Analisi matematica II - i domini normali

Capitolo 5: Integrali doppi

Ci proponiamo di estendere alle funzioni reali di due variabili la nozione di integrale di Riemann nel caso dei domini normali. Vedremo che, in opportune ipotesi, il calcolo di tali integrali si riconduce al calcolo successivo di due integrali di funzioni di una variabile. Per tale motivo gli integrali delle funzioni di due variabili si chiamano integrali doppi.

Domini normali

Definizione 1

Siano α(x) e β(x) due funzioni reali continue nell’intervallo compatto [a,b] e tali che ∀x ∈ [a,b], α(x) ≤ β(x). Il sottoinsieme di R²:

D = { (x,y) | x ∈ [a,b], α(x) ≤ y ≤ β(x) }

si chiama dominio normale rispetto all’asse x, definito dalle limitazioni:

• a ≤ x ≤ b
• α(x) ≤ y ≤ β(x)

Osservazione 1

Si noti dalla teoria dell’integrale di Riemann che un dominio D normale all’asse x è un insieme dotato di area (insieme misurabile) e la sua area, che denoteremo col simbolo m(D), è espressa dall'integrale definito:

m(D) = ∫β(x)dx - ∫α(x)dx = ∫(β(x) - α(x))dx

Osservazione 2

Si noti che un dominio D normale all’asse x è effettivamente un dominio, e cioè la chiusura ∀x ∈ [a,b] di un aperto, solo quando risulta α(x) < β(x). Se α(x) = β(x) in un sottoinsieme di [a,b], D non è un dominio. Tuttavia si conviene di utilizzare il termine dominio normale all’asse x per l’insieme D anche quando D non è un dominio, perché ciò non è una differenza nella teoria dell’integrale doppio.

Osservazione 3

Si noti che il dominio D normale rispetto all’asse x definito dalle limitazioni (*) gode della seguente proprietà. Ogni retta perpendicolare all’asse x e passante per un punto dell’intervallo [a,b] intercetta su D un segmento che può anche ridursi ad un punto (segmento degenere).

Domini normali all'asse y

In maniera del tutto analoga si definiscono i domini normali all’asse y:

Definizione 2

Siano γ(y) e δ(y) due funzioni reali continue nell’intervallo compatto [c,d] e tali che ∀y ∈ [c,d], γ(y) ≤ δ(y). Il sottoinsieme di R²:

D = { (x,y) | y ∈ [c,d], γ(y) ≤ x ≤ δ(y) }

si chiama il dominio normale rispetto all’asse y definito dalle limitazioni:

• c ≤ y ≤ d
• γ(y) ≤ x ≤ δ(y)

Osservazione 4

Per i domini normali all’asse y valgono, con le ovvie modifiche, le considerazioni fatte nelle osservazioni 1, 2 e 3.

Definizione 3

Un dominio normale all’asse x (all’asse y) si dice un dominio regolare normale all’asse x (all’asse y) quando la sua frontiera è una curva semplice chiusa regolare a tratti.

Osservazione 5

Si noti che D, dominio normale all’asse x definito dalle limitazioni (*), è dominio regolare normale all’asse x se e solo se le funzioni α(x) e β(x) sono di classe C in [a, b]. Analogamente per i domini normali all’asse y.

Integrali doppi su domini normali

Premettiamo una definizione

Definizione 1

Sia D ⊆ R² un dominio limitato (non necessariamente dominio normale) e D₁, D₂, ..., D_n (n > 1), i domini contenuti in D. Si dice che i domini D₁, D₂, ..., D_n costituiscono una partizione o anche una decomposizione di D quando risulta:

• D₁, D₂, ..., D_n sono due a due domini privi di punti interni comuni.
• D₁ ∪ D₂ ∪ ... ∪ D_n = D.

Una partizione del dominio D negli n domini D₁, D₂, ..., D_n si denota col simbolo { D₁, D₂, ..., D_n } e i domini D₁, D₂, ..., D_n si chiamano gli elementi della partizione.

Osservazione 1

Si noti che se D è un dominio decomponibile in un numero finito di domini misurabili (cioè dotati di area) i quali costituiscono una partizione di D, per la proprietà additiva della misura, risulta che D è a sua volta misurabile e:

m(D) = m(D₁) + m(D₂) + ... + m(D_n)

Definizione 2 (di integrale doppio)

Sia ƒ(P) = ƒ(x, y) una funzione reale limitata in D, un dominio normale (all’asse x, all’asse y, oppure anche normale ad entrambi gli assi x, y). Per ogni partizione P = {D₁, D₂, ..., D_n} di D in domini normali porremo:

∀i ∈ {1,2,...,n}, m_i = inf ƒ(P); M_i = sup ƒ(P)

considereremo le due somme integrali:

s(P) = Σ m_i · m(D_i); S(P) = Σ M_i · m(D_i)

dove m(D_i) denota la misura o anche l’area del dominio normale D_i.

