Dualismo onda particella

Come si costruisce una teoria che descriva oggetti contemporaneamente come onde e come particelle

"Particella ideale": oggetto completamente localizzato

Traiettoria

Nessuna incertezza: Δx = 0, Δt = 0

Incertezze temporali e spaziali della particella

"Onda ideale": onda piana monocromatica

Ψ(x,t) = cos( (kx - ωt) = cos( 2π/λ x - 2π/T t )

k = 2π/λ

ω = 2π/T

Per onda monocromatica sono note senza incertezza Δk = 0, Δω = 0

Oscillazioni che si propagano indefinitamente nello spazio e nel tempo

Oggetto completamente delocalizzato: Δx = +∞, Δt = +∞

Velocità di propagazione

Velocità di fase (phase velocity)

Ψ(x,t) = cos( (kx - ωt) )

Φ(x,t) = kx - ωt

Come misurare, per es., il periodo di un'onda con fase costante?

Φ(x,t) = kx - ωt = Φ₀

x(t) = Φ₀/k + ω/k t

ϕ = ω/k

Me devo muovere con velocità

Ho senso identificare ω con ω_P con la velocità di una particella?

Particella libera

E = 1/2 mv²

E = 1/2 mv² = 1/2 p²/m

p = mv

Ep = particella

Ψ = onda

Non posso identificare ω con Ep in maniera combinate come affermato da Planck - Einstein e da De Broglie

La selezione si combina in fasce diverse onde monocromatiche

"pacchetti d’onda" "wave packet" o "wave group"

combinazione lineare di onde piane con diversi valori di _w e _k

ampiezza risultante

quando è determinato, il numero di onde che interferiscono alla formazione del pacchetto

a(k) dk → contributo dell'onda piana alla formazione del pacchetto, o ampiezza dell’onda compresa tra k e k + dk

(K << 1)

Combinando diverse onde, il pacchetto d’onda ha proprio per la natura del gruppo d’onda

frequenza

modulante → lunghezza d'onda maggiore (minore con relazione ω)

portante → lunghezza d'onda minore (minore con relazione k)

Si può identificare il pacchetto d'onda e determinare con precisione la posizione della particella in movimento di velocità v_g

Proprietà dei pacchetti d'onda:

• Δx · Δk 〜 1
• Δω · Δt 〜 1

(Proprietà che porta al principio di indeterminazione di Heisenberg)

Velocità con cui si muove il pacchetto d’onda (Con cui si muove la modulante)

Velocità di gruppo

in presenza di dispersione

v_g ≠ v_φ

v_g = dω/dk

ω(k), relazione di dispersione

Esempio 5.35 (Pacchetti d'onda Gaussiani)

Prodotto delle incertezze costante

a(k) Gaussiano

ψ(k) calcolato come antitrasformata di a(k)

exp ( - b₀ k²)

densità di probabilità normalizzata

non è normalizzato

Si può notare che

Appendice: integrali gaussiani

relazione tra b e Δk

• a(k)² ↓

Cambio di variabile:

• a(k) ↑

(firma di quest'articolatore)

Cambio di variabile:

Completo il quadrato:

• A = b k'
• B = i k x

ψ(x)_s =

Cambio di variabile:

Principio di indeterminazione di Heisenberg (1924)

Note: è privo di non ha più contemporaneamente con precisione arbitrariamente alta posizione e quantità di moto di una particella

Δx·Δp ≥ ℏ/2

p=k·k

p·k ℏ·Δk

Δk=Δp/ℏ

Δp·Δx ≥ ℏ ₂

Δp e Δx sono calcolati nello stesso stato quantistico

(1) In uno stato quantistico:

Δp=0 ⇢ Δx=∞

conoscere q con precisione arbitrariamente alta (incertezza nulla)

(2) Il principio di indeterminazione si può estendere a diverse coppie di variabili coniugate:

• Δl=3
• Δx·Δp_x ≤ ℏ₂
• Δy·Δp_y ≤ ℏ₂
• Δz·Δp_z ≤ ℏ₂
• Δl_zΔφ ≤ ℏ₂

φ: angolo 2^da componente z ^del momento angolare

rotazione attorno all'asse z

ΔE·Δt ≥ ℏ₂

Δω·Δt ≤ ℏ₂

Δt = tempo necessario per fare la misura di E

ΔE = incertezze ancetaria alla misura di E stesso ordine di grandezza dell'incremento

(3) Principio di indeterminazione nella fisica classica

(4) Il principio esprime il dualismo onda-particella

Prelimpio postulo che (Δx·Δk) ≤

l'atto della misura influenza lo stato del sistema osservato

Sistema nello stato Ψ_m → minimo Δp≠0

Facciamo minima successiva esperienza Δk=0 → dopo la misura il sistema detare in uno stato diverso Ψ₁≠Ψ₁

dove falli del principio

durellismo onda-particello

atto di minima influenza lo stato del sistema

(5) Il principio fornisce un elemento intrinseco sulla posizione dello primo

non al migliore delle tecnologie utilizzate dall'abilità personale

ΔR massimo come si può raggiungere

congiungete (nel caso di funzione gaussiana)

ΔxΔk=ℏ₂

Esercizi

1. principio di indeterminazione
2. diffrazione e forchetta di _gaussiana

esempi macroscopici vs esempi microscopici

Esempio 5.8 (1)

Pallina di squash m = 100 g = 0.1 kg che si muove con velocità v_x = 2 m/s confinata in un tubo di raggio fatto 15 mm -> Δx = 15 mm Calcolare Δp_x dal principio di indeterminazione

Δp_x Δx ≥ _ħ ² ➔ Δp_x ≥ ^ħ _2Δx k = ^ħ ₂

Δp_x ≥ ^{1.05 6.10-34} _2⋅15 = 3.5 10^-36 kg m/s

incertezza sulla velocità:

Δvx ≥ Δpx m

Δv_x ≥ ^{3.5 10-36} _{0.1 kg} = 3.5⋅10^-35 m/s

a noi non ha senso preoccuparci delle incertezze di Heisenberg per oggetti macroscopici

Se Δy_x = 0 ➔ Δy_x = 3.5⋅10^-35 m

Se Δp_y e Δm sicuro con m Δp_y (Δx_y Δp_y = ^ħ _2Δy m)

quanto può percorrere in un tempo t➔1/3 ω? (distanza Δy_m)

Sistema è p_x ➔ Δy

Tempo necessario per osservare Δy cos. = 0.5 mm = 50 cm

t ≥ ^Δy _{3.5⋅10^-35 m⋅1.5} ➔ 1.08⋅10³⁴ s.

t_u = 3.15 10⁷ (15 miliardi ➔ di anni)

1y = 3.65⋅2 s.³⁶⁰⁰ a 3.15⋅0⋅s t ➔ t_u (età universo)

t = 3.16 10^y ➔ t.

tempo che vuole alla pallina per percorrere mezzo metro per via dell’incertezza dovuta al principio di indeterminazione

gli effetti quantistici non sono osservabili nella pratica del mondo quotidiano