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Analisi matematica II - i domini normali Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica II per l'esame del professor Giuga sui domini normali. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli integrali doppi ed in particolare i domini normali (integrali doppi su domini normali) e la proprietà additiva e distributiva.

Esame di Analisi matematica 2 docente Prof. S. Giuga

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ESTRATTO DOCUMENTO

Definizione 9 ⊆ 2

Chiusura di un insieme: Sia A R . Si chiama chiusura di A e si denota con il

∂A.

simbolo Ā, l’insieme unione di A e della frontiera di A. In simboli: Ā = A U La

chiusura Ā di A è un insieme chiuso perché contiene tutti i punti frontiera.

Definizione 10 2

Dominio: Si chiama dominio ogni sottinsieme di R che risulti essere la chiusura di un

insieme aperto, e cioè anche l’unione di un insieme aperto e della sua frontiera.

Ad esempio un cerchio chiuso, un angolo chiuso sono domini. L’insieme ottenuto come

unione di un cerchio chiuso e di un segmento non è un dominio.

LA DEFINIZIONE DI LIMITE

La definizione di limite, già nota per le funzioni di una variabile, si estende facilmente

alle funzioni di due variabili. Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita nell’insieme

⊆ 2 ∈

e P = (x , y ) un punto di accumulazione per A. Si dice che ƒ ha limite l R in

A R 0 0 0

P e si scrive

0 lim ƒ (x, y) = l oppure anche lim ƒ(P) = l

(x, y)→(x ,y ) P→P

0 0 0

quando vale la seguente proprietà detta definizione di limite.

∀ ∃ ∈ ∈

(l) I (P ) : P A ∩ I (P ) – {P } f(P) J (l)

J ε δ 0 δ 0 0 ε

(l) un intervallo aperto di centro l e raggio ε e cioè J (l)=] l – ε; l +ε [

la quale essendo J

ε ε

e I (P ) un cerchio aperto di centro P e raggio δ e cioè

δ 0 0

2

I (P ) = { (x,y) R : < δ }, si esprime in maniera equivalente:

δ 0 ∃ ⇒

∀ ∈

ε > 0 δ > 0 : (x,y) A e 0 < < δ |ƒ(x,y) – l |< ε

I due casi l = + ∞ e l = - ∞ si trattano in maniera analoga.

Ad esempio lim ƒ(P) = +∞ significa che vale la proprietà:

P→P

0 ⇒

∀ ∃ ∈ ∈

J(+∞) I (P ): x A ∩ I(P ) – {P } ƒ(P) J(+∞)

δ 0 0 0

e cioè se: J(+∞) = ]M, +∞[ con M > 0. ⇒

∀ Μ > 0 ∃ ∈ > Μ.

δ > 0 : (x,y) A e 0 < < δ ƒ(P)

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 3 di 20

Definizione di funzione continua

⊆ 2 ∈

Sia f : A R → R e P = (x , y ) A. Si dice che ƒ è continua in P = (x , y ) quando

0 0 0 0 0 0

risulta lim ƒ (x, y) = l oppure anche lim ƒ(P) = l .

(x, y)→(x ,y ) P→P

0 0 0

Si dice che ƒ è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.

A proposito delle funzioni continue, si estende il teorema di Weiestrass nella maniera

seguente.

Teorema di Weiestrass

Se ƒ(x,y) è una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato (cioè compatto)

allora ƒ assume in A il minimo ed il massimo e cioè esistono in A due punti (x, y) e

(x, y) tali che ∀ ∈

ƒ(x, y) ≤ ƒ(x, y) ≤ ƒ(x, y) (x, y) A.

Osservazione

La definizione di limite, la continuità e il teorema di Weiestrass si estendono facilmente

alle funzioni reali di k variabili con k > 2. Di ciò la cura al lettore.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 4 di 20

DERIVATE PARZIALI

Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P = (x , y ) un punto interno

0 0 0

(P ) di centro P e raggio r tutto contenuto in A

ad A. In tali ipotesi esiste un intorno I

r 0 0

ed ha senso considerare la funzione della sola variabile x:

(*) ƒ(x, y ) – ƒ(x , y ) ∈

con x ] x – r , x + r [ – {x }

0 0 0 0 0 0

x – x 0 e si denota con uno dei simboli

Si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a x nel punto P

0

∂ƒ(P )

ƒ (P ), il limite in x della funzione (*) sempre che tale limite esista e sia

0

x 0 0

∂x

finito. Riassumendo: ƒ(x, y ) – ƒ(x , y )

0 0 0

∂ƒ(P ) ≝

ƒ (P ) = ƒ (x , y ) = lim

0

x 0 x 0 0 x – x

0

∂x x→x

0 e si denota con

Analogamente si chiama derivata parziale di ƒ rispetto a y nel punto P

0

∂ƒ(P )

(P ), il limite in y della funzione

uno dei simboli ƒ 0

y 0 0

∂y

ƒ(x , y) – ƒ(x , y ) ∈

0 0 0 con y ] y – r , y + r [ – {y }

0 0 0

y – y 0

quando tale limite esiste ed è finito. In simboli:

∂ƒ(P ƒ(x , y) – ƒ(x , y )

) 0 0 0

0

ƒ (P ) = ƒ (x , y ) = lim

y 0 y 0 0 ∂y y – y

0

y→y 0

Si dice che ƒ(x,y) è derivabile nel punto P =(x , y ) quando esistono finite in P

0 0 0 0

entrambe le derivate parziali.

Å

Se A = e cioè se A è un aperto e se ƒ(x,y) è derivabile in ogni punto di A si dice

che ƒ è derivabile nell’insieme A.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 5 di 20

Osservazione notevole sulla continuità

Ricordando che per le funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità

risulta che: ƒ(x, y ) – ƒ(x , y ) ∈

0 0 0

lim R lim ƒ (x, y ) = ƒ (x , y )

⇒ 0 0 0

x – x

x→x x→x

0

0 0

e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto

P = (x , y ) allora tale funzione è continua rispetto a x nel punto P .

0 0 0 0

Analogamente:

ƒ(x , y) – ƒ(x , y )

0 0 0 ∈ ⇒ , y) = ƒ (x , y )

lim R lim ƒ (x 0 0 0

y – y

y→y y→y

0

0 0

e cioè se una funzione ƒ(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a y nel punto

P = (x , y ) allora tale funzione è continua rispetto a y nel punto P .

0 0 0 0

Tuttavia la continuità della funzione ƒ rispetto a x e rispetto a y nel punto P non

0

implica la continuità di ƒ in P e cioè:

0 ⇏

) = ƒ(x , y ) e lim ƒ(x , y ) = ƒ(x , y ) lim ƒ(x, y) = ƒ(x , y )

lim ƒ(x, y 0 0 0 0 0 0 0 0

x→x

x→x y→y 0

0 0 y→y 0

Si prenda ad esempio la funzione:

xy ≠

se (x,y) (0, 0)

2 2

x + y

ƒ(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0)

tale funzione non risulta essere continua in (0,0) perché lungo la retta y = x si ha:

2

lim ƒ(x, y) = lim ƒ(x, x) = lim x = 1 ƒ(0,0)

x→0 x 0 x 0 2

→ → 2x 2

y→0

Tuttavia è continua in (0,0) sia rispetto a x sia rispetto a y.

∀ ∈ ∀ ∈

Infatti essendo ƒ(x,0) = 0 x R - {0} e ƒ(0,y) = 0 y R - {0} risulta:

lim ƒ(x, 0) = 0 = ƒ(0, 0) e lim ƒ(0,y) = 0 = ƒ(0, 0)

x 0 y 0

→ →

In conclusione: ⇏

) ( )

( ƒ derivabile in P ƒ continua in P

0 0

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 6 di 20

DERIVATE PARZIALI DI ORDINE SUPERIORE

Sia ƒ(P) = ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un aperto A. Supponiamo

che ƒ sia derivabile in A e cioè che ƒ sia derivabile parzialmente rispetto a x e y in

ogni punto P = (x,y) A.

Ha senso allora considerare le seguenti due funzioni:

∈ ∈

→ →

(x,y) A ƒ (x,y); (x,y) A ƒ (x,y).

x y

Tali funzioni si chiamano rispettivamente la (funzione) derivata parziale prima di ƒ

rispetto a x in A e la (funzione) derivata parziale prima di ƒ rispetto a y in A e si

denotano con uno dei seguenti simboli: ∂ƒ

∂ƒ

ƒ (x,y); (x,y) ; ƒ (x, y); (x,y) ;

x y

∂x ∂y

oppure anche: ∂ƒ

∂ƒ

ƒ (P); (P) ; ƒ (P); (P) ;

x y

∂x ∂y

Definizione

Se le funzioni derivate prime ƒ e ƒ sono a loro volta derivabili in ogni punto

x y

dell'aperto A, le quattro funzioni:

∂ƒ ∂ƒ ∂ƒ

∂ƒ x x y y

(P); (P); (P); (P)

∂x ∂y ∂x ∂y

si chiamano le derivate (parziali) seconde di ƒ in A e si denotano con i simboli:

ƒ (P) ; ƒ (P) ; ƒ (P) ; ƒ (P)

xx xy yx yy

oppure anche con i simboli:

2 2 2 2

∂ ∂ ∂ ∂

ƒ ƒ ƒ ƒ (P)

(P); (P); (P);

2 2

∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y

Teorema di Schwarz (di inversione dell’ordine di derivazione)

Sia ƒ(x,y) una funzione reale due volte derivabile in un aperto A. Vale la seguente

implicazione: ∈ ⇒

( ƒ , ƒ continue in (x , y ) A) (ƒ (x , y ) = ƒ (x , y ))

xy yx 0 0 xy 0 0 yx 0 0

e cioè le derivate seconde miste di una funzione di due variabili sono uguali nei punti

in cui risultano continue.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 7 di 20

Osservazione

Il teorema di Schwarz consente di calcolare le derivate seconde miste senza

preoccuparsi dell’ordine delle derivazioni successive nei punti in cui le derivate

seconde sono continue. ****************

A partire dalle derivate seconde si definiscono, in maniera analoga, le derivate terze,

quarte, … , n-esime di ƒ(x, y).

