Domini normali e integrali doppi

DOMINI NORMALI E INTEGRALI DOPPI [ ]

( ) ( ) ⊂

Siano definite due funzioni e continue in un intervallo

α x β x a , b R

( ) ( ) ∀ ∈[a ]

tali che , si definisce la parte di piano:

α x ≤ β x , x ,b

[ ]

( ) ( ) ( )

∈ }

D={ x , y a , b × R: α x ≤ y ≤ β x

Dominio normale rispetto all’asse , che concettualmente vuol dire

x

perpendicolare (una parte di piano che sembra frutto di una funzione ).

(x)

f

Riprendendo i concetti in una variabile, se si ha una situazione del genere:

Si ha che la parte in blu è il risultato di:

b

∫ ( )

α x dx

a

La parte in verde:

b

∫ ( )

β x dx

a

E la parte in rosso:

( )−α (

β x x)

b b

∫ ∫

( ) ( )

(¿)dx= β x dx− α x dx=m(D)

a a

b

∫ ¿

a

Consideriamo quindi il dominio la cui area è la parte in rosso.

D

Analogamente si può dare la definizione di dominio normale rispetto all’asse

.

y [c ]

, d

Date due funzioni e definite in un intervallo tale che

( ) (

γ y δ y)

( ) ( ) ∀ ∈[c ] , viene definito l’insieme normale rispetto all’asse

E

γ y ≤ δ y , y , d

:

y [ ]

E={( ) ( ) ( )

∈ }

x , y R × c , d :γ y ≤ x ≤ δ y

Concettualmente, i domini normali rispetto all’asse hanno una frontiera

y

che è una funzione del tipo , analogamente a come si è detto prima,

(

f y)

l’area del dominio si trova svolgendo l’integrale:

E

d

∫ ( )

( )−γ ( )

δ y y dy=m(E)

c ¿

Inoltre, un’altra definizione di dominio normale rispetto a ( dice che

x y ¿

comunque viene presa una retta parallela all’asse rispetto a ( , un

y x

dominio è normale rispetto a ( ) se l’intersezione della retta con le

x y

¿

funzioni in ( forma o un segmento od un punto (ad esempio se forma

x y

due segmenti come nel caso sotto:

in cui si sono formati 4 punti e quindi 2 segmenti, l’insieme non è normale

rispetto a ).

y

Esempio: si calcoli l’area della regione

{ }

x

[ ]

( ) ∈

D= x , y 0, π × R :cos x ≤ y ≤ cos 2

Il dominio risulta essere normale rispetto all’asse delle . Il calcolo è

x

semplice, basta applicare la definizione e viene:

[ ] [ ]

π π

( )

x x π

∫

( ) = −cos −sin = −sin =

m D cos x dx= 2 sin x 2 sin π−2 sin 0+sin 0 2

2 2 2

0

0

Un caso particolare è la corona circolare, che non è un dominio normale,

tuttavia essa può essere partizionata in più domini, ciascuno normale ad un

asse diverso, infatti data la corona:

Si vede che le parti sono suddivise in base alle funzioni presenti, infatti nella

√

parte 1 non vi è la funzione , così come nella 3, e se si dovesse

2

1−x

scrivere una rappresentazione del dominio, si scriverebbe che per ,

1≤ x ≤ 2

√

allora , mentre nel caso di 4 e 2 l’ordinata sarà compresa fra le

2

0 ≤ y ≤ 4