Compito di econometria 2

a)

Y_t = ε_t + t(ε_t-1 + 0.8 ε_t-1)

E(Y_t) = E(ε_t) + t E(ε_t-1) + 0.8 E(ε_t-1) = E(ε_t) + E(ε_t-1) + 0.8 E(ε_t-1) = 0

⇨ Non dipende dal tempo

Var(Y_t) = Var(ε_t) + t²Var(ε_t) + 0.8² Var(ε_t) + Cov = σ₂ + t²σ₂ + 0.8²σ₂ + t(1 + 0.8)σ₂

⇨ Depend dal tempo quindi non è stazionario in cov

b) Y_t = X'β + μ_t

{ H₀: no autocorrelazione μ_t

H₁: μ_t = β₁ μ_t-1 + β₂ μ_t-2 + ε_t

con ε_t ~ WN(0,σ²)

TEST DI GODFREY-BREUSCH

1. Ŷ_t = β̂₀ + β̂₁X_t + μ_t

2. Risoluzioni ŷ_t

3. ŷ_t = β̂₀ + β̂₁X_t + μ₁ŷ_t + β̂₂ ŷ_t-2 + ε_t

Test ipotesi ⟶ F ∼ F

2. F ∼ 2 ν

_{(LM): T⋅R² ∼ χ²}

'μ' minucoli

c) r̂_p performance

a_p Shape del portafoglio

p Shape performance Sharpe attuale

Ho: p̂_s = p̂_SFR

⟶ TEST GRS (Gibbons-Ross-Shanken)

GRS: fizz ο η

(n - 1)⟶ F_nTn-1

ES. 2

d)

Estimazione ε̂_t = 0.080 + 0.801 S_t + 0.321 MPBI + 0.164 REL [ORREA] :

⇨ Test non testona la significatività

t = 0.801 = 5.45 | t | > 1.96 R [ruto Ho o è significativo]

t = 3.21 = 2.36 → Significativo

E(D_t) = E(D_t-1) = μ

ε_t = 0.036 + 0.7μ

μ = -0.036 / 0.12 μ = 0

Var (D_t) = Var (0.036 + 0.7 D_t-1 + ε_t) = = 0.7² Var(D_t-1) + Var(ε_t) + 2 0.7 Cov (D_t-1, ε_t)

δ₀ ε_t L ε δ

δ₀ = 0.7² δ₀ + 0.01σ² δ₀ = 0.01σ² 1 - 0.7²

γ₁ = Cov (D_t, D_t+1) = Cov (0.036 + 0.7D_t-1 + ε_t, D_t-1) = = 0.7 Cov (D_t-1, D_t-2)

δ₁ ε_t

δ₂ = 0.7 δ₁ = 0.7 ⋅ 0.7 ⋅ δ₀ = 0.7² ⋅ δ₀

δ_k = 0.7^k ⋅ δ₀

A 0.7δ₀ 0.7²δ₀ 0.7³δ₀ δ₀ 0 _k

D_t = 3.4 Ê_t = -1.3

E(D_t+1 | I_t) = E(0.036 + 0.7 D_t + E_t+1 | I_t) = = 0.036 + 0.7 D_t + E(ε_t+1 | I_t) = = 0.036 + 0.7 D_t + E_t+10 = 2.416 0

20 passi avanti -> maggiormente rilevante la varianza marginale e varianza di lungo periodo

ES 5

Z_it = β_i Z_t + M_it

M_at ∼ iid (0, 0.01²)

M_bt ∼ iid (0, 0.04²)

σ_M = 0.01

ρ_A = 1.1

ρ_B = 0.82

1. Z_AT = 1.1 · 0.01 = 0.011
2. Z_BT = 0.82 · 0.01 = 0.0082

a

Z_A - Z_B = 3.1 ± 1.1, con P = 60%

Prob (2.1 ≤ Z_A-Z_B-3.1 ≤ 4.1) = 60%

2.1 -3.1

-0.84

Prob ( )

0.84

N(0,1)

60%

20%

20%

-0.84

0.84

^{0.04 - 0.03}∕_0.02 = 0.84 → J = 0.012

Varianza dell'opinione = 0.012²

b È come se fosse un'opinione relativa

( 1 -1 )

Pesi

(^2A/_2B)

μ

ɛ ∼ (0, 0.012²)