Al variare della partizione P di D in domini normali, tali somme integrali descrivono due insiemi numerici:

A = {s(P)}; B = {S(P)}.

Si dimostra che, analogamente al caso delle funzioni di una variabile, tali insiemi numerici sono separati. Conseguentemente A e B ammettono elementi separatori. Se A e B sono anche contigui, l’unico elemento separatore si chiama l’integrale doppio di ƒ(P) = ƒ(x,y) esteso al dominio D e si denota con uno dei simboli:

∬ƒ(P)dxdy; ∬ƒ(x, y)dxdy.

Osservazione 2

Analogamente al caso delle funzioni di una variabile si dimostra che se ƒ(P) = ƒ(x,y) è continua in D, ƒ(P) = ƒ(x,y) è integrabile in D.

Proprietà degli integrali doppi

L’integrale doppio gode di tutte le proprietà dell’integrale. In particolare valgono le seguenti proprietà:

1) Proprietà distributiva

Se ƒ, g sono funzioni integrabili nel dominio normale D e c₁ e c₂ sono costanti reali, risulta:

∬ [c₁ƒ(x, y) + c₂g(x, y)]dxdy = c₁∬ƒ(x, y)dxdy + c₂∬g(x, y)dxdy

2) Proprietà additiva

Se {D₁, D₂, ..., D_n} è una partizione del dominio normale D in domini normali e ƒ(x,y) è una funzione integrabile in D, risulta:

∬ƒ(x, y)dxdy = ∬ƒ(x, y)dxdy + ∬ƒ(x, y)dxdy + ... + ∬ƒ(x, y)dxdy

Significato geometrico dell’integrale doppio

Premettiamo che, se ƒ(x,y) è una funzione continua in un dominio connesso e limitato D ⊆ R² (non necessariamente normale), il sottoinsieme di R³:

S = { (x, y, z) | (x, y) ∈ D e z = ƒ(x, y) }

è, come vedremo, una superficie che si chiama il diagramma della funzione ƒ(x,y). L’equazione z = ƒ(x,y) si chiama l’equazione cartesiana del diagramma di ƒ(x,y).

Definizione

Sia ƒ(x, y) una funzione reale di due variabili continua e non negativa in un dominio normale D. L’insieme:

C = { (x, y, z) | (x, y) ∈ D e 0 ≤ z ≤ ƒ(x,y) }

si chiama cilindroide di base D relativo alla funzione ƒ(x, y).

Osservazione 3

Il cilindroide C è un insieme compatto di R³ che ha per frontiera la superficie diagramma z = ƒ(x,y), il dominio normale D e i segmenti paralleli all’asse z passanti per i punti della frontiera ∂D del dominio D. Se ƒ(x,y) = h > 0 (cioè se ƒ è costante) il cilindroide si riduce al cilindro di base D e altezza h.

Premesso tutto ciò, si dimostra che il cilindroide C di base D relativo alla funzione ƒ è un solido misurabile (cioè dotato di volume) e risulta:

vol. C = ∫∫ ƒ(x, y)dxdy

Conseguentemente: se ƒ è continua e non negativa nel dominio normale D l’integrale doppio di ƒ esteso a D rappresenta il volume del cilindroide C di base D relativo alla funzione ƒ.

Formule di riduzione degli integrali doppi

È fondamentale per le applicazioni il seguente risultato che consente di calcolare un integrale doppio mediante il calcolo successivo di due integrali semplici e cioè integrali di funzioni di una sola variabile.

Teorema (che contiene le formule di riduzione)

Sia ƒ(x,y) una funzione reale continua nel dominio normale D. Se il dominio D è definito dalle limitazioni:

• a ≤ x ≤ b
• α(x) ≤ y ≤ β(x)

e cioè è un dominio normale all’asse x, vale la formula di riduzione:

(*) ∫∫ ƒ(x,y) dxdy = ∫[a,b] dx ∫[α(x), β(x)] ƒ(x,y) dy

Se, invece, D è definito dalle limitazioni:

• c ≤ y ≤ d
• γ(y) ≤ x ≤ δ(y)

e cioè è un dominio normale all’asse y, vale la formula di riduzione:

(**) ∫∫ ƒ(x,y) dxdy = ∫[c,d] dy ∫[γ(y), δ(y)] ƒ(x,y) dx

Rimandiamo, per motivi di brevità, alla dimostrazione di questo teorema.