Evidentemente se tali derivate successive sono continue allora le derivate miste, per il

teorema di Schwarz, non dipendono dall’ordine di derivazione.

LA NOZIONE DI DIFFERENZIABILITÀ

Abbiamo visto che contrariamente a quanto accade per le funzioni di una variabile, le

funzioni di due variabili che sono derivabili non sono necessariamente continue.

Vedremo subito che la nozione equivalente alla derivabilità delle funzioni di una

variabile è per le funzioni di più variabili la differenziabilità.

Definizione ∈ ∆x ∆y

Sia ƒ(x,y) una funzione definita in un aperto A e P = (x,y) A. Indicati con e

∆P ∆y)

due numeri reali qualsiasi poniamo = (∆x, e P+∆P = (x+∆x, y+∆y) (cioè

∆P ∆x, ∆y

chiamiamo il punto di coordinate e P+∆P il punto di coordinate x+∆x,

y+∆y). Se il punto P+∆P A è lecito considerare la differenza (detta incremento di ƒ

relativo ai punti P e P+∆P) tra i valori di ƒ nei punti P e P+∆P:

∆ƒ = ƒ(P+∆P) – ƒ(P) = ƒ(x+∆x, y+∆y) – ƒ(x,y)

e l'espressione dƒ = ƒ (P)∆x + ƒ (P)∆y = ƒ (x,y)∆x + ƒ (x,y)∆y

x y x y

che si suole chiamare (in analogia al caso della funzione di una variabile)

differenziale della funzione ƒ.

Si dice che la funzione ƒ è differenziabile nel punto P = (x,y) quando risulta:

∆ƒ – dƒ

lim = 0

(∆x,∆y) (0,0)

→ ∆x ∆y

2 2

√ + ∆P ∆y)

o anche, in maniera equivalente pensando = (∆x, come il vettore di

∆x ∆y ∆P,

∆x, ∆y 2 2 come il modulo di quando risulti:

componenti e |∆P| = √ +

∆ƒ – dƒ

lim = 0

|∆P|

P 0

∆ →

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 8 di 20

Osservazione notevole

Si noti che ⇒

(*) ∆ƒ – dƒ ∆ƒ

lim lim = 0

= 0

|∆P| P 0

P 0 ∆ →

∆ → ∆ƒ – ƒ ∆P→ ∆ƒ

infatti affinché il rapporto sia infinitesimo per 0 è necessario che - dƒ

|∆P| ∆ƒ

∆P →

sia infinitesimo per 0 e poiché lim dƒ = 0 ciò sarà vero quando lim = 0.

∆P → ∆P →

0 0

D’altra parte ⇔

∆ƒ lim ƒ(P + ∆P) = ƒ(P)

lim

(**) = 0 ∆P → 0

P 0

∆ →

Da (*) e (**) si deduce allora l’implicazione ⇒

( ƒ differenziabile in P) ( ƒ continua in P)

*****************

Vogliamo ora dimostrare un teorema che garantisce la differenziabilità di una funzione.

A tale scopo premettiamo un risultato che si ottiene facilmente mediante il teorema di

Lagrange per le funzioni di una variabile.

Proposizione

Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A. Per ogni coppia P = (x,y),

P+∆P =(x+∆x, y+∆y) di punti di A esiste un punto P = (x, y) tale che

∆ƒ = ƒ ( x, y+∆y)∆x + ƒ (x, y)∆y dove

x y

x e y sono tali che

x < x < x+∆x; y < y < y+∆y

il che significa che P è “interno” al segmento

di estremi P e P+∆P.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 9 di 20

Teorema ( condizione sufficiente di differenziabilità) ∈

Sia ƒ(x,y) una funzione derivabile in un aperto A e P = (x,y) A. V. s. i.

, ƒ continue in P) (ƒ differenziabile in P)

x y

e cioè ƒ è differenziabile in ogni punto di A nel quale le derivate sono continue.

Dimostrazione:

In base alla definizione dobbiamo dimostrare che:

∆ƒ – dƒ

lim = 0

(∆x,∆y) (0,0)

→ ∆x ∆y

2 2

√ +

Per la proposizione precedente, tenuto conto dell’espressione di dƒ, si ha:

∆y)

∆ƒ (x, y + – ƒ (x, y)]∆x + [ ƒ (x, y) – ƒ (x, y)]∆y.

– dƒ = [ ƒ x x y y

Conseguentemente :

∆ƒ – dƒ | ∆x

≤ ≤ |

0 | ƒ (x, y + ∆y) – ƒ (x, y) | . +

x x

∆x ∆y

2 2

√ + ∆x ∆y

2 2

√ +

| ∆y | ≤ ∆y)

+ | ƒ (x, y) – ƒ (x, y) | . | ƒ (x, y + – ƒ (x, y)| + |ƒ (x, y) – ƒ (x, y)|

y y x x y y

∆x ∆y

2 2

√ +

∆x ∆y.

dove x < x < x + e y < y < y +

Passando al limite per (∆x,∆y) (0,0) si ha l’asserto per l’ipotesi di continuità in

(x,y) delle derivate parziali e per il criterio di convergenza per confronto (che

continua a valere per le funzioni di due variabili).

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 10 di 20

LO SPAZIO VETTORIALE R²

Consideriamo un riferimento cartesiano (O,x,y) dei punti del piano e il punto P di

coordinate cartesiane x e y, cioè P = (x,y), il quale rappresenta geometricamente

l’elemento (x,y) R².

È comodo in certi casi interpretare l’elemento (x,y) in

questione come il vettore v = (x,y) applicato

nell’origine O degli assi, avente per estremo il punto

P = (x,y) e componenti i numeri x, y.

In tale analisi di idee, si chiama somma dei due vettori

v = (x , y ) e v = (x , y ) il vettore:

1 1 1 2 2 2

v + v = (x + x , y + y )

1 2 1 2 1 2

e si chiama prodotto del vettore v = (x, y) per lo scalare λ

(cioè per il numero reale λ) il vettore: λ·v = (λx, λy).

2

Lo spazio R con le operazioni di somma e prodotto sopra definite si chiama lo spazio

2

vettoriale R .

Per ogni vettore v = (x, y) si chiama modulo di v il numero reale non negativo:

|v| =

Il modulo di v rappresenta la distanza del punto P = (x,y) dalle origini degli assi

O = (0,0) e si chiama anche la lunghezza del vettore v.

Si chiama prodotto scalare dei due vettori v = (x , y ), v = (x , y ) il numero reale:

1 1 1 2 2 2

·x ·y

· v = x + y

v 1 2 1 2 1 2

Si dimostra che v · v = |v |·|v | ·cos ω dove ω è l’angolo formato dai due vettori.

1 2 1 2

FUNZIONI VETTORIALI ⊆

Siano x = x(t) e y =y(t) funzioni reali di una variabile definita in un intervallo I R.

La seguente legge: 2

∈ ∈

t I → (x, y) = (x(t), y(t)) R

2 2

è una funzione definita in I e a valori in R . Ricordando che lo spazio R può essere

interpretato come spazio di vettori, tale funzione si può anche interpretare come la

2

legge che ad ogni numero reale t associ il vettore v(t) =( x(t), y(t)) dello spazio R . Per

questo motivo tale funzione si suole chiamare funzione vettoriale della variabile t di

componenti x = x(t) e y = y(t).

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 11 di 20

Naturalmente questa nozione si può generalizzare.

Consideriamo ad esempio tre funzioni reali di due variabili x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

⊆ 2 . La seguente legge

definite in un insieme A R → 2

∈ ∈

(u, v) A (x, y, z) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) R

3

È una funzione di due variabili a valori nello spazio R .

3

Interpretando i punti di R come vettori, tale funzione si può anche definire come la legge

che ad ogni punto (u,v) A associ il vettore dello spazio P (u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )

di componenti le tre funzioni x(u,v), y(u,v), z(u,v). 2 3

e a valori nello spazio R si

In conclusione ogni funzione definita in un sottinsieme di R

chiama una funzione vettoriale di due variabili a tre componenti.

Definizione funzione vettoriale continue derivabili (0)

Una funzione vettoriale si dice continua o di classe C se tali sono le sue componenti;

(1)

derivabile se tali sono le sue componenti; di classe C se le componenti sono continue,

derivabili o con derivate continue. Ogni vettore di componenti le derivate delle

componenti di una funzione vettoriale si chiama un vettore derivato.

Ad esempio la funzione v(t) = (x(t), y(t)) è continua se x(t), y(t) sono funzioni continue,

derivabile se x(t), y(t) sono derivabili.

∀t ∈ I il vettore v'(t) = (x'(t), y'(t)) è il vettore derivato.

La funzione vettoriale P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) è continua se x(u,v), y(u,v), z(u,v)

sono continue, derivabile parzialmente rispetto ad u e v se tali sono le componenti

x(u,v), y(u,v), z(u,v).

I vettori P (u,v) = (x (u,v), y (u,v), z (u,v))

u u u u

P (u,v) = (x (u,v), y (u,v), z (u,v))

v v v v

Sono i vettori derivati rispetto ad u e v. Se P(u,v) e i vettori P e P sono continui allora la

u v

(1)

funzione P(u,v) è di classe C .

DERIVATE DELLE FUNIONI CONTINUE

Supponiamo che una funzione F(t) = ƒ(x(t)) composta mediante le funzioni x(t) e ƒ(x),

se le funzioni componenti sono derivabili, è derivabile e vale la regola di derivazione

delle funzioni composte: ·

F '(t) = Dƒ(x(t)) x'(t).

