Domini normali e integrali doppi

E

γ y ≤ δ y , y , d

:

y [ ]

E={( ) ( ) ( )

∈ }

x , y R × c , d :γ y ≤ x ≤ δ y

Concettualmente, i domini normali rispetto all’asse hanno una frontiera

y

che è una funzione del tipo , analogamente a come si è detto prima,

(

f y)

l’area del dominio si trova svolgendo l’integrale:

E

d

∫ ( )

( )−γ ( )

δ y y dy=m(E)

c ¿

Inoltre, un’altra definizione di dominio normale rispetto a ( dice che

x y ¿

comunque viene presa una retta parallela all’asse rispetto a ( , un

y x

dominio è normale rispetto a ( ) se l’intersezione della retta con le

x y

¿

funzioni in ( forma o un segmento od un punto (ad esempio se forma

x y

due segmenti come nel caso sotto:

in cui si sono formati 4 punti e quindi 2 segmenti, l’insieme non è normale

rispetto a ).

y

Esempio: si calcoli l’area della regione

{ }

x

[ ]

( ) ∈

D= x , y 0, π × R :cos x ≤ y ≤ cos 2

Il dominio risulta essere normale rispetto all’asse delle . Il calcolo è

x

semplice, basta applicare la definizione e viene:

[ ] [ ]

π π

( )

x x π

∫

( ) = −cos −sin = −sin =

m D cos x dx= 2 sin x 2 sin π−2 sin 0+sin 0 2

2 2 2

0

0

Un caso particolare è la corona circolare, che non è un dominio normale,

tuttavia essa può essere partizionata in più domini, ciascuno normale ad un

asse diverso, infatti data la corona:

Si vede che le parti sono suddivise in base alle funzioni presenti, infatti nella

√

parte 1 non vi è la funzione , così come nella 3, e se si dovesse

2

1−x

scrivere una rappresentazione del dominio, si scriverebbe che per ,

1≤ x ≤ 2

√

allora , mentre nel caso di 4 e 2 l’ordinata sarà compresa fra le

2

0 ≤ y ≤ 4−x

due funzioni.

L’importante è non considerare tutta la corona poiché, come si vede dal

grafico, l’area verrebbe 0 facendo l’integrale rispetto ad una singola variabile

(che in realtà non si può definire se non parametricamente).

∀ ∃

ε>0 I , I … I

2

Un insieme si definisce limitato se rettangoli

⊂

B R 1 2 n

compatti tali che:

⊂ ¿ ¿

B i=1 k I

 i

¿ i=1

 k I

¿ <

area ε

( )

i INTEGRALI DOPPI

Dato il dominio normale rispetto ad un asse qualsiasi e data una funzione

D

2 0 , per calcolare l’integrale della funzione si devono fare delle

⊂ ∈C

f : D R → R , f

partizioni del dominio (analoghe ai rettangoli delle funzioni ad una variabile), in

particolare si fa un reticolato, quindi esistono:

∀

=0,

D , D … D : D́ ∩ D́ i≠ j

1 2 n 1 2

La funzione è continua nel dominio, che è limitato, quindi per il teorema di

Weierstrass esistono massimi e minimi, quindi si possono definire somma

superiore e somma inferiore:

n n

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )

( )= ( ) ( )

∀

=

s P min f m D , S P max f m D , P , Q∈ P : s P ≤ S(Q)

i i

D D

i=1 i=1

i i

Con l’insieme delle partizioni, ciò equivale a dire che presa ogni coppia di

P ( ) ( ) ( ) ( )

∀ ∃

>0 −s <ε

ε s P , S Q : S Q P

partizioni e , . Definiti gli insiemi

P Q ε ε ε ε

rispettivamente della somma superiore e della somma inferiore, essi sono

insiemi numerici separati, e dato che la funzione per ipotesi è continua, si

prova che i due insiemi sono contigui. E in particolare esiste un unico elemento

separatore delle somme (che equivalgono a volumi piccolissimi),

quell’elemento è detto integrale doppio della funzione calcolato sul

f

dominio e si indica:

D

❑

∬ ( )

f x , y dxdy

D

Con l’infinitesimo di area. Riguardo agli integrali valgono le proprietà

dxdy

dell’additività, della monotonia (se si calcola l’integrale su uno stesso dominio

di due funzioni l’una maggiore dell’altra, l’integrale della maggiore sarà

maggiore dell’integrale della minore), le proprietà della linearità in generale (le

costanti si portano fuori dagli integrali, l’integrale di una somma di funzioni è la

somma degli integrali) ed il teorema della media, ossia presa una partizione

banale del dominio [ossia quella partizione formata dall’insieme stesso e

D

dall’insieme vuoto], si ha:

❑

1 ∬ ( )

min f ≤ f x , y dxdy ≤ max f

( )

m D

D D

D

Che vale per ogni partizione dell’insieme.

Per quel che riguarda il calcolo degli integrali, essi dipendono dal dominio ,

D

a seconda che esso sia normale rispetto all’asse o all’asse o

x y

partizionabile come nel caso della corona circolare.