Osservazione 1

Le uguaglianze (*), (**) contenute in questo teorema si chiamano le formule di riduzione degli integrali doppi. Si noti che, se poniamo:

∀x ∈ [a, b], g(x) = ∫[α(x), β(x)] ƒ(x, y) dy

allora il simbolo al secondo membro della formula (*) si interpreta nel seguente modo:

∫[a, b] dx ∫[α(x), β(x)] ƒ(x,y)dy = ∫[a, b] ( ∫[α(x), β(x)] ƒ(x,y)dy )dx = ∫[a, b] g(x)dx

cioè è un simbolo che compendia due integrazioni successive di funzioni di una sola variabile. La prima integrazione va eseguita rispetto a y e conduce alla determinazione della funzione g(x), la seconda integrazione rispetto a x della funzione g(x) conduce poi al calcolo dell’integrale doppio. Un analogo ragionamento vale per la formula di riduzione (**). È evidente in conclusione, l’utilità pratica delle formule di riduzione.

Integrali doppi su domini regolari

Premettiamo che, considerato nel piano cartesiano (O, x, y) un dominio limitato D, si dice che D è un dominio regolare quando risulta decomponibile in un numero finito D₁, D₂, ..., D_n di domini normali regolari a due a due privi di punti interni in comune. Ad esempio è un dominio regolare la corona circolare D di centro l’origine O (0,0) e raggi r₁ e r₂.

Infatti, mediante la retta di equazione x = r₁ e x = -r₁, D si decompone nei quattro domini normali regolari D₁, D₂, D₃, D₄.

Ciò posto, se ƒ(x,y) è una funzione continua nel dominio regolare D e se D è decomponibile nei domini normali regolari D₁, D₂, ..., D_n, a due a due privi di punti interni in comune, si pone per definizione:

∫∫ ƒ(x,y)dxdy = ∫∫ D₁ ƒ(x,y)dxdy + ∫∫ D₂ ƒ(x,y)dxdy + ... + ∫∫ D_n ƒ(x,y)dxdy

Si dimostra che l’integrale doppio a primo membro non dipende dalle partizioni {D₁, D₂, ..., D_n} di D.

Osservazione 1 (notevole)

Dalla definizione precedente si deduce che per calcolare l’integrale doppio di una funzione continua in un dominio regolare D è necessario decomporre il dominio D in domini normali D₁, D₂, ..., D_n; calcolare con una formula di riduzione gli integrali doppi di ƒ estesi ai domini D₁, D₂, ..., D_n e infine sommare.

Nella pratica, la necessità di decomporre il dominio D in domini normali si può presentare anche quando, pur essendo D un dominio normale, almeno una delle due curve frontiera non si può esprimere mediante un’unica equazione cartesiana.

Osservazione 2 (notevole)

Si noti che se D è il dominio normale all’asse x definito dalle limitazioni:

• a ≤ x ≤ b
• α(x) ≤ y ≤ β(x)

risulta:

∬ 1 · dxdy = ∫[a, b] dx ∫[α(x), β(x)] 1 · dy = ∫[a, b] [β(x) - α(x)] dx = m(D)

Analogamente se D è un dominio normale all’asse y. È facile a questo punto concludere che ogni dominio regolare D è numerabile (cioè è un insieme dotato di area) e risulta:

m(D) = ∫∫ dxdy

Formule di Gauss e conseguenze

Ci proponiamo di dimostrare un teorema molto importante che fornisce delle formule, dette di Gauss, le quali consentono di calcolare un integrale doppio mediante un integrale curvilineo e viceversa.

