤ 1.96}

     { S - 38644.86 7541.4/√108 } ≤ 1.96

     = ...={37222.54 ≤ S ≤ 40067.18}

   • L’ipotesi nulla è H₀ : μ_H = μ_L, che equivale a H₀ : μ_H - μ_L = 0 contro l’alternativa H₀ : μ_H - μ_L ≠ 0. Costruisco il test t

     t = (μ_H - μ_L) - 0SE(μ_H - μ_L) = 39915.25 - 37083.33 = 2.026√ 8330.21² + 6174.86²59 49

     Poiché |t| > 1.96, rifiuto l’ipotesi nulla.

   • Sì. Infatti E(X₁) = μ.Var(X₁) = σ²

     No, in quanto Var(X₁) non converge a zero per n → ∞ ma è sempre pari a σ².

   • In sintesi:

     • eteroschedasticità. No. La presenza di eteroschedasticità non implica distorsione dello stimatore OLS. Gli errori standard usuali sono sbagliati, si devono utilizzare gli errori standard robusti alla presenza di eteroschedasticità (White).
     • variabile omessa. Incerto. Se la variabile omessa è una determinante della variabile dipendente e correlata con le variabili inclus, allora lo stimatore OLS è non distorto.
     • correlazione tra due variabili esplicative pari a 0.95. Irrilevante per la non distorsione. Potrebbe esserci un problema di quasi multicollinearità.

   • Test dell’ipotesi nulla, che tutti i coefficienti del modello di regressione tranne la costante siano pari a zero. Sì, la regressione è significativa in quanto, dato il valore del test F pari a 72.964, si rifiuta l’ipotesi nulla.

     R² = 0.6233.

   • &hat;price = 15.1982.

     price = −19.315 + 0.128436×2438 + 15.1982×4 = 354604.76.

     Secondo il modello di regressione, il compratore ha sottopagato l’abitazione in quanto il prezzo di vendita osservato pari a 300000 è minore del valore predetto al punto precedente.

   • H₀ : β₁ = 0, il test t è pari a t = −7.90785/1.096 = −7.22 per cui rifiuto H₀.

     Per tener conto di un possibile effetto marginale decrescente della spesa in pubblicità H₀ : β₃ = 0, il test t è pari a t = −2.76796/0.94062 = −2.94 per cui rifiuto H₀.

R² = 0.6233.

H₀ : β₂ = β₃ = 0. Utilizzo il test F:

F = ^{1972.45 - 1532.04} / _1532.04 × ^{75 - 3 - 1} / ₂ = 10.205

Il test F è distribuito come F_2,71, rifiuto H₀.

^∂S / _∂A = 12.1512 - 2 · 2.76796A

A^*: β₂ + 2β₃A^* = 1              (∗)

Con i dati a disposizione otteniamo

12.1512 - 2 · 2.76796A = 1

da cui A^* = 2.194.

Il livello di pubblicità A = 1900 è ottimale se soddisfa la condizione (∗) al punto f).

L'ipotesi nulla è quindi: H₀ : β₂ - 2 · β₃ · 1900 = 1

2

Con riferimento al modello di probabilità lineare, se gli anni di istruzione aumentano di 4 unità, di quanto varia la probabilità di essere un fumatore? Con queste informazioni è possibile calcolare la variazione nella probabilità di essere un fumatore per il modello Probit?

A partire da quale età, un aumento di un anno di età riduce la probabilità di fumare?

Fornite una interpretazione del coefficiente stimato per la variabile dummy restaur (pari a 1 se l’individuo risiede in uno stato con restrizioni sul fumo in ristoranti).

Per il modello di probabilità lineare, calcolate la probabilità di essere fumatore per un individuo con cigprice = 67.4, income = 6500, educ = 16, age = 77, restaur = 0, white = 0, smoke = 0. Commentate.

I dati in “mroz” del dataset Wooldridge servono per studiare la partecipazione delle donne nel mercato del lavoro. La variabile dipendente binaria inlf è pari a 1 se la donna lavora e zero altrimenti. I regressori sono dati da wifeinc = (reddito familiare − ore lavorate × salario orario) - si tratta del reddito familiare non prodotto dalla donna lavoratrice, educ, exper, exper², age, kidslt6 e kidslgt6 (per una legenda si veda il file di dati).

Stimate sia un modello di probabilità lineare che un modello Probit.

Per il modello di probabilità lineare e il modello probit, considerando una donna con wifeinc = 20.13, educ = 12.3, exper = 10.6, age = 42.5, kidslt6 = 1, qual è la variazione nella probabilità di lavorare quando la donna passa da 0 a 1 figlio con meno di 6 anni?

Con gli stessi dati del punto precedente, qual è la variazione nella probabilità di lavorare quando la donna passa da 1 a 2 figli con meno di 6 anni?

Si consideri un campione di 1396 famiglie residenti del Veneto, i cui capofamiglia ha un’età compresa fra i 25 e gli 85 anni. Di queste famiglie sappiamo se consumano vino (V = 1 se consumano, 0 altrimenti), il numero di componenti, ncomp (che è compreso fra 1 e 4), l’età del capofamiglia, eta, e la spesa totale per beni e servizi, spesatot - che varia fra 0.15 e 9.99. Si consideri la seguente regressione lineare, con standard error robusti all’eteroschedasticità:

Number of obs = 1306 - F( 5, 1300) = 14.78 Prob > F = 0.0000 - R-squared = 0.0476

| Robust Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

eta | .0292471 .0068973 4.24 0.000 .015716 .0427782

eta2 | -.0002281 .0000647 -3.52 0.000 -.0003551 -.0001011

ncomp | .1730057 .0713943 2.42 0.016 .0329451 .3130664

ncomp2 | -.0320499 .013513 -2.37 0.018 -.0585597 -.0055402

spesatot | .0383911 .0095933 4.00 0.000 .019571 .0572113

constant | -.738533 .1805271 -4.09 0.000 -1.092689 -.3843767

Sulla base delle informazioni disponibili, si risponda alle seguenti domande:

• Si spieghi che cosa stima il coefficiente sulla variabile spesatot in questo contesto.
• Si spieghi perché è necessario calcolare standard error robusti.