Compito di econometria 2

Equazioni e varianze nel contesto dei modelli autoregressivi

Y_t = ε_t + tε_2t + 0.8 ε_t-1

Calcolo dell'attesa e della varianza

E (Y_t) = E (ε_t + tε_2t + 0.8 ε_t-1) = E (ε_t) + E(tε_2t) + 0.8 E (ε_t-1) = 0

Var (Y_t) = Var(ε_t + t²Var(ε_2t) + 0.8²Var (ε_t-1) + Cov = σ²₁ + t² σ² + 0.8² σ²₁ = σ²₁ (1 + 0.8²) + t² σ²₂

Modello autoregressivo

a. Y_t = X'_tβ + μ_t

H₀: no autocorrelazione

H₁: μ_t = μ₁ μ_t-1 + β₂ μ_t-2 + E_t

Test di Godfrey-Breusch

Y*_t = β0 + β₁ X_t + μ*_t

1. Sostituisci μ_t FFTest
2. Performance shape del portafoglio

Test GRS (Gibbons-Ross-Shanken)

GRS :ES 2^{^}β ,t = F

Analisi di significatività

E (Y_t) = E (ε_t + tε_2t + 0.8 ε_t-1) = E (ε_t) + E (ε_2t) + 0.8 E (ε_t-1) = 0

Var (Y_t) = Var (ε_t) + t² Var (ε_2t) + 0.8² Var (ε_t-1) + Cov [ ... ]= σ²_ε1 + t²σ²_ε2 + 0.8²σ²_ε1 = σ²_ε1 (1 + 0.8²) + t²σ²_ε2

b. Y_t = X'_tβ + u_t

{H₀: no autocorrelazione} {H₁: u_t = ρ₁u_t-1 + ρ₂u_t-2 + ε_t} {con ε_t~WN(0,σ²)}

1. û_t² = β₀ + β₁X_t + μ_t
2. Sostituzione û_t Test ipotesi [1 ⇒ F ]
3. F ≈ χ²_ac

c. p̂_s = sharpe del portafoglio

p̂ = performance sharpe attuale

H₀: p̂_s = p_s

Test GRS (Gibbons-Ross-Shanken)

GRS = ( ... ) ≈ F_N-T-1ES. 2

Modello di regressione

d. z̆_i = 0.080 + 0.801 St + 0.321 HPB_i + 0.164 E (RAR_i)

t_St = 0.801 / 5.45

t_HPB = 0.321 / 2.36 ⇒ Significativo

E(D_t+1) = E(D_t+1) = μμ = 0.036 + 0.7μμ = 0.036 - 0.121 = 0.7

Var(D_t) = Var(0.036 + 0.7D_t+1 + ε_t) == 0.7²Var(D_t) + Var(ε)_t= σ_ε²

δ₀ = 0.7² . δ₀ + 0.01²δ₀ = 0.01²1 - 0.7²

Covarianze e varianze

a. x₁ = Cov (D_t, D_t+1) = Cov (0.036 + 0.7D_t + ε_t, D_t+1) == 0.7 Var(D_t)

δ₁ = 0.7 . δ₀

x = Cov (D_t, D_t+2) = Cov (0.036 + 0.7D_t+1 + ε_t, D_t+2) == 0.7 . Cov (D_t+1, D_t+2)

δ₁δ₂ = 0.7 . x₁ = 0.7 . 0.7 . δ₀ = 0.7² . δ₀

δ_k = 0.7^k . δ₀

d_tA00.7⁴. δ₀0.7³. δ₀0.7². δ₀0.7. δ₀00 1 2 3 4kc

D = 34Ê_t = -1.3 . E (D_t+1|I_t) = E (0.036 + 0.7 + ε_t+1|I_t) == 0.036 + 0.7 D_t + E(ε_t+1 | I_t) = 2.416

• E[(D_t+2 I_t) = E[0.036 + 0.7 D_t+1 + E_t+2 | I_t)] == 0.036 + 0.7 E[D_t+1 | I_t] + E[E_t+2 | I_t] = 1.12822.416 0d