Il seguente teorema generalizza questo risultato.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 12 di 20

Teorema di derivazione delle funzioni composte

Siano ƒ(x, y) una funzione reale definita in un aperto A e (x(t), y(t)) una funzione

vettoriale della variabile reale t definita nell’intervallo I e a valori in A. In tali ipotesi

ha senso considerare la funzione composta F(t) = ƒ(x(t), y(t)) la quale risulta definita

in I. Vale la seguente implicazione. F derivabile in t e

∈I

1) (x(t), y(t)) derivabile in t 0

0 ⇒ F'(t )=ƒ (P )x'(t )+ƒ (P )y'(t )

0 x 0 0 y 0 0

2) ƒ(x, y) differenziabile in P =(x ,y )=(x(t ),y(t ))

0 0 0 0 0

Definizione - vettore gradiente

Se ƒ(x,y) è una funzione derivabile in un aperto A, il vettore

Dƒ = (ƒ , ƒ )

x y

si chiama gradiente di ƒ. Evidentemente ƒ è dotata di gradiente in un punto P = (x,y)

se è derivabile in P = (x,y).

Ciò premesso la regola di derivazione delle funzioni composte contenuta nel teorema

precedente si può esprimere nel seguente prodotto scalare:

∀t ∈

·

F'(t) = Dƒ(x(t), y(t)) (x'(t), y'(t)) I

dove (x'(t), y'(t)) è il vettore derivato di (x(t), y(t)).

DERIVATE DIREZIONALI

È noto dalla Geometria Analitica che le equazioni parametriche

(*) x = x + αt

0

y = y + βt

0 2 2

∈ + β = 1 rappresentano sul piano cartesiano, al variare di t in

con α, β R e tali che α

R, la retta passante per il punto P = (x , y ) di coseni direttori α e β. Tale retta è

0 0 0

parallela ed equiversa al versore λ = (α, β) che viene

chiamato versore dell’asse r (asse significa retta

orientata). Evidentemente, assegnato il versore

λ = (α, β) ed il punto P = (x , y ) risulta univocamente

0 0 0

individuato l’asse r passante per P avente la

0

stessa direzione di λ: si tratta della retta di equazione

parametrica (*).

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 13 di 20

Definizione ∈

Sia ƒ(x, y) una funzione reale definita in un aperto A, P = (x , y ) A. Consideriamo

0 0 0

la funzione di una variabile F(t) = ƒ(x +αt, y +βt) composta mediante la funzione

0 0

scalare ƒ (componente esterna) e la funzione vettoriale (x(t), y(t)) = (x +αt, y +βt)

0 0

(componente interna) definita in R. Indicato con λ = (α, β) il versore dell'asse r

passante per P e di coseni direttori α e β si chiama derivata della funzione ƒ secondo

0

la direzione del versore λ in P (brevemente derivata di ƒ secondo la direzione λ in P )

0 0

o anche derivata direzionale di ƒ in P secondo la direzione λ e si indica con uno dei

0

simboli: ∂ƒ ∂ƒ

ƒ (P ); ƒ (x , y ); (P ) ; (x , y )

λ 0 λ 0 0 0 0 0

∂λ ∂λ

la derivata della funzione F(t) calcolata nel punto t = 0. In conclusione

≝ ≝

(P ) F'(0) e cioè ƒ (P ) lim F(t) – F(0) = lim ƒ(x +αt, y +βt) – ƒ(x , y )

ƒ λ 0 λ 0 0 0 0 0

t 0 t 0

→ →

t t

Osservazione

Se λ = (1,0) oppure λ = (0,1) e cioè se λ è uno dei versori degli assi coordinanti, si ha

ƒ (P )=lim ƒ(x + t, y ) – ƒ(x , y ) =ƒ (P )

λ 0 0 0 0 0 x 0

t

t 0

(x , y )=lim ƒ(x , y + t) – ƒ(x , y ) =ƒ (x , y )

ƒ λ 0 0 0 0 0 0 y 0 0

t

t 0

in cui (sempre naturalmente che questi limiti esistano e siano finiti) le derivate

direzionali nelle direzioni degli assi coordinanti coincidono con le derivate parziali.

**************

Ci proponiamo di dimostrare che le funzioni differenziabili non solo sono dotate di

derivate parziali ma hanno anche derivate secondo ogni direzione.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 14 di 20

Teorema sulle derivate direzionali di una funzione differenziale

Sia ƒ(x, y) una funzione definita in un aperto A, P = (x , y ) A. Per ogni direzione

0 0 0

λ = (α, β) vale la seguente implicazione: ⇒

) ( ƒ (P ) = ƒ (P )·α + ƒ (P ) ·β).

(ƒ differenziabile in P 0 λ 0 x 0 y 0

Dimostrazione:

Per ogni versore λ = (α,β) consideriamo la funzione F(t) = ƒ(x + αt, y + βt).

0 0

F è funzione composta mediante la funzione ƒ(x, y) e la funzione vettoriale

+ αt, y + βt) con t R. Essendo (x + αt, y + βt) derivabile nel punto

(x(t), y(t)) = (x 0 0 0 0

t = 0 e ƒ(x, y) differenziabile nel punto P = (x , y ) corrispondente di t = 0 mediante la

0 0 0

funzione vettoriale, per il teorema di derivazione delle funzioni composte F(t) è derivabile

in t = 0 e risulta:

F'(0) = ƒ (P ) · x'(t ) + ƒ (P ) · y'(t ) = ƒ (x ,y ) · α + ƒ (x , y ) · β.

x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0

Ma ciò significa secondo definizione ƒλ(x , y ) = F'(0), che risulta

0 0

ƒ (x , y ) = ƒ (x , y ) · α + ƒ (x , y ) · β.

λ 0 0 x 0 0 y 0 0

Il teorema è dimostrato.

Osservazione notevole

Da questo teorema si deduce che, se ƒ(x,y) è differenziabile in P = (x , y ), per ogni

0 0 0

direzione λ = (α, β) risulta: ƒ (P ) = Dƒ(P ) · λ

λ 0 0

dove Dƒ (P ) denota il gradiente di ƒ in P .

0 0

Ricordando che il prodotto scalare di due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono

ortogonali, ne segue che la derivata direzionale di ƒ in P secondo la direzione λ è nulla

0

quando il gradiente Dƒ(P ) = (ƒ (P ), ƒ (P )) è ortogonale alla direzione λ = (α, β).

0 x 0 y 0

Ricordando ancora che il prodotto scalare di due vettori è massimo quando i due vettori

sono paralleli ed equiversi, ne segue anche che ƒ (P ) assume il massimo valore quando il

λ 0

gradiente Dƒ(P ) è parallelo ed equiverso alla direzione λ = (α, β).

0

IL TEOREMA DI LAGRANGE

Premettiamo che dati due punti P = (x , y ) e P = (x , y ) nel piano cartesiano (O,x,y) i

0 0 0 1 1 1

punti P = (x,y) tali che: ∈

+ t( x - x ) ; y = y + t(y - y ) con t [0,1]

x = x 0 1 0 0 1 0

al variare di t nell’intervallo compatto [0,1] descrivono il segmento di estremi i punti

P e P che si denota con il simbolo P P .I punti di P P distinti dagli estremi si dicono

0 1 0 1 0 1

punti interni al segmento.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 15 di 20

Ciò premesso ci proponiamo di dimostrare il seguente

Teorema di Lagrange ∈A.

Sia ƒ(x,y) una funzione definita in un aperto A e differenziabile sul segmento P P In

0 1

tali ipotesi esiste un punto Q interno al segmento P P tale che:

0 1

ƒ(P ) – ƒ(P ) = ƒ (Q) (x -x ) + ƒ (Q)(y -y ).

1 0 x 1 0 y 1 0

Dimostrazione:

Consideriamo la funzione: ∈

+ t (x -x ), y + t (y -y )) con t [0,1].

F(t) = ƒ(x

0 1 0 0 1 0

Osserviamo innanzitutto che tale funzione è composta mediante la funzione vettoriale

(x(t),y(t)) = (x + t (x -x ), y + t (y -y )) (componente interna) derivabile in [0,1] e la

0 1 0 0 1 0

funzione ƒ(x,y) (componente esterna) la quale per ipotesi è differenziabile in ogni punto

del segmento P P . Ne segue, per il teorema di derivazione delle funzioni composte, che

0 1

F(t) è derivabile in [0,1] e inoltre: ∀t ∈

(x(t), y(t))·(x -x ) + ƒ (x(t),y(t))·(y -y ) [0,1].

F'(t) = ƒ x 1 0 y 1 0

Ciò posto, applicando a F(t) il teorema di Lagrange relativo alle funzioni di una variabile,

si ha: ∈

F(1) – F(0) = F'(t) · 1 con t ]0,1[

e di qui, osservato che F(1) = ƒ(P ), F(0) = ƒ(P ) e posto Q = (x + t (x -x ), y + t (y - y )),

1 0 0 1 0 0 1 0

si ha la tesi.

Osservazione

Se denotiamo con Dƒ = (ƒ , ƒ ) il gradiente di ƒ(x,y) e P - P = (x -x , y -y ) il vettore

x y 1 0 1 0 1 0

di componenti x -x , y -y , la formula di Lagrange per le funzioni di due variabili si

1 0 1 0

può esprimere mediante il prodotto scalare di due vettori Dƒ e P – P :

1 0

ƒ(P ) – ƒ(P ) = Dƒ(Q) · (P - P )

1 0 1 0

FUNZIONI CON GRADIENTE NULLO IN UN CONNESSO

2

Premettiamo che un aperto A dello spazio R si dice

un aperto connesso quando per ogni coppia di punti

distinti P e Q di A esiste una poligonale semplice che

lì congiunge tutta contenuta in A.