Teorema (1)

Se ƒ(x, y) è una funzione di classe C in un dominio regolare D, valgono le seguenti formule di Gauss:

∬∫∂ƒ/∂x dxdy = ∬ƒ dy ; ∬∫∂ƒ/∂y dxdy = -∬ƒ dx

Dimostrazione

Premettiamo che, essendo un dominio regolare unione di un numero finito di domini normali, basta dimostrare il teorema per i domini normali. Per ragioni di semplicità ci limitiamo a dimostrare la prima delle formule di Gauss nel caso che D sia un dominio normale rispetto all’asse y definito dalle limitazioni:

• c ≤ y ≤ d
• γ(y) ≤ x ≤ δ(y)

Osserviamo innanzitutto che in tal caso, per la formula di riduzione, risulta:

∬∫∂ƒ/∂x dxdy = ∫[c, d] dy ∫[γ(y), δ(y)] ∂ƒ/∂x dx = ∫[c, d] [ƒ(δ(y), y) - ƒ(γ(y), y)] dy

D’altra parte, se indichiamo con Γ₁, Γ₂, Γ₃, Γ₄, gli archi di curva semplici e regolari che compongono la frontiera ∂D del domino D orientati nel verso che lascia alla sinistra i punti interni, risulta:

∬ƒ(x,y)dy = ∬Γ₁ ƒ(x,y)dy + ∬Γ₂ ƒ(x,y)dy + ∬Γ₃ ƒ(x,y)dy + ∬Γ₄ ƒ(x,y)dy

Il primo e il terzo degli integrali curvilinei a secondo membro di questa uguaglianza sono nulli perché sui segmenti Γ₁, Γ₃ l’ordinata y è costante. D’altra parte Γ₂, Γ₄ ammettono rispettivamente le rappresentazioni parametriche:

• x = δ(t), y = t, t ∈ [c, d]
• x = γ(t), y = t, t ∈ [c, d]

per cui, tenuto anche conto dell’orientamento di tali curve, si ha:

∬Γ₂ ƒ(x, y)dy = ∬∫[c, d] ƒ(δ(t), t)dt - ∬∫[c, d] ƒ(γ(t), t)dt = ∬∫[c, d] [ƒ(δ(t), t) - ƒ(γ(t), t)]dt

Confrontando questa con la precedente espressione si ha la tesi.

Teorema di Stokes

Una conseguenza immediata di questo teorema è il seguente risultato che lega gli integrali doppi agli integrali curvilinei delle forme differenziali lineari.

Sia Xdx + Ydy una forma differenziale lineare di classe C¹ nel dominio regolare D ⊆ R². In tale ipotesi risulta:

∬∫ Xdx + Ydy = ∬∫(Y_y - X_x)dxdy

Dimostrazione

Dalle formule di Gauss risulta:

∬∫∂Y/∂x dxdy = ∬ Ydy ; ∬∫∂X/∂y dxdy = -∬ Xdx

Sottraendo membro a membro queste uguaglianze e applicando la proprietà distributiva dell’integrale, si ha la tesi.

Calcolo di un integrale doppio mediante le coordinate polari

Premettiamo che, se P = (x, y) è un punto del piano cartesiano (O, x, y) diverso dall’origine O = (0,0), il numero ρ = distanza di P da O e il numero θ misura in radianti dell’angolo formato dal segmento OP col semiasse positivo delle x (vedi figura) si chiamano le coordinate polari del punto P. Il legame tra le coordinate cartesiane (x, y) di P e le coordinate polari (ρ, θ) è espresso dalle uguaglianze:

• x = ρ cosθ
• y = ρ senθ

le quali si chiamano le formule del passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane. Le formule di passaggio dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane consentono di trasformare insiemi del piano cartesiano (O, ρ, θ) (cioè di origine O e assi ρ e θ) in insiemi del piano cartesiano (O, x, y). Per tale motivo si dice che le (*) costituiscono una trasformazione di equazioni x = ρ cosθ, y = ρ senθ.

Definizione (1)

Siano φ(θ) e ψ(θ) funzioni reali di classe C nell’intervallo [α, β] con β - α ≤ 2π tali che:

• 0 ≤ φ(θ) ≤ ψ(θ) per ogni θ ∈ [α, β]

L’insieme D dei punti (x, y) le cui coordinate polari (ρ, θ) verificano le limitazioni:

• α ≤ θ ≤ β
• 0 ≤ ρ ≤ ψ(θ)

si chiama il dominio polarmente normale definito (mediante le coordinate polari) dalle limitazioni (**).

In particolare l’insieme D dei punti (x, y) le cui coordinate polari verificano le limitazioni:

• α ≤ θ ≤ β
• 0 ≤ ρ ≤ ψ(θ)

si chiama il vettore di equazione polare ρ = ψ(θ) ; θ ∈ [α, β].

Osservazione 1

Il motivo per cui il dominio D è detto polarmente normale è che ogni semiretta uscente dall’origine la quale formi con l’asse x un angolo θ ∈ [α, β]...