Analisi matematica II - i domini normali

DERIVATE PARZIALI

Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P = (x , y ) un punto interno (P) di centro P e raggio r tutto contenuto in A. In tali ipotesi esiste un intorno I_r ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x:

(*) ƒ(x, y ) - ƒ(x , y ) ∈ con x ] x - r , x + r - {x }

x - x₀ e si denota con uno dei simboli ∂ƒ(P )

Si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a x nel punto P₀ ∂ƒ(P ) = ƒ (P ) = lim_x→x0 (x - x₀)

Analogamente si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a y nel punto P₀ ∂ƒ(P ) = ƒ (P ) = lim_y→y0 (y - y₀)

– {y }0 0 0y – y 0quando tale limite esiste ed è finito. In simboli:∂ƒ(P ƒ(x , y) – ƒ(x , y )) 0 0 0≝0ƒ (P ) = ƒ (x , y ) = limy 0 y 0 0 ∂y y – y0y→y 0Si dice che ƒ(x,y) è derivabile nel punto P =(x , y ) quando esistono finite in P0 0 0 0entrambe le derivate parziali.ÅSe A = e cioè se A è un aperto e se ƒ(x,y) è derivabile in ogni punto di A si diceche ƒ è derivabile nell’insieme A.Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 5 di 20Osservazione notevole sulla continuitàRicordando che per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuitàrisulta che: ƒ(x, y ) – ƒ(x , y ) ∈0 0 0lim R lim ƒ (x, y ) = ƒ (x , y )⇒ 0 0 0x – xx→x x→x00 0e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel puntoP = (x , y ) allora

Tale funzione è continua rispetto a x nel punto P = (0,0).

Analogamente: ƒ(x , y) – ƒ(x , y ) ∈ ⇒ lim ƒ(x , y) = ƒ(x , y ) quando x → x0 e y → y0.

E cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a y nel punto P = (x , y ), allora tale funzione è continua rispetto a y nel punto P = (x , y ).

Tuttavia, la continuità della funzione ƒ rispetto a x e rispetto a y nel punto P non implica la continuità di ƒ in P, cioè: lim ƒ(x , y ) ≠ ƒ(x , y ) e lim ƒ(x, y) ≠ ƒ(x , y ) quando x → x0 e y → y0.

Si prenda ad esempio la funzione:

ƒ(x, y) = xy se (x,y) ≠ (0, 0)

ƒ(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0)

Tale funzione non risulta essere continua in (0,0) perché lungo la retta y = x si ha: lim ƒ(x, y) = lim ƒ(x, x) = lim x = 1 quando x → 0.

→ 2x 2y→0

Tuttavia è continua in (0,0) sia rispetto a x sia rispetto a y.

∀ ∈ ∀ ∈

Infatti essendo ƒ(x,0) = 0 x R - {0} e ƒ(0,y) = 0 y R - {0} risulta:

lim ƒ(x, 0) = 0 = ƒ(0, 0) e lim ƒ(0,y) = 0 = ƒ(0, 0)x 0 y 0→ →

In conclusione: ⇏) ( )( ƒ derivabile in P ƒ continua in P0 0

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 6 di 20

DERIVATE PARZIALI DI ORDINE SUPERIORE

Sia ƒ(P) = ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo che ƒ sia derivabile in A e cioè che ƒ sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in ∈ogni punto P = (x,y) A.

Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni:

∈ ∈

→ →

(x,y) A ƒ (x,y); (x,y) A ƒ (x,y).

Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di ƒ rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di ƒ rispetto a y in A

Definizione

Se le funzioni derivate prime ƒ e ƒ sono a loro volta derivabili in ogni punto x y dell'aperto A, le quattro funzioni:

∂ƒ ∂ƒ ∂ƒ∂ƒ x x y y(P); (P); (P); (P)∂x ∂y ∂x ∂y

si chiamano le derivate (parziali) seconde di ƒ in A e si denotano con i simboli:

ƒ (P) ; ƒ (P) ; ƒ (P) ; ƒ (P)xx xy yx yy

oppure anche con i simboli:

2 2 2 2∂ ∂ ∂ ∂ƒ ƒ ƒ ƒ (P)(P); (P); (P);2 2∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y

Teorema di Schwarz (di inversione dell'ordine di derivazione)

Sia ƒ(x,y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente implicazione: ∈ ⇒( ƒ , ƒ continue in (x , y ) A) (ƒ

(x, y) = ƒ(x, y)

(xy)y = (yx) = 0

xy = 0

yx = 0

E ciò significa che le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti in cui risultano continue.

Osservazione

Il teorema di Schwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza preoccuparsi dell'ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate seconde sono continue.

A partire dalle derivate seconde si definiscono, in maniera analoga, le derivate terze, quarte, ..., n-esime di ƒ(x, y).

Evidentemente se tali derivate successive sono continue allora le derivate miste, per il teorema di Schwarz, non dipendono dall'ordine di derivazione.

LA NOZIONE DI DIFFERENZIABILITÀ

Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue.

Vedremo subito che la nozione equivalente alla

continua in P)*****************Vogliamo ora dimostrare un teorema che garantisce la differenziabilità di una funzione. A tale scopo premettiamo un risultato che si ottiene facilmente mediante il teorema di Lagrange per le funzioni di una variabile.

Proposizione
Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x,y), P+∆P =(x+∆x, y+∆y) di punti di A esiste un punto P = (x, y) tale che ∆ƒ = ƒ ( x, y+∆y)∆x + ƒ (x, y)∆y dove x y x e y sono tali che x < x < x+∆x; y < y < y+∆y il che significa che P è “interno” al segmento di estremi P e P+∆P.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 9 di 20

Teorema ( condizione sufficiente di differenziabilità) ∈
Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x,y) A. V. s. i. ⇒, ƒ continue in P) (ƒ differenziabile in P)(ƒx y e cioè ƒ è differenziabile in ogni punto di A nel quale le

derivate sono continue.

Dimostrazione:

In base alla definizione dobbiamo dimostrare che:

∆ƒ - dƒlim = 0

(∆x,∆y) (0,0)→ ∆x ∆y2 2√ +

Per la proposizione precedente, tenuto conto dell’espressione di dƒ, si ha:

∆y)∆ƒ (x, y + - ƒ (x, y)]∆x + [ ƒ (x, y) - ƒ (x, y)]∆y.

- dƒ = [ ƒ x x y y

Conseguentemente :

∆ƒ - dƒ | ∆x≤ ≤ |0 | ƒ (x, y + ∆y) - ƒ (x, y) | . +x x∆x ∆y2 2√ + ∆x ∆y2 2√ +| ∆y | ≤ ∆y)+ | ƒ (x, y) - ƒ (x, y) | . | ƒ (x, y + - ƒ (x, y)| + |ƒ (x, y) - ƒ (x, y)|y y x x y y∆x ∆y2 2√ +∆x ∆y.

dove x < x < x + e y < y < y +→

Passando al limite per (∆x,∆y) (0,0) si ha l’asserto per l’ipotesi di continuità in(x,y) delle derivate parziali e per il criterio di convergenza per confronto (checontinua a valere per le funzioni di due

variabili).

Appunti corso Analisi Matematica II - prof. Giuga Pa