Ciò posto, utilizzando il teorema di Lagrange per le

funzioni di due variabili, dimostriamo il seguente

teorema.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 16 di 20

Teorema sulle funzioni con gradiente nullo

Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un aperto A ed ivi derivabile sicché è lecito

considerare il gradiente Dƒ di ƒ in ogni punto di A. Vale la seguente implicazione:

( Dƒ identicamente nullo in A e A aperto connesso ) ( ƒ costante in A )

Dimostrazione:

Si tratta di dimostrare che (x', y') ≠ (x'', y'') Þ ƒ(x',y') = ƒ(x'',y'').

Poniamo P' = (x', y'), P''=(x'', y'') e consideriamo il segmento P'P''di estremi P' eP''. Si

distinguono i due casi:

1°) P'P'' A. In tal caso, applicando il teorema di

Lagrange al segmento in questione si ha:

ƒ(P'') – ƒ(P') = Dƒ(Q) · P'' – P'= 0 · (P'' – P') = 0

(2°) P'P'' A (vedi figura). Essendo A un aperto connesso esiste una poligonale contenuta

in A che congiunge P' con P''. Detti P = P', P , P , …, P = P'' i vertici di tale poligonale,

1 2 3 n

applicando il teorema di Lagrange ai segmenti P P , P P , …, P P si ha successivamente:

1 2 2 3 n-1 n

ƒ(P') = ƒ(P ) = ƒ(P )=…= ƒ(P ) = ƒ(P ) = ƒ(P'')

1 2 n-1 n

e di qui ancora la tesi.

MASSIMI E MINIMI RELATIVI

Definizione 1 ∈

= (x , y ) A. Si dice che P

Sia ƒ(P) = ƒ(x,y) una funzione definita in un insieme A e P 0 0 0 0

è un punto di massimo (o minimo) relativo per la funzione ƒ in A se vale la seguente

proprietà: ( ) ∀P

∃ ∈

) di P : ƒ(P) ≤ ƒ(P ) ƒ(P) ≥ ƒ(P ) = (x, y) I(P ) ∩ A

un intorno I(P

0 0 0 0 0

Un punto di minimo o di massimo relativo si chiama un punto di estremo relativo.

Ci proponiamo, in analogia al caso delle funzioni di una variabile, di stabilire una

condizione necessaria di estremo relativo e cioè di stabilire un risultato analogo del

teorema di Fermat.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 17 di 20

Condizione necessaria di estremo relativo

Sia ƒ(P) = ƒ(x, y) una funzione di due variabili definita in un insieme A e P = (x , y ) un

0 0 0

punto interno ad A nel quale risulti derivabile. Vale la seguente implicazione

punto di estremo relativo per ƒ in A) ( Dƒ(P ) = 0 cioè ƒ (P ) = ƒ (P ) = 0 )

(P

0 0 x 0 y 0

Dimostrazione:

Supponiamo per fissare le idee che P sia un punto di

0

Å

∈ esiste un intorno

massimo relativo. Essendo P

0

I (P ) di centro P e raggio δ tutto contenuto in A tale

δ 0 0 ∀(x,y) ∈

,y ) I (P ).

che ƒ(x, y) ≤ ƒ(x

0 0 δ 0

Consideriamo la funzione di una variabile

F(x) = ƒ(x,y )

0

che risulta essere (vedi figura) la restrizione di ƒ(x,y)

al diametro del cerchio I (P ) parallelo all’asse x.

δ 0

Evidentemente risulta

∀x ∈

) ]x – δ; x +δ [

F(x) ≤ F(x

0 0 0

per cui x è un punto di massimo relativo per F interno ad un intervallo. Per il teorema di

0

Fermat risulta allora F'(x ) = ƒ (x , y ) = 0.

0 x 0 0

In maniera analoga si dimostra anche che ƒ (x , y ) = 0. Il teorema è dimostrato.

y 0 0

Definizione 2 (Punto stazionario)

Å

Un punto P = (x , y ) in cui risulta Dƒ(P ) = 0 si chiama un punto stazionario o

0 0 0 0

anche punto estremante per ƒ in A.

Vogliamo ora enunciare un teorema che fornisce una condizione sufficiente di estremo

relativo e che ha una certa analogia con la condizione sufficiente per le funzioni di una

variabile che si esprime nella seguente implicazione

(ƒ'(x ) = 0 ƒ ''(x ) < 0 (>0)) (x punto di massimo (di minimo) relativo per ƒ).

0 0 0

A tale scopo premettiamo una definizione

Definizione 3 (2)

Sia ƒ(x,y) una funzione reale di classe C in un aperto A (cioè continua con le

derivate prima e seconda in A). Il determinante

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 18 di 20

ƒ (x, y) ƒ (x, y)

xx xy xy2

y) = =ƒ (x, y)ƒ (x, y) – ƒ (x, y)

H(x, ƒ (x, y) ƒ (x, y) xx yy

yx yy

si chiama determinante hessiano di ƒ in A.

Ciò premesso si dimostra la seguente

Condizione sufficiente di estremo relativo Å.

Sia ƒ(x,y) una funzione reale definita in un insieme A e P = (x , y )

0 0 0

Supponiamo, inoltre, che esista un intorno I(P ) di P contenuto in A nel quale ƒ sia di

0 0

(2)

classe C . Vale la seguente implicazione.

1) Dƒ(P ) = 0

0 P è un punto di massimo relativo

0

) > 0

2) H(P 0 (minimo relativo) per ƒ in A

3) ƒ (P ) < 0 ( > 0)

xx 0 ⇒

) = 0 e H(P ) < 0 P non è un punto di estremo relativo per ƒ in A

Dƒ(P 0 0 0

Osservazione

E’ utile per le applicazioni osservare che

·ƒ ⇒ ·ƒ

xy2

(H(x, y) = ƒ – ƒ > 0 ) ( ƒ > 0)

xx yy xx yy

Conseguentemente ⇒

< 0 ) ( ƒ < 0)

( ƒ xx yy

(> 0) ( > 0)

********************

REGOLA PER DETERMINARE GLI ESTREMI RELATIVI Å.

(2)

Sia ƒ(x,y) una funzione di due variabili definita in un insieme A e di classe C in

Å

In tale ipotesi i punti (x,y) che sono di estremo relativo per ƒ in A vanno cercati

tra la soluzione del sistema:

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 19 di 20

ƒ (x, y) = 0

x

ƒ (x, y) = 0

y

Å

che risultano appartenere ad (cioè interne ad A).

Å

, y ) è una soluzione si calcola l’hessiano H(x , y ). Possono presentarsi i

Se (x 0 0 0 0

seguenti tre casi:

1. H(x , y ) > 0. In tal caso (x , y ) è un punto di estremo relativo per ƒ.

0 0 0 0

Precisamente è un punto di massimo relativo se ƒ (x , y ) = ƒ (x , y ) < 0; un punto di

xx 0 0 yy 0 0

minimo relativo se ƒ (x , y ) = ƒ (x , y ) > 0.

xx 0 0 yy 0 0

2. H(x , y ) < 0. In tal caso (x ,y ) non è un punto di estremo relativo.

0 0 0 0

3. H(x , y ) = 0. In tal caso (x , y ) può essere come può non essere un punto di estremo

0 0 0 0

relativo e non si possono trarre considerazioni a meno che non si riesca a studiare il segno

di ƒ in un intorno di (x ,y ).

0 0

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 20 di 20

Capitolo 2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Premessa

Ricordiamo che si chiama insieme dei numeri complessi in forma algebrica l’insieme

2

∈ }

C = {a + ib : (a,b) R

Un elemento di C cioè il numero complesso a + ib è un’espressione nella quale

i (sicché i² = -1), a si chiama parte reale di a + ib, ib parte immaginaria di a + ib.

⊆ ∀a ∈

L’insieme C è un ampliamento di R (cioè R C ) perché se b = 0 risulta a+ib = a R.

Ciò posto, consideriamo le funzioni reali a(x) e b(x) definite in un intervallo I R.

La legge di corrispondenza ∈ ∈

F : x I → a(x) + ib(x) C

che si può anche denotare ∀x ∈

F(x) = a(x) + ib(x) I

è una funzione definita in I e a valori in C che si chiama funzione complessa di variabile

reale.

Tale funzione si dice continua, derivabile in I se tali sono le funzioni reali a(x) e b(x).

Se ƒ è derivabile in I la funzione ∀x ∈

DF(x) = Da(x) + i Db(x) R

si chiama la derivata di F. Le derivate successive si definiscono poi nel seguente modo:

(2) (2) (2)

F(x)= D(D F(x))= D a(x)+ i D b(x)

D

(3) 2 (3) (3)

D F(x)= D(D F(x)) = D a(x)+ i D b(x); ecc. ecc.

(1)

È chiaro a questo punto che cosa significhi che F è di classe C in I e più in generale, che

(n)

cosa significhi che F è di classe C in I con n ≥ 1.

Esempio notevole

Sia λ = a + ib un numero complesso, si pone per definizione ∀x

λx (a+ib)x ax ∈

℮ = ℮ = ℮ (cosbx + isenbx) R ∈

Tale espressione è una funzione complessa di variabile reale che ad ogni x R associa il

ax

numero complesso F(x) = ℮ (cosbx + isenbx), e si chiama funzione esponenziale nel

campo complesso, brevemente esponenziale complesso.

Si verifica facilmente che l’esponenziale complesso è continua e derivabile risultando

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 1 di 12

λx λx

D℮ = λ℮

Pertanto continuano a valere per l’esponenziale complesso le formule di derivazione

dell’esponenziale. λx

Analogamente al caso reale le derivate successive di ℮ risultano essere

∀n

(2) λx 2 λx (3) λx 3 λx (n) λx n λx ∈

℮ = λ ℮ ; D ℮ = λ ℮ ; ... ; D ℮ = λ ℮ , N

D

Ciò premesso veniamo ora alle equazioni differenziali linaeri.

Definizione

Siano a (x), a (x),…, a (x), ƒ(x) n +1 funzioni reali continue in un intervallo I qualsiasi.

