Econometria 2

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

a.a. 2013/2014A. Bucciol, D. Lubian,L. Magazzini

Elementi di Econometria11 novembre 2013 - prova intermediaSoluzione (traccia)

Naturalmente, tutte le risposte vanno adeguatamente motivate con riferimento alla teoria...

1. Sia S il salario medio. Si ha che

IC_95%(S) = {|t| ≤ 1.96}

={

   S - 38644.86    ≤ 1.96

       7541.4/√108

         } = ...

={37222.54 ≤ S ≤ 40067.18}

2. L'ipotesi nulla è H₀ : µ_H = µ_L, che equivale a H₀ : µ_H - µ_L = 0 contro l'alternativaH₀ : µ_H - µ_L ≠ 0. Costruisco il test t

t = (µ_H - µ_L) - 0 / SE(µ_H - µ_L) =

        39915.25 - 37083.33

                        √8330.21² + 6174.86²

                                                59      49 

= 2.026

Poiché |t| > 1.96, rifiuto l'ipotesi nulla.

3. Sì. Infatti E(X₁) = µ.4. Var(X₁) = σ²5. No, in quanto Var(X₁) non converge a zero per n → ∞ ma è sempre pari a σ².

In sintesi:

• etestochedasticità: No. La presenza di eteroschedasticità non implica distorsione dello stimatore OLS. Gli errori standard usuali sono sbagliati, si devono utilizzare gli errori standard robusti alla presenza di eteroschedasticità (White).
• variabile omessa. Incerto. Se la variabile omessa è una determinante della variabile dipendente e correlata con le variabili inclus, allora lo stimatore OLS è non distorto.
• correlazione tra due variabili esplicative pari a 0.95. Irrilevante per la non distorsione. Potrebbe esserci un problema di quasi multicollinearità.
• Test dell'ipotesi nulla che tutti i coefficienti del modello di regressione tranne la costante siano pari a zero. Se la regressione è significativa in quanto, dato il valore del test F pari a 72.964, si rifiuta l'ipotesi nulla.
• R² = 0.6233.

6. Δprice = 15.1982.

price = -19.315 + 0.128436 × 2438 + 15.1982 × 4 = 354604.76.

Secondo il modello di regressione, il compratore ha sottopagato l'abitazione in quantoil prezzo di vendita osservato pari a 300000 è minore del valore predetto al punto precedente.

7. H₀ : β₁ = 0, il test t è pari a t = -7.90785/1.096 = -7.22 per cui rifiuto H₀.Per tener conto di un possibile effetto marginale decrescente della spesa in pubblicità

8. H₀ : β₃ = 0, il test t è pari a t = -2.76796/0.94062 = -2.94 per cui rifiuto H₀.

Dipartimento di Scienze Economiche

Università di Verona

a.a. 2013/2014A. Bucciol, D. Lubian,L. Magazzini

Elementi di Econometria11 novembre 2013 - prova intermediaSoluzione (traccia)

Naturalmente, tutte le risposte vanno adeguatamente motivate con riferimento alla teoria...

(1) Sia S il salario medio. Si ha che

IC_95%(S) = {t: |t| ≤ 1.96}={S - 38644.86^1/27541.4/√108 ≤ 1.96} = ...= {37222.54 ≤ S ≤ 40067.18}

(2) L’ipotesi nulla è H₀ : μ_H = μ_L, che equivale a H₀ : μ_H − μ_L = 0 contro l'alternativaH₀ : μ_H − μ_L ≠ 0. Costruisco il test t

t = ^{(μ_H − μ_L) − 0}/_{SE(μH − μL)} = ^{39915.25 − 37083.33}/_{√(8330.21² + 6174.86²)^1/2}59 49 = 2.026

Piochè |t| ≥ 1.96, rifiuto l’ipotesi nulla.

(3.1) Sì. Infatti E(X₁) = μ.

(3.2) Var(X₁) = σ²

(3.3) No, in quanto Var(X₁) non converge a zero per n → ∞ ma è sempre pari a σ².