Qualora il dominio sia normale rispetto all’asse delle definito come

D x

prima:

{ }

[ ]

( ) ( ) ( )

∈

D= x , y a ,b × R : α x ≤ y ≤ β x [a ] 2

,b

Con e continue in , allora per ogni vale la

(x) (

α β x) ⊂

f : D R →R

seguente formula:

( )

( ) ( )

b β x b β x

❑

∬ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

=

f x , y dxdy= f x , y dy dx dx f x , y dy

( ) ( )

D a α x a α x

Mentre analogamente, se si ha un dominio normale rispetto all’asse delle

E

definito come prima:

y { }

[ ]

( ) ( ) ( )

∈

E= x , y R × c , d :γ y ≤ x ≤ δ y [c ] 2

, d

Con e continue in , allora per ogni vale la

( ) (

γ y δ y) ⊂

f : D R →R

seguente formula:

( )

( ) δ( y)

d δ y d

❑

∬ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

=

f x , y dxdy= f x , y dx dy dy f x , y dx

( ) (

E c γ y c γ y)

Geometricamente, data una funzione definita nel dominio , l’integrale

f D

definito sul dominio della funzione è uguale al volume del solido che ha come

=1

area di base D e come tetto la funzione , ovviamente se il risultato

f f

dell’integrale sarà proprio l’area del dominio .

D

Esempio: si calcoli l’integrale seguente:

❑

∬ xdxdy

D

Definito sul dominio uguale alla corona circolare seguente:

D

Innanzitutto basta fare una considerazione: se si vede graficamente la funzione

( ) =x , si nota che essa è una funzione dispari, quindi a sinistra

f x , y

dell’origine si ha un volume negativo, che annullerà una fetta del dominio a

destra dell’origine, motivo per il quale bisogna calcolare solo l’integrale nella

parte di nel primo quadrante

D

In questo caso, per trovare l’integrale va sfruttata la proprietà dell’additività

dell’integrale doppio, e in particolare la corona va divisa in due pezzi: il primo

composto dalla metà della parte 4 del disegno di sopra, mentre il secondo

composto dalla metà della parte 1 sempre del disegno di sopra, chiamandoli

D D

rispettivamente e si avrà:

1 2

❑ ❑ ❑

∬ ∬ ∬

= +

xdxdy xdxdy xdxdy

D D D

1 2

Quindi si vadano a calcolare i due integrali.

Per il primo integrale si ha:

{ }

√ √

2 2

( ) ∈[0,

= < <

D x , y 1]× R : 1−x x 4−x

1

E quindi l’integrale sarà:

( )

√ 2

1 4− x 1 1 1

√ √ √ √

( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2

−

xdy dx= x 4−x 1−x dx= x 4−x dx− x 1−x

√

0 0 0 0

2

1−x 7

√

− 3+

Il risultato finale dell’integrale sopra sarà 3

D

Mentre per quel che riguarda si avrà:

2

{ }

√

[ ] 2

( ) ∈

=

D x , y 1, 2 × R :0 ≤ y ≤ 4−x

2

E quindi l’integrale sarà:

( )

√ 2

2 4− x 2 √

∫ ∫ ∫ √

2 =

xdy dx= x 4−x 3

1 0 1 7

Sommando i due integrali il risultato finale sarà .

3

Si abbia un’altra situazione di questo tipo: ❑

∬ xydxdy

E si voglia calcolare l’integrale della funzione . È utile fare delle

D

considerazioni prima di procedere con l’integrale, si vede che, restringendo la

retta rossa a , l’insieme diventa simmetrico rispetto all’asse ,

x=2 x=1 y

e considerando che a destra dell’asse delle , con le positive si ha

y y

(−x )=−f (x ) , l’integrale in quella sezione è uguale a 0. In definitiva,

f , y , y

bisogna calcolare l’integrale della funzione sul dominio:

[ ]

( ) ∈ }

D={ x , y 1,2 × R , 0 ≤ y ≤2

Quindi si ha:

2 2

❑

∬ ∫ ∫

=

xydxdy dx xydy=3

D 1 0 2

x y

4 3

(¿ ) dxdy

+ x y

Si calcoli adesso l’integrale sul dominio:

❑

∬ ¿

D

Come prima, prima di svolgere l’integrale, si facciano delle considerazioni di

carattere simmetrico: anche in questo caso il dominio è simmetrico rispetto

all’asse delle , tuttavia la funzione è pari rispetto a e si ha

y x

(−x )=f ( ) , quindi l’integrale non si annulla, ma sarà:

f , y x , y

❑ ❑

∬ ∬

( ) ( )

f x , y dxdy=2 f x , y dxdy

D D

2

D

Con il dominio composto dalle parti 3 e 4.

2

Ma si facciano altre considerazioni, la funzione è dispari rispetto a ed il

y

( )=−f (x )

dominio è simmetrico rispetto all’asse e si ha e si

x f x ,− y , y

analizzino le parti 3 e 4, se la parte 4 ha un limite superiore dato dalla retta

, essa risulterà il dominio simmetrizzato della parte 3, quindi dato che la

y=1

funzione è dispari rispetto a e il dominio è simmetrico rispetto all’asse

y x

, in definitiva si deve calcolare l’integrale solo sulla fetta della parte 4 definita

da: { }

√ 2

[ ]

( ) ∈

D= x , y 0,1 × R , 1≤ y ≤ 2−x

E quindi in definitiva si ha:

√ 2

1 2−x

❑ 64

∬ ∫ ∫ ( )

2 4 3

( ) +

2 f x , y dxdy=2 dx x y x y dy= 315

D 0 1