1 2 n

L’espressione: (n) (n-1)

(*) y + a (x) · y + … + a (x) · y ' + a (x) · y = ƒ(x)

1 n-1 n

si chiama equazione differenziale lineare di ordine n avente per coefficienti le n assegnate

funzioni a (x), a (x),…, a (x) e termine noto la funzione ƒ(x).

1 2 n (n)

Ogni funzione y = y(x), reale o complessa, di classe C in I che verifichi (*) si dice una

soluzione o anche, per un motivo che vediamo tra poco, un integrale dell’equazione

differenziale. Se il termine noto ƒ(x) è nullo in I, l’equazione differenziale si dice

omogenea.

Osservazione 1

L’equazione differenziale(*) si dice lineare perchè, considerata la legge di corrispondenza:

(n) (n) (n-1)

∈C

L : y (I) → y + a (x)y +... + a (x) y

1 n

la quale viene chiamata operatore differenziale, si verifica facilmente che L gode della

seguente proprietà di linearità : y +c y ) = c L (y ) + c L (y )

L (c

1 1 2 2 1 1 2 2

per ogni coppia c , c di costanti reali o complesse.

1 2

Si noti ancora che, utilizzando l’operatore differenziale

(n) (n-1)

L (y) = y + a (x) · y +... + a (x) · y

1 n

l’equazione differenziale (*) si può scrivere sinteticamente nella forma

L(y) = ƒ

Osservazione 2

Si noti che, per la linearità dell’operatore L, se y e y sono soluzioni dell’equazione

1 2

omogenea L(y) = 0 anche ogni loro combinazione lineare c y + c y con le costanti c e c

1 1 2 2 1 2

è soluzione dell’equazione differenziale. Cioè vale la seguente implicazione

) = L(y ) = 0) ( L(c y + c y ) = 0 )

(L(y 1 2 1 1 2 2

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 2 di 12

Osservazione 3

In generale è semplice verificare che una data funzione è soluzione di un’equazione

differenziale lineare; è meno facile invece stabilire quali sono le soluzioni e non è chiaro a

priori se le soluzioni trovate sono tutte le possibili soluzioni.

IL PROBLEMA DI CAUCHY

Consideriamo di nuovo l’equazione differenziale lineare del 1° ordine

y ' = ƒ(x)

Abbiamo visto che, se ƒ è continua nell’intervallo I, tutte le soluzione reali di tale

equazione differenziale si possono esprimere nella forma ∈ ∈

(*) y(x) = ∫ ƒ(t)dt + c con x, x I e c R

0

∀x ∀h

∈ ∈

Evidentemente I e R esiste un’unica soluzione di tale equazione

0 0

differenziale che verifica la condizione y(x ) = h e tale soluzione è la funzione

0 0

y(x) = ∫ ƒ(t)dt + h 0

ottenuta da (*) ponendo c = h 0

Conseguentemente possiamo affermare che l’equazione differenziale y ' = ƒ(x) ammette

infinite soluzioni mentre il problema

y ' = ƒ(x)

(**) y (x ) = h

0 0

∀x ∀h

∈ ∈

ammette un’unica soluzione I e R.

0 0

Il problema sopra riportato si chiama un problema di Cauchy relativo all’equazione

differenziale y '= ƒ(x) di punto iniziale x e condizione iniziale y(x ) = h .

0 0 0

Tutto ciò si generalizza come segue. Sia L(y) = ƒ un’equazione differenziale lineare di

∀x ∈ I e

ordine n a coefficienti e termine noto continui in un intervallo I. 0

∀(h n

, h , …., h ) R il problema di determinare le soluzioni di tali equazioni definite in

0 1 n-1 (n-1)

I e verificanti le n condizioni y(x ) = h , y'(x ) = h ,….., y (x ) = h si denota con il

0 0 0 1 0 n-1

simbolo L(y) = ƒ

(***) (n-1)

y(x ) = h , y'(x ) = h ,….., y (x ) = h

0 0 0 1 0 n-1

e si chiama il problema di Cauchy di punto iniziale x e condizioni iniziali

0

(n-1)

y(x ) = h , y'(x ) = h ,….., y (x ) = h relativo all’equazione differenziale L(y) = ƒ.

0 0 0 1 0 n-1

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 3 di 12

Nel caso particolare dell’equazione differenziale y'=ƒ(x) abbiamo visto che ogni problema

di Cauchy ammette un’unica soluzione reale.

Tale risultato sussiste in generale perchè si dimostra il seguente

Teorema di esistenza e di unicità

Se i coefficienti e il termine noto dell’equazione differenziale L(y) = ƒ sono funzioni

∀x ∀(h n

∈ ∈

continue nell’intervallo I, I e , h , …, h ) R esiste un’unica soluzione

0 0 1 (n-1)

reale del problema di Cauchy, e cioè un’unica soluzione reale y = y(x) definita in I e

verificante le n condizioni iniziali (n-1)

y(x ) = h , y'(x ) = h ,….., y (x ) = h

0 0 0 1 0 n-1

INTEGRALE GENERALE E INTEGRALI PARTICOLARI

Premettiamo che se L(y) = ƒ è un’equazione differenziale lineare di ordine n, l’equazione

L(y) = 0 si chiama equazione omogenea associata di L(y) = ƒ. Una volta data questa

definizione l’equazione L(y) = ƒ si chiama equazione completa.

Ciò posto, abbiamo visto che un’equazione differenziale lineare L(y) = ƒ di ordine n, per il

teorema di esistenza e di unicità, ammette infiniti integrali reali ciascuno dei quali è

soluzione di un problema di Cauchy. Conseguentemente ha senso la seguente

Definizione (di integrale generale)

Sia L(y) = ƒ un’equazione differenziale lineare di ordine n. Si chiama integrale generale di

tale equazione l’insieme di tutti gli integrali reali. Ogni soluzione dell’equazione stessa si

chiama un integrale particolare.

Vogliamo ora mettere in luce una proprietà molto importante degli integrali di

un’equazione lineare.

Teorema ( sull’integrale di un’equazione lineare completa)

Sia L(y) = ƒ un’equazione differenziale lineare completa di ordine n e y un suo integrale

particolare (prefissato una volta per tutte). Vale la seguente implicazione

( y: L(y) = ƒ ) ( y = y + y con y : L(y ) = 0)

⇔ 0 0 0

In altri termini: ogni integrale di un’equazione completa si esprime come somma di un

integrale dell’omogenea associata e di un integrale della completa; viceversa la somma di

un integrale dell’omogenea associata e di un integrale dell’equazione completa è un

integrale dell’equazione completa.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 4 di 12

Dimostrazione

Se y è integrale di L(y) = ƒ, per la linearità dell’operatore L, y = y – y è un integrale

0

dell’omogenea associata L(y) = 0 e dunque y = y + y con y integrale dell’omogenea L(y)

0 0

= 0. ⇐

Dimostrazione

Se y = y + y con y : L(y ) = 0, per la linearità dell’operatore L, risulta anche

0 0 0

L(y) = L(y ) + L(y) = 0 + ƒ = ƒ e dunque y è integrale della completa.

0

Il teorema è dimostrato.

Osservazione notevole

Da questo teorema si deduce che si se conoscono tutti gli integrali dell’omogenea

L(y) = 0 e un solo integrale particolare della completa L(y) = ƒ, allora si conoscono anche

tutti gli integrali della completa L(y) = ƒ.

Conseguentemente: l’integrale generale di un’equazione lineare si esprime come somma

dell’integrale generale dell’omogenea associata e l’integrale particolare (reale) della

completa.

L’EQUAZIONE LINEARE DEL 1° ORDINE

Ci proponiamo di determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y ' + a(x)y = ƒ(x)

con coefficiente e termine noto continui in un intervallo I.

A tale scopo è bene osservare che, per il teorema di esistenza e di unicità dell’equazione

differenziale lineare, l’omogenea associata

(*) y ' + a(x)y = 0

ammette in I, oltre all’integrale nullo, integrali reali che sono o sempre positivi in I oppure

sempre negativi.

Teorema

Considerata l’equazione lineare omogenea del 1° ordine (*) e indicata con A(x) una

primitiva della funzione a(x), l’espressione -A(x)

(**) y = c · ℮

al variare di c in R fornisce tutti gli integrali reali dell’equazione e cioè fornisce l’integrale

generale.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 5 di 12

Dimostrazione: ∀x ∈

Sia y(x) un’integrale reale dell’equazione (*) diverso dall’integrale nullo y(x)=0 I.

Essendo y(x) una soluzione di (*) risulta:

y'(x) + a(x) y(x) = 0

da cui, ricordando che dy = y'(x)dx 1 dy = -a(x)dx

y(x)

e integrando si ha successivamente ∫

1 dy = - a(x)dx ;

∫ y(x) ∈

log |y(x)| = -A(x) + k con k R

-A(x)+k k -A(x)

|y(x)| = ℮ = ℮ · ℮

k -A(x)

y(x) = ±℮ · ℮ k

dove va scelto il segno + se y(x) > 0 in I, il segno – se y(x) < 0. Posto, infine, c = ± ℮ si

ha l’asserto quando si osservi anche che per c = 0 l’espressione (**) fornisce l’integrale

nullo. ∀c ∈

Viceversa, verifichiamo che l’espressione (**) R è intergale dell’equazione (*). Si

ha: -A(x) -A(x)

⇒ y ' (x) = – c · ℮ · a(x)

y(x) = c · ℮

sostituendo nell’equazione y' + a(x)y = 0 si ha l’asserto.

Osservazione notevole

Dalla dimostrazione di questo teorema si deduce che per integrare un ‘equazione lineare

omogenea del primo ordine nella pratica conviene eseguire le seguenti due operazioni.

1) Considerata l’equazione (*) si pone dy/dx in luogo di y' e si scrive l’equazione

stessa nella forma dy/y = -a(x)dx

Quando si effettua questa operazione si dice che nell’equazione (*) si separano le variabili

x e y.