In sintesi:

1. (a) eteroschedasticità. No. La presenza di eteroschedasticità non implica distorsione dello stimatore OLS. Gli errori standard usuali sono sbagliati, si devono utilizzare gli errori standard robusti alla presenza di eteroschedasticità (White).
2. (b) variabile omessa. Incerto. Se la variabile omessa è una determinante della variabile dipendente e correlata con le variabili inclus, allora lo stimatore OLS è non distorto.
3. (c) correlazione tra due variabili esplicative pari a 0.95. Irrilevante per la non distorsione. Potrebbe esserci un problema di quasi multicollinearità.
4. (d) Test dell’ipotesi nulla che tutti i coefficienti del modello di regressione tranne la costante siano pari a zero. Sⁱ,? la regressione è significativa in quanto, dato il valore del test F pari a 72.964, si rifiuta l’ipotesi nulla.
5. (e) R² = 0.6233.
6. (f) Δprice = 15.1982.

   price = −19.315 + 0.128436 × 2438 + 15.1982 × 4 = 354604.76.

7. (g) Secondo il modello di regressione, il compratore ha sottopagato l’abitazione in quanto il prezzo di vendita osservato pari a 300000 è minore del valore predetto al punto precedente.
8. (h) H₀ : β₁ = 0, il test t è pari a t = −7.90785/1.096 = −7.22 per cui rifiuto H₀.
9. (i) Per tener conto di un possibile effetto marginale decrescente della spesa in pubblicità
10. (l) H₀ : β₃ = 0, il test t è pari a t = −2.76796/0.94062 = −2.94 per cui rifiuto H₀.

1

H₀ : β₂ = β₃ = 0. Utilizzo il test F:

F = 1972.45 - 1532.04 × 75 - 3 - 1 = 10.205

                            1532.04    2

Il test F è distribuito come F_2,71, rifiuto H₀.

∂S = 12.1512 - 2 · 2.76796A

∂A

La condizione è "Ricavo marginale = Costo marginale". Il livello ottimale di pubblicità A* soddisfa:

A* : β₂ + 2β₃A* = 1 (*)

Con i dati a disposizione otteniamo

12.1512 - 2 · 2.76796A = 1

da cui A* = 2.194.

Il livello di pubblicità A = 1900 è ottimale se soddisfa la condizione (*) al punto f).

L’ipotesi nulla è quindi: H₀ : β₂ - 2 · β₃ · 1900 = 1

2

Esercizio 1

(ELEMENTI DI ECONOMETRIA - regressione semplice)

c-> beta0 6,2 c-> beta1 -1,6

d-> 10 d-> -16

j-> 0,1333333 h-> 0,0133333

x^2 y^2 x*y yhat uhat uhat^2 x*uhat

0 36 0 6,2 -0,2 0,04 0

1 25 5 4,6 0,4 0,16 0,4

4 9 6 3 0 0 0

9 1 3 1,4 -0,4 0,16 -1,2

16 0 0 -0,2 0,2 0,04 0,8

30 71 14 15 8,88178E-16 0,4 2,66454E-15

6 14,2 2,8 3 1,77636E-16 0,08 5,32907E-16

Dipartimento di Scienze EconomicheUniversità di Verona

Elementi di EconometriaEsercizi #5

...causa di una collisione con un iceberg nella notte tra il 14 e il 15 aprile 1912 la nave passeggeri Titanic affonda. Per 1046 passeggeri abbiamo a disposizione dati su: sopravvissuto al naufragio (1 sì, 0 no); classe (1 , 2 , 3 ), genere, età, n. fratelli/coniuge, n. genitori/figli, bambino/a (1 se età < 18, 0 altrimenti). Nella tabella seguente sono riportate le stime Probit dove la variabile dipendente è pari a 1 se "sopravvissuto" e 0 altrimenti.