E[(D_t+1 - D_t+1|t)² | I_t] = E[(0.036 + 0.7 D_t + E_t+1 - 0.036- 0.7 D_t|t)² | I_t] == E[(E²_t+1 | I_t] = σ²_E = 0.012

• E[(D_t+2 - D_t+2|t)² | I_t] = E[(0.036 + 0.7 D_t+1 + E_t+2- 0.036 - 0.7 D_t+1|t)² | I_t] == E[(0.7 (D_t+1 - D_t+1|t) + E_t+2)² | E_t+1] == E[(0.7 E_t+1 + E_t+2 | I_t] == 0.7² E[(E²_t+1 | I_t)] + E[E²_t+2 | I_t] =+ 2.07 E[E_t+1 E_t+2 | I_t] =σ² non correlati= 0.7² 0.01² + 0.01² = 0.01²(1 + 0.7²)

Distribuzione del processo z

ES.4 z_t = δ_t ε_t z_t ~iid N(0,1)

E[z2t | It-1)] = z2t = δ + zt + zt22 + γ δt-1 zt22t-1

dt-1 { zt < 0 'cattive notizie' zt > 0 'buone notizie' δ = 0 δ = δ + αt z2t-1 zt-1 = -1 z2t = δ + αt zt22 + zt22 zt-1 = 0 z2t = δ zt-1 = 1 z2t = δ + αt

b) γ ≠ 0 σ_t² = δ + α₁ z_t-1² + γ d_t-1 z_t-1² = δ + α₁ + γ

c) γ = 0 Shock positivi e negativi hanno lo stesso effetto in termini di volatilità futura γ ≠ 0 Shock negativi causano una volatilità più alta

d) δ = 0 σ_t² = δ + α₁ z_t-1² varianza incondizionata Var (z_t) = E (z_t²) = σ_z² = E (σ_t² z_t²) - E (z_t²) * E (σ_t²)

E (σ_t² z_t²) = δ + α₁ E (z_t-1²) E (z_t²) = δ + α₁ E (z_t-1²)

Var (z_t) = δ / (1 - α₁) varianza condizionale Var (I_t│I_t-1) = E (z_t² | I_t-1) 1 passo avanti = variabilmente da varianza condizionale perché E (σ_t+1² | I_t) = δ + α₁ z_t²

t_pe = 0.164 < 0.29 → non è significativo

t_età = 0.081 < 0.7 → non è significativo

Analisi del test White

b) t_{i - zo} = b₁ (t_{pet - zo})= -0.084    ma (t_{pet - zo}) deve essere > 0 allora BETA_i non ha il segno atteso

c) Δz = -0.084 - ΔBETA_i = -0.0168 → 0.2 < 1.2 - 1

d) TEST WHITE = 2Δ·F₁ H₀: omoschedasticità H₁: eteroschedasticità regressione di μ_i² su variabili        4 quadrati delle variabili prodotti cruciati      6 vari tiddialitati    1414: 2Δ·F₁ > χ²₁₄ valore critico = 23.68 → valore critico > rifiuto H₀     c'è eteroschedasticità

e) E = 0.036 + 0.10T BETA_i → regressione vincolata F = SQR_N - SQR_M · m - parametri nn     SQR_N                                 vincoli     SQR_N= 30242.19 - 27108.82        200 - 5 = 7.95      27108.82                           39: F > χ_q²  3: 7.95 > χ²₃ val. critico = 7.81 → 23.85 > 7.81 → Rifiuto H₀

Proprietà del modello AR(1)

3    AR(1)      Δy_t = 0.036 + 0.7 Δy_t-1 + ε_t

E (Δy_t) = E (0.036 + 0.7 Δy_t-1 + ε_t) = 0.036 + 0.7 E (1) = 0.036 + E (ε_t) (0)                             1.07 < 1 stat. è inconv