2) si integra membro a membro quest’ultima eguaglianza.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 6 di 12

EQUAZIONE LINEARE OMOGENEA A COEFFICIENTI COSTANTI

Premettiamo che è noto dall’algebra che un’equazione di grado n

a x + a x , …, a x + a = 0

0 n 1 n-1 n-1 n

a coefficienti a , a , ..., a reali se ammette una radice complessa ammette anche la radice

0 1 n

complessa coniugata e le due radici hanno lo stesso ordine di molteplicità.

Definizione

Consideriamo l’equazione lineare omogenea a coefficienti costanti a , a , …, a

1 2 n

(n) (n-1)

(*) L(y) = y + a y + … a y = 0

1 n

L’equazione algebrica di grado n n n-1

p(λ) = λ + a λ + ... + a

1 n

(k) k

che si ottiene da (*) sostituendo la derivata y con la potenza λ ( k = 0, 1, 2, ..., n) si

chiama equazione algebrica caratteristica dell’equazione differenziale omogenea (*).

Esempio

Consideriamo l’equazione differenziale

(4) (3)

y + y + y =0

L’equazione algebrica caratteristica di questa equazione è

4 3

λ + λ + 1 = 0

Ciò posto, l’equazione algebrica caratteristica ha un ruolo fondamentale nella risoluzione

(cioè nella determinazione dell’integrale generale) dell’equazione lineare omogenea (*)

quando i coefficienti a , a , …, a sono costanti reali.

1 2 n

Sussiste infatti il seguente risultato.

Teorema1

Considerata l’equazione algebrica caratteristica dell’equazione differenziale (*) , vale la

seguente equivalenza ⇔ λx integrale dell’eq. diff.(*) )

( λ radice dell’eq. p(λ) = 0 reale o complessa ) ( y = e

λx è integrale particolare dell’equazione differenziale (*) se e solo

e cioè la funzione y = e

se λ è radice della sua equazione algebrica caratteristica.

Dimostrazione:

Risulta, in forza di quanto premesso sull’esponenziale complesso,

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 7 di 12

λx n λx n-1 λx λx λx λx

L(y) = L(e ) = λ e + a λ e +…+ a λ e + a e = e · p(λ)

1 n-1 n

e conseguentemente ⇔

λx

( L(e ) = 0 ) ( p(λ) = 0)

Osservazione 1

Se λ = a + ib è una radice complessa dell’equazione p(λ) = 0, per quanto premesso

all’inizio, l’equazione p(λ) = 0 ammette anche la radice complessa coniugata λ = a – ib.

Per il tali radici complesse coniugate determinano i due integrali particolari

teorema 1

complessi: λx ax λx ax

℮ = ℮ (cosbx + isenbx ) ; ℮ = ℮ (cosbx – isenbx )

i quali non si scrivono perchè noi cerchiamo gli integrali reali dell’equazione differenziale.

Tuttavia, per la linearità dell’operatore L(y) risulta:

(a±ib)x ax ax ax ax

L ( ℮ ) = L ( ℮ cosbx + i ℮ senbx ) = L(℮ cosbx) ± iL(℮ senbx)

Conseguentemente ⇔

(a±ib)x ax ax

) = 0 ) ( L(℮ cosbx) = 0, L(℮ senbx) = 0 )

( L(℮

e cioè: l’equazione differenziale lineare omogenea L(y) = 0 ammette i due integrali

λx λx ax ax

complessi coniugati ℮ , ℮ se e solo se ammette i due integrali reali ℮ cosbx, ℮ senbx.

Si conclude che nella risoluzione di un’equazione lineare omogenea a coefficienti costanti

con il metodo dell’equazione algebrica caratteristica è lecito sostituire la coppia di

λx λx ax ax

integrali complessi ℮ ed ℮ con la coppia di integrali reali ℮ cosbx, ℮ senbx.

Osservazione 2

Nella risoluzione dell’equazione algebrica caratteristica p(λ) = 0 può capitare di

determinare delle radici (reali o complesse) multiple di ordine k (k > 1). In tal caso si

dimostra che se λ è una radice multipla di ordine k allora le k funzioni

λx λx 2 λx k-1 λx

℮ ; x·℮ ; x · ℮ ; ... ; x · ℮

sono integrali (reali o complessi) dell’equazione differenziale lineare L(y) = 0 mentre tale

k λx

non è la funzione x · ℮ .

Conseguentemente, poiché la somma degli ordini di molteplicità delle radici di

un’equazione di grado n è n, è possibile in ogni caso (risolvendo l’equazione algebrica

caratteristica) determinare n integrali particolari distinti dell’equazione differenziale

L(y)=0. Naturalmente tra questi n integrali vi possono essere delle coppie di integrali

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 8 di 12

complessi coniugati, però, come abbiamo visto, queste coppie di integrali complessi

possono essere sostituiti con le coppie di integrali reali.

In conclusione possiamo affermare che, risolvendo l’equazione algebrica caratteristica è

possibile in ogni caso trovare n integrali particolari reali e distinti dell’equazione

differenziale L(y) = 0.

Ciò posto si dimostra il seguente risultato.

Teorema 2

Considerata l’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n L(y) = 0 e detti

y (x), y (x),…, y (x) gli n integrali particolari reali e distinti determinati col metodo

1 2 n

dell’equazione algebrica caratteristica l’espressione

y = c y (x) + c y (x)+ … +c y (x)

1 1 2 2 n n

dove c , c , …, c sono n costanti reali arbitrarie, rappresenta l’integrale generale

1 2 n

dell’equazione differenziale L(y) = 0.

METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI

Consideriamo un’equazione differenziale lineare L(y) = ƒ(x) a coefficienti costanti e

completa. Sappiamo che l’integrale generale è somma dell’integrale generale

dell’omogenea associata L(y) = 0 e di un integrale particolare dell’equazione stessa. Ne

segue che è molto importante determinare un suo integrale particolare y(x).

Sussiste in proposito il seguente teorema.

Teorema della variazione delle costanti( di Lagrange)

Siano y , y ,…, y gli n integrali particolari dell’omogenea L(y) = 0 che si ottengono col

1 2 n (1)

metodo dell’equazione caratteristica e γ (x), γ (x), …, γ (x) n funzioni reali di classe C .

1 2 n

Se le derivate γ ', γ ', …, γ ' di tali funzioni soddisfano il sistema:

1 2 n γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = 0

1 1 2 2 n n

γ '·y ' + γ '·y ' + … + γ '·y ' = 0

1 1 2 2 n n

...................................

1(n-2) 2(n-2) n(n-2)

γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = 0

1 2 n

1(n-1) 2(n-1) n(n-1)

γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = ƒ

1 2 n

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 9 di 12

allora la funzione y = γ (x)y (x) + γ (x)y (x) +..+ γ (x)y (x) è un integrale particolare

1 1 2 2 n n

dell’equazione completa L(y) = ƒ.

Dimostrazione:

Per semplicità dimostriamo il teorema supponendo l’equazione L(y) = ƒ del secondo

ordine. Dobbiamo provare che la funzione y = γ1(x)y1(x) + γ2(x)y2(x) soddisfa tale

equazione nell’ipotesi che γ1' e γ2' soddisfano il sistema

γ ' y + γ ' y = 0

1 1 2 2

γ ' y ' + γ ' y ' = ƒ

1 1 2 2

Si tratta di una semplice verifica. Infatti, derivando y e tenuto conto della prima equazione

del sistema (*), si ha y' = γ y ' + γ y '

1 1 2 2

Derivando ancora e tenuto conto della seconda equazione del sistema (*) si ha

y '' = ƒ + γ y '' + γ y ''

1 1 2 2

Sostituendo nell’equazione differenziale

L(y)=y '' + a (x)y' + a (x)y = ƒ + γ y '' + γ y '' + a (x)(γ y ' + γ y ') + a (x)(γ y + γ y )= =

1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

ƒ + γ L(y ) + γ L(y ) = ƒ + 0 + 0 = ƒ

1 1 2 2

Il teorema è dimostrato.

Osservazione 1

Si noti che l’integrale particolare dell’equazione completa fornito dal teorema di Lagrange

precedente si ottiene a partire dall’integrale generale

y = c y + c y + ... + c y

1 1 2 2 n n

dell’omogenea associata sostituendo le costanti c , c , ..., c con altrettanti funzioni

1 2 n

incognite γ , γ , ..., γ .

1 2 n

E’ questo il motivo per cui la ricerca di un integrale particolare dell’equazione completa

nella forma y = γ y + γ y + ... + γ y

1 1 2 2 n n

indicata dal teorema si chiama metodo della “variazione” delle costanti.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 10 di 12

Osservazione 2

Abbiamo visto che per trovare un integrale particolare dell’equazione completa è

necessario risolvere il sistema di n equazioni lineari nelle n incognite γ ', γ ', ..., γ '

1 2 n

γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = 0

1 1 2 2 n n

γ '·y ' + γ '·y ' + … + γ '·y ' = 0

1 1 2 2 n n

...................................

1(n-2) 2(n-2) n(n-2)

γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = 0

1 2 n

1(n-1) 2(n-1) n(n-1)

γ '·y + γ '·y + … + γ '·y = ƒ

1 2 n

Si noti che, una volta risolto questo sistema e cioè una volta determinate le funzioni

γ ', γ ', ..., γ ', per trovare le funzioni incognite γ , γ , ..., γ occorre calcolare ancora n

1 2 n 1 2 n

integrali indefiniti. Precisamente

γ = ∫ γ 'dx; γ = ∫ γ 'dx; ...; γ = ∫ γ 'dx

1 1 2 2 n n

Naturalmente in tal modo le n funzioni γ , γ , ..., γ vengono determinate a meno di una

1 2 n

costante additiva la quale però non ci interessa e può essere trascurata.

EQUAZIONI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI CON TERMINE

NOTO DI TIPO PARTICOLARE

Il metodo di Lagrange per la determinazione di un integrale particolare dell’equazione

completa L(y) = ƒ è molto laborioso perché richiede la risoluzione di un sistema di

equazioni lineari e il calcolo di integrali indefiniti. Per tale motivo è molto utile nella

pratica ogni procedimento che consente di evitare l’uso del metodo di Lagrange. Sussiste

in proposito il seguente risultato che per brevità non dimostriamo.

Proposizione

Sia L(y) = ƒ un’equazione lineare completa a coefficienti costanti e supponiamo che il

termine noto abbia l’espressione αx

(*) ƒ(x) = ℮ ( p(x)cosβx + q(x)senβx)

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 11 di 12

con p(x) e q(x) polinomi a coefficienti reali e α e β costanti reali.

In tali ipotesi se il numero complesso α + iβ non è radice dell’equazione algebrica

caratteristica dell’omogenea associata L(y) = 0 allora l’equazione completa ammette

l’integrale particolare (dello stesso tipo):

αx

(**) y(x) = ℮ ( p (x) cos βx + q (x) sen βx )

1 1

essendo p e q due polinomi di grado uguale al maggiore dei gradi dei polinomi p e q.

1 1

Se, invece, α + iβ è radice dell’equazione caratteristica di molteplicità k (≥ 1) l’equazione

completa ammette l’integrale particolare

k αx

℮ (p (x) cos βx + q (x) sen βx)

(**) y(x) = x 1 1

Osservazione 1

Dalla proposizione precedente, i numeri reali α e β e i polinomi p(x) e q(x) si deduce che il

termine noto dell’equazione L(y) = ƒ e del tipo (*) anche quando:

1. ƒ(x) = p(x) e cioè ƒ è un polinomio; (α = 0 e β = 0)

αx

2. ƒ(x) = ℮ p(x) e cioè ƒ è il prodotto di un esponenziale per un polinomio (β = 0)

αx αx

p(x) cos βx ; ƒ(x) = ℮ q(x) sen βx e cioè ƒ è il prodotto di un

3. ƒ(x) = ℮

esponenziale per un polinomio per un coseno o seno (q(x) identicamente nullo

oppure p(x) identicamente nullo).

Osservazione 2

Si noti che l’integrale particolare (**) fornito dalla proposizione precedente è della stessa

forma del termine noto dell’equazione differenziale.

Osservazione 3

Si noti che la proposizione precedente assicura l’esistenza e il grado dei due polinomi p ,

1

q ma non fornisce l’espressione di tali polinomi.

1

Conseguentemente nella pratica occorre determinare i polinomi p e q e cioè occorre

1 1

calcolare i loro coefficienti.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 12 di 12

Capitolo 3

CURVE PIANE

Definizione 1 (0)

Sia P(t) = (x(t), y(t)) una funzione vettoriale di classe C in un intervallo compatto [a,b] e

cioè a componenti x(t), y(t) continue in [a,b]. Si chiama curva parametrica piana o

brevemente curva piana, l’insieme ∀t

2 ∈

∈ : x = x(t), y = y(t) [a, b] }

Γ = { (x,y) R

o anche, posto P = (x,y) e indicato con Π il piano cartesiano (O, x, y):

∀t ∈

Γ = { P∈Π : P = P(t) [a, b] }.

Le equazioni

(*) x = x(t)

y = y(t)

si chiamano equazioni parametriche della curva Γ mentre t si chiama parametro e [a,b]

intervallo base della rappresentazione parametrica. L’equazione: P = P(t); t [a,b] dove

P(t) = (x(t),y(t)) equazione parametrica vettoriale di Γ. I punti P' = P(a) e P'' = P(b) si

estremi di Γ, i punti di Γ diversi dagli estremi, punti interni a Γ.

chiamano gli

È importante rilevare che con questa definizione esistono infinite rappresentazioni

∈[a,b]

parametriche di una stessa curva Γ. Infatti se P = P(t), t è una rappresentazione

parametrica di Γ e t = t(a) è una funzione continua definita nell’intervallo [c,d] e avente

per codominio nell’intervallo [a,b], l’equazione P = P(t(u)), u [c,d] è una nuova

rappresentazione parametrica di Γ. Essendo infinite le funzioni continue in un intervallo

compatto e aventi per codominio l’intervallo [a,b] è evidente che sono infinite le

rappresentazioni parametriche di una curva piana Γ.

Da questo discorso si deduce che, a rigore, sarebbe opportuno distinguere tra la nozione di

curva intesa come funzione vettoriale e quella di sostegno della curva e cioè come luogo

geometrico. Tuttavia non faremo questa distinzione, che riteniamo piuttosto astratta,

preferendo rimanere vicini all’idea intuitiva di una curva intesa come luogo geometrico.

Definizione 2

Una curva piana Γ si dice semplice se esiste una sua rappresentazione parametrica

P = P(t), t [a,b] tale che:

≠ ≠

t' t'' P(t') P(t'')

per ogni coppia t', t'' di valori del parametro t dei quali almeno uno è interno ad [a,b]. Una

tale rappresentazione parametrica si dice una rappresentazione parametrica semplice di Γ.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 1 di 9

In conclusione, una curva Γ si dice semplice quando ammette rappresentazioni

parametriche semplici.

Osservazione 1

Si noti che dal punto di vista geometrico, una curva Γ è semplice quando è possibile

descriverla, senza mai tornare indietro, passando una sola volta per ciascuno dei suoi

punti. Consideriamo, ad esempio, le seguenti curve.

Evidentemente le prime due curve sono semplici, mentre la terza non lo è perché

descrivendola è necessario passare due volte per il punto P.

Definizione 3

Una curva piana Γ si dice chiusa se esiste una sua rappresentazione parametrica P = P(t),

t [a,b] tale che P(a) = P(b). Ciò significa che, mediante una rappresentazione

parametrica gli estremi di Γ e cioè P' = P(a) e P'' = P(b) sono coincidenti.

Definizione 4

Una curva Γ si dice una curva regolare se esiste una sua rappresentazione parametrica

(1)

P = P(t), t [a,b] tale che la funzione vettoriale P(t) è di classe C in [a,b] e inoltre risulta

≠ ∀t ∈

P' (t) 0 ]a,b[.

Posto P(t) = (x(t), y(t)) ciò significa anche che le funzioni scalari x(t), y(t) sono di classe

∀t∈]a,b[.

(1) in [a, b] e tali che > 0 Una rappresentazione parametrica di Γ

C

che verifichi le proprietà anzidette si dice una rappresentazione parametrica regolare.

ORIENTAMENTO DI UNA CURVA SEMPLICE

Sia Γ una curva semplice e ∈

P = P(t), t [a, b]

una sua rappresentazione parametrica semplice.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 2 di 9

Tale rappresentazione parametrica induce su Γ un orientamento che viene detto il verso

delle t crescenti della rappresentazione parametrica considerata, per il quale

(t' < t'') (il punto P' = P(t') precede il punto P'' = P(t''))

Il verso opposto si chiama verso delle t decrescenti della rappresentazione parametrica

considerata.

Si dice che Γ è una curva orientata, quando si sceglie in modo arbitrario uno dei versi

anzidetti e il verso prescelto si chiama verso positivo. Se scegliamo il verso delle t

crescenti diremo che Γ è orientata nel verso delle t crescenti della rappresentazione

parametrica (*).

È possibile orientare Γ, prescindendo dalle rappresentazioni parametriche, nella

maniera seguente.

1. Se Γ non è una curva chiusa ( in tal caso si suole dire che Γ è una curva aperta)

considerati su Γ due punti distinti (che possono

essere anche gli estremi) P'≠P'' restano

individuati su Γ due possibili versi di percorrenza.

Il verso che va da P' a P'' e il verso opposto.

Diremo che Γ è una curva orientata quando si

sceglie, ad arbitrio, uno di questi due versi e tale verso prescelto si chiama verso positivo

di Γ.

2. Se Γ è una curva chiusa denotiamo con D il dominio

limitato avente per frontiera la curva Γ. Restano allora

individuati due possibili versi di percorrenza: il verso che

lascia alla sinistra i punti interni a D (indicato in figura)

e il verso opposto. Diremo che Γ è una curva orientata

quando scegliamo, ad arbitrio, uno di questi due possibili

versi e il verso prescelto si chiamerà verso positivo di Γ.

Naturalmente quando la curva semplice Γ è orientata intrinsecamente e si considera una

sua rappresentazione parametrica semplice (*) il verso indotto su Γ da tale

rappresentazione parametrica cioè il verso delle t crescenti può essere concorde o discorde

col verso positivo prefissato intrinsecamente su Γ.

RETTA TANGENTE ∈

Sia Γ una curva regolare, P = P(t), t [a,b] una

rappresentazione parametrica regolare di Γ. Posto

P(t) = ( x(t) , y(t)) consideriamo la retta detta

secante, passante per i punti

P =(x , y ) = (x(t ), y(t ) ) = P(t ) e

0 0 0 0 0 0

P = P(t + ∆t) = ( x(t + ∆t), y(t + ∆t) ).

1 0 0 0

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 3 di 9

Tale retta ha equazione: x – x y – y

0 0

=

x(t – ∆t) – x(t ) y(t + ∆t) – y(t )

0 0 0 0

e cioè ( y(t + ∆t) – y(t ) ) ( x – x ) – ( x(t + ∆t) – x(t ) ) (y – y ) = 0

0 0 0 0 0 0

Dividendo questa espressione per ∆t e passando al limite per ∆t → 0, in forza dell'ipotesi

di regolarità di Γ, si ottiene la retta di equazione:

(*) y'(t ) ( x –x ) – x'(t ) (y – y ) = 0

0 0 0 0

Definizione 1

La retta di equazione (*) si chiama retta tangente a Γ nel punto P = (x , y ).

0 0 0

Osservazione 1 ≠ ∀t ∈

La condizione di regolarità P'(t ) = (x'(t ), y'(t )) 0 ]a,b[ garantisce l’esistenza

0 0 0

della tangente a Γ in ogni punto interno. La curva è perciò una curva liscia e cioè

priva di cuspidi e punti angolari nei punti interni. ∈

Ad esempio la curva di equazione y = con x [-1, 1] non è regolare.

Definizione 2 (di vettore tangente e versore tangente)

Nelle ipotesi poste su Γ il vettore P'(t ) = (x'(t ), y'(t )) si chiama vettore tangente a Γ

0 0 0

nel punto P = P(t ) = (x , y ).

0 0 0 0

Tale vettore è parallelo alla tangente a Γ nel punto P = (x , y ) ed è orientato nel

0 0 0

verso indotto su Γ dalla rappresentazione parametrica considerata.

Il vettore di modulo unitario x'(t ) y'(t )

P't ) 0 0

0

τ(t ) = = ,

P'(t0)

0

si chiama versore tangente a Γ nel punto P = (x , y ) = ( x(t ), y(t )).

0 0 0 0 0

Se la curva Γ è una curva orientata nel verso delle t crescenti della rappresentazione

parametrica considerata, il versore τ(t ) si chiama versore tangente positivo relativo alla

0

rappresentazione parametrica di Γ.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 4 di 9

Osservazione 2 (1)

Se Γ è il diagramma di equazione cartesiana y = ƒ(x) con ƒ di classe C nell’intervallo

[a,b], sappiamo che Γ è una curva regolare e che una rappresentazione parametrica

regolare di Γ è x = t ∈

t [a, b]

y = ƒ(t)

Consideriamo il punto P = (x , y ) = (t ,ƒ(t )) = (x ,ƒ(x )), essendo x'=1 e y' =ƒ'(t) =ƒ'(x)

0 0 0 0 0 0 0

∀x ∈ è

[a, b], l’equazione della tangente a Γ in P 0

)(x – x ) – (y – ƒ(x )) = 0

ƒ'(x 0 0 0

e cioè y = ƒ(x ) + ƒ'(x )(x – x )

0 0 0

LUNGHEZZA DI UNA CURVA

Sia Γ una curva semplice di estremi P' e P'' e

consideriamo n+1 punti distinti

P = P', P , P , …, P = P'' di Γ scelti in modo

0 1 2 n

che P precede P , P precede P … ,P precede P

0 1 1 2 n-1 n

in uno dei due possibili orientamenti di Γ.

La poligonale π di vertici i punti P , P , …P si

0 1 n

chiama una poligonale inscritta nella curva Γ.

È evidente che di poligonali inscritte in Γ ne esistono infinite per cui se denotiamo con l(π)

la lunghezza della poligonale π, l’insieme {l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte

in Γ è un insieme infinito.

Ciò posto si dà la seguente definizione.

Definizione 1

Si dice che la curva semplice Γ è rettificabile se l’insieme {l(π)} delle lunghezze delle

poligonali inscritte è limitato superiormente.

In tale ipotesi l'estremo superiore l(Γ)=sup{l(π)} delle lunghezze delle poligonali inscritte

si chiama lunghezza della curva Γ.

Si dimostra il seguente

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 5 di 9

Teorema di rettificabilità ∈

Sia Γ una curva semplice e P = P(t), t [a,b] una sua rappresentazione parametrica

(1)

semplice. Se la funzione vettoriale P(t) = ( x(t), y(t) ) è di classe C in [a,b], la curva Γ è

rettificabile e risulta dt

(*) l(Г) = ∫ |P'(t)|dt = ∫

Osservazione ∈

Evidentemente se Г è una curva semplice e regolare e se P = P(t), t [a,b] è una sua

rappresentazione parametrica semplice e regolare allora Г è rettificabile e la sua

lunghezza è data dall’integrale (*).

CURVE REGOLARI A TRATTI

Definizione 1

Una curva Γ si dice regolare a tratti se risulta essere l'unione di un numero finito Γ ,

1

Γ , …Γ di curve semplici e regolari, ognuna delle quali si salda alla successiva in un

2 n

punto. (vedi figura) ∈

Ciò significa che esistono una rappresentazione parametrica P = P (t), t [a,b] e una

= a, t , t , …, t = b} dell’intervallo [a,b] tali che in ciascuno

partizione {t 0 1 2 n

degli intervalli [t , t ], [t , t ], …, [t , t ] la

0 1 1 2 n-1 n

P = P(t) è una rappresentazione

parametrica semplice e regolare.

Una tale rappresentazione parametrica si

dice una rappresentazione parametrica di Γ

regolare a tratti.

Osservazione 1

In base alla definizione una curva Γ regolare a tratti può essere pensata come somma di un

numero finito di curve Γ , Γ ,…Γ di curve semplici e regolari. Se nessuno tra gli archi Γ ,

1 2 n 1

Γ , …Γ incontra i rimanenti, Γ è anch’essa una curva semplice. Può benissimo però

2 n

accadere che uno degli archi Γ incontri uno o più altri archi Г (i+j) perché la condizione

i j

di semplicità vale per i singoli archi Γ , Γ ,…Γ . (vedi figura)

1 2 n

In tal caso la curva Γ è intrecciata e presenta i cosiddetti punti multipli.

Si noti ancora che nei punti P = P(t ) (i = 0,1,2…n) le tangenti agli archi Γ (i = 0,1,2…n)

i i i

hanno, in generale, direzioni diverse e cioè, come si suol dire, i punti P sono in generale

i

punti angolari della curva Γ.

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 6 di 9

Definizione 2

Sia Γ una curva regolare a tratti unione delle n curve Γ , Γ , …Γ semplici e regolari.

1 2 n

Si pone per definizione

l (Γ) = l (Γ ) + l (Γ ) + …+ l (Γ )

1 2 n

e cioè si chiama lunghezza di Γ la somma delle lunghezze degli archi semplici e regolari

Γ , Γ , …Γ che costituiscono Γ.

1 2 n

Osservazione 2 (notevole)

Sia Γ una curva regolare a tratti e ∈

P = P (t) t [a,b]

una rappresentazione parametrica regolare a tratti di Γ allora esiste una partizione

{ t = a, t , t , ... , t = b} con t < t < ... < t dell’intervallo base [a,b] tale che gli n archi in

0 1 2 n 0 1 n

cui Γ risulta suddivisa

= { P = P(t) : t∈[t , t ]} ; Г = {P = P(t) : t∈[t ,t ]} ; ... ; Г = { P = P(t) : t∈ [t , t ]}

Г 1 0 1 2 1 2 n n-1 n

risultano essere curve semplici e regolari.

Dalla definizione precedente e dal teorema di rettificabilità si deduce che

= ∑ ∫| P'(t)|dt

l(Г)

INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE DI DUE VARIABILI

⊆ ⊆

2

Sia ƒ(P) = ƒ(x, y) una funzione di due variabili limitata in un insieme A R e Γ A

una curva piana semplice e regolare di estremi P'

e P''. In tali ipotesi effettuiamo le seguenti

operazioni. Consideriamo n+1 punti distinti di Γ:

P = P', P , …, P = P'' scelti in modo che P

0 1 n 0

precede P , P precede P ,…, P precede P in

1 1 2 n-1 n

uno dei due possibili versi in cui è possibile

descrivere Γ e denotiamo con D = {P , P , …, P }

0 1 n

la partizione di Γ mediante tali punti. Tale partizione suddivide la curva Γ in n archi

Γ , Γ , …, Γ (vedi figura). Poniamo

1 2 n m = inf ƒ(P); M = sup ƒ(P) (i = 1, 2, ... n)

i i

Appunti corso Analisi Matematica II – prof. Giuga Pagina 7 di 9

e consideriamo le due somme:

· l(Г ) ; S(D) = ∑M · l(Г )

s(D) = ∑m i i i i

dove l(Γ ) denota la lunghezza dell'arco Γ . Al variare della partizione D di Γ le due somme

i i

considerate descrivono due insiemi numerici A = { s(D) }, B = { S(D) }. Se A e B sono

separati e contigui, l'unico elemento separatore di A e B si chiama integrale curvilineo

della funzione ƒ(x, y) esteso alla curva Γ e si denota con uno dei simboli

∫ ƒ(x,y) ds; ∫ ƒ(P)ds.

Si dimostra il seguente risultato che fornisce anche una formula per il calcolo

dell’integrale curvilineo.

Teorema sull'integrale curvilineo di una funzione continua

Se la funzione ƒ(x,y) è continua in A esiste l’integrale curvilineo di ƒ(x,y) esteso a Γ.

Considerata, inoltre, una rappresentazione parametrica P = P(t) t [a,b] semplice e

regolare della curva Γ, risulta: ∫ ƒ(P)ds = ∫ƒ(P(t)) · |P'(t)|dt

oppure anche, il che è lo stesso, se P(t) = (x(t), y(t))

∫ ƒ(x,y)ds = ∫ƒ(x(t),y(t)) · dt

Osservazione 1

L’integrale curvilineo di una funzione, essendo sostanzialmente un integrale di Riemann,

gode di tutte le proprietà dell’integrale.

In particolare:

1. Proprietà distributiva

Se esistono gli integrali curvilinei di ƒ e g estesi a una curva Γ semplice e regolare e c , c

1 2

sono due costanti reali, risulta:

ƒ(P) + c g(P)]ds = c ∫ƒ(P)ds + c ∫g(P)ds

∫[c

1 2 1 2

2. Proprietà additiva

Se esiste l’integrale curvilineo di ƒ esteso ad una curva Γ semplice regolare e se si

decompone la curva Γ nelle due curve Γ e Γ risulta:

1 2

∫ƒ(P)ds = ∫ƒ(P)ds + ∫ƒ(P)ds

La definizione di integrale curvilineo si estende alle curve regolari a tratti.

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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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