• Coefficiente
• SE
• t
• p-value
• costante-0.1683710.0937770-1.79540.0726
• X ₂^a classe-0.6088300.126061-4.82970.0000
• X ₃^a classe-1.082410.112654-9.60830.0000
• X femmina1.517710.097130115.62560.0000
• X n. fratelli/coniuge-0.1922430.0603469-3.18730.0014
• X n. genitori/figli0.02359510.05868560.40210.6876
• X bambino/a0.4927860.1267263.88860.0001

Illustrate per quali motivi è preferibile il modello Probit rispetto al modello di probabilità lineare.Dalla visione del film Titanic (con Leonardo Di Caprio e Kate Winslet) si può ricavare la congettura che vi siano differenze importanti nella probabilità di sopravvivenza tra la prima, seconda e terza classe. Indicate se vi è una differenza statisticamente significativa tra viaggiatori di prima e seconda classe. E tra viaggiatori di prima e terza classe? t.Qual è li sulla (propria) sopravvivenza di un maschio di 30 anni senza fratelli/coniuge senza genitori/figli con un biglietto di terza classe che si intrufola in prima classe?Utilizzando la tabella seguente dove sono riportati i valori osservati e previsti dal modello Probit

• Predetti
• 0
• 1
• Osservati
• 0
• 52693
• 1
• 131296

discutete misure di bontà di adattamento del modello Probit.Utilizzando i dati in "smoke" dal dataset Wooldridge, stimate la probabilità di essere un fumatore in funzione di un insieme di caratteristiche dell'individuo. La variabile dipendente binaria è smoke pari a 1 se l'individuo fuma e zero altrimenti (generabile in Gretl con il comando "smoke = (cigs > 0)") e siano log(cigprice), log(income), educ, age, age², restaurn e white i regressori (per una leggenda si veda il file di dati).Stimate un modello di probabilità lineare e un modello probit.

Con riferimento al modello di probabilità lineare, se gli anni di istruzione aumentano di 4 unità, di quanto varia la probabilità di essere un fumatore? Con queste informazioni è possibile calcolare la variazione nella probabilità di essere un fumatore per il modello Probit?

A partire da quale età, un aumento di un anno di età riduce la probabilità di fumare?

Fornite una interpretazione del coefficiente stimato per la variabile dummy restaur (pari a 1 se l’individuo risiede in uno stato con restrizioni sul fumo in ristoranti).

Per il modello di probabilità lineare, calcolate la probabilità di essere fumatore per un individuo con cigrprice = 67.44, income = 6500, educ = 16, age = 77, restaur = 0, witte = 0, smoke = 0. Commentate.

I dati in “mroz” dal dataset Wooldridge servono per studiare la partecipazione delle donne nel mercato del lavoro. La variabile dipendente binaria inlf è pari a 1 se la donna lavora e zero altrimenti. I regressori sono dati da nwifeinc = (reddito familiare - ore lavorate x salario orario) - si tratta del reddito familiare non prodotto dalla donna lavoratrice, educ, exper, exper², age, kidslt6 e kidslt6 (per una legenda si veda il file di dati).

Stimate sia un modello di probabilità lineare che un modello Probit.

Per il modello di probabilità lineare e il modello probit, considerando una donna con nwifeinc = 20.13, educ = 12.3, exper = 10.6, age = 42.5, kidslt6 = 1, qual è la variazione nella probabilità di lavorare quando la donna passa da 0 a 1 figlio con meno di 6 anni?

Con gli stessi dati del punto precedente, qual è la variazione nella probabilità di lavorare quando la donna passa da 1 a 2 figli con meno di 6 anni?

Si consideri un campione di 1396 famiglie residenti del Veneto, il cui capofamiglia ha un’età compresa fra i 25 e gli 85 anni. Di queste famiglie sappiamo se consumano vino (V = 1 o consumo, 0 altrimenti), il numero di componenti, ncomp (che è compreso fra 1 e 4), l’età del capofamiglia, eta, e la spesa totale per beni e servizi, spesatot - che varia fra 0.15 e 9.99. Si consideri la seguente regressione lineare, con standard error robusti all’eteroschedasticità:

• Number of obs = 1306 - F(5, 1300) = 14.78
• Prob > F = 0.0000 - R-squared = 0.0476

| Robust

| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

| eta | .0292471 .0068973 4.24 0.000 .015716 .0427782 |

| eta2 | -.0002281 .0000647 -3.52 0.000 -.0003551 -.0001011 |

| ncomp | .1730057 .0713943 2.42 0.016 .0329451 .3130664 |

| ncomp2 | -.0320499 .013513 -2.37 0.018 -.0585597 .0055402 - |

| spesatot | .0383911 .0095933 4.00 0.000 .019571 .0572113 |

| constant | -.738533 .1805271 -4.09 0.000 -1.092689 -.3843767

Sulla base delle informazioni disponibili, si risponda alle seguenti domande:

1. Si spieghi che cosa stima il coefficiente sulla variabile spesatot in questo contesto.
2. Si spieghi perché è necessario calcolare standard error robusti.

Si spieghi perché questo modello non è sempre adeguato a modellare la probabilità di consumare vino, facendo riferimento al caso in cui la spesa totale sia 30, il numero componenti sia 4 ed il capofamiglia abbia 30 anni. Come si può ovviare a questo tipo di problema?

Sia arr86 una variabile binaria che vale 1 se l'individuo è stato arrestato nel 1986 e 0 altrimenti. Il campione si riferisce a 2725 maschi nati in California nel 1960 o 1961 che hanno subito almeno un arresto prima del 1986. Vogliamo spiegare la variabile arr86 con il seguente modello:

arr86 = β₀ + β₁pcnv + β₂avgsen + β₃tottime + β₄ptime86 + β₅qemp86 + u

dove pcnv è la frazione di arresti che hanno portato ad una condanna, avgsen è la durata media (in mesi) della condanna, tottime sono i mesi trascorsi in prigione dall'età di 18 anni, ptime86 sono i mesi trascorsi in prigione nel 1986 e qemp86 sono i trimestri di occupazione nel 1986 (cioè può assumere valore 0, 1, 2, 3 o 4). I risultati di una stima OLS sono riportati qui:

• Variable
• Coefficiente
• Errore Std.
• statistica t
• p-value
• const 0.440615
• 0.0185348
• 23.7723
• 0.0000
• pcnv -0.162445
• 0.0192047
• -8.4586
• 0.0000
• avgsen 0.00611274
• 0.00595198
• 1.0270
• 0.3045
• tottime -0.00226161
• 0.00439132
• -0.5150
• 0.6066
• ptime86 -0.0219664
• 0.00288473
• -7.6147
• 0.0000
• qemp86 -0.0428294
• 0.00546268
• -7.8404
• 0.0000

Fornite un'interpretazione per β₀

Qual è la probabilità di arresto per un individuo che non ha mai subito condanne, non ha trascorso periodi in prigione dall'età di 18 anni, non ha trascorso periodi in prigione nel 1986 ed è disoccupato nel 1986?

Discute per quali motivi è opportuno utilizzare un modello Probit per spiegare la variabile arr86.

Partendo dalle stime del modello Probit

Prob(arr86 = 1|regressori) = Φ(β₀+β₁pcnv+β₂avgsen+β₃tottime+β₄ptime86+β₅qemp86)

riportate nella tabella seguente:

• Variable
• Coefficiente
• Errore Std.
• statistica t
• Pendenza*
• const 0.101999
• 0.0514957
• -1.9807
• pcnv -0.540474
• 0.0699051
• -7.7315
• -0.177561
• avgsen 0.0189227
• 0.0207674
• 0.9112
• 0.00621663
• tottime -0.00656864
• 0.0164183
• -0.4001
• -0.00215798
• ptime86 -0.0782394
• 0.0178305
• -4.3880
• -0.0257038
• qemp86 -0.131685
• 0.0166737
• -7.8962
• -0.0432534

indicate qual è la probabilità di arresto per un individuo che non ha mai subito condanne, non ha trascorso periodi in prigione dall'età di 18 anni, non ha trascorso periodi in prigione nel 1986 ed è disoccupato nel 1986?

Dati questi valori per la media campionaria delle variabili esplicative: