Domande Topografia, esame scritto

A1 il Geoide

• Dare la definizione di geoide;
• Scrivere l’equazione del geoide, spiegando il significato dei termini;
• Spiegare perché non è possibile risolvere l'integrale compare nell'equazione del geoide.

1. Il GEOIDE è la superficie equipotenziale del campo gravizionale terrestre che passa per il livello medio del mare in un punto prefissato.

2. L'equazione del geoide è:

∫_T (G dm/r) + ω²/2 (x²+y²) = C

Il POTENZIALE DELL’ATTRAZIONE NEWTONIANA che il corpo terrestre eserciterebbe sull’unità di massa rappesa concentrata in un punto convenzionale.

ω²(x²+y²) = POTENZIALE DELL’ACCELERAZIONE CENTRIFUGA

La somma di questi due termini da luogo alla FUNZIONE POTENZIALE DELLA GRAVITÀ. Se questo potenziale ha un valore cost. C, tutti i punti del campo si trovano su una superficie detta superficie di livello o ... equipotenziale.

3. Non è possibile risolvere l'integrale che compare nell’equazione del geoide, perché prima cosa di tutto il geoide non soddisfa la condizione di essere una superficie univocamente attribuibile al equipas ripido la sua equazione non può essere scritta in forma chiusa. E poi perché per calcolare l'integrale è necessario conoscere … la densità ρ per ogni elemento di volume. Ma la densicità ρ non è cost. e anzi aumenta con la profondità, quindi non si conosce con sufficiente precisione la sua legge di distribuzione. I dati che si hanno sono comunque dati globali.

A6 Geodetiche sull'Ellissoide

Dare la definizione di geodetica e le condizioni geometriche che la caratterizzano;

Scrivere l'equazione della geodetica sull'ellissoide e fornirne la dimostrazione;

Descrivere l'andamento delle geodetiche sull'ellissoide e fare i dovuti commenti (valori massimi e minimi della costante geodetiche particolari).

1. Si definisce geodetica su una superficie quella linea, giacente su essa, che gode della proprietà di giacere in ogni punto con la normale alla superficie. La geometria del piano si costituisce con i segmenti di retta ovvero con le geodetiche del piano, come pure si nota che la geometria della sfera si costituisce con gli archi di cerchio massimo, quindi la geometria dell'ellissoide si costituisce con le geodetiche.
2. Traduccendo in formule la definizione data, si ottengono le equazioni differenziali delle geodetiche in generale se f(x,y,z) = 0 è l'equazione della superficie, i coseni direttori della normale sono:
   1. \( \frac{df}{dx} , \frac{df}{dy} , \frac{df}{dz} \frac{df}{dz} \)
   2. con \( 2S [\left(\frac{df}{dx}\right)^2 + \left(\frac{df}{dy}\right)^2 + \left(\frac{df}{dz}\right)^2]^{\frac{1}{2}} \) i coseni direttori di una linea data in forma parametrica. x=x(s), y=y(s), z=z(s) con s lunghezza della linea valutando da un punto determinato. Allora, indicando con R il raggio di prima curvatura: R dx/ ds, R dy/ ds, R dz/ ds per cui uguagliando si hanno le equazioni differenziali:
      • \( \frac{df}{ds} = \frac{df}{dy}, \frac{dx}{ds} \to \frac{dy}{ds} = \frac{dz}{ds} \)
   3. Per una superficie di rotazione che f(x,y,z) = 0 si può scrivere nella forma x² + y² + z² (z)= 0 che per l'ellissoide razia:
      • Si ha quindi \( \frac{df}{dx} = 2X , \frac{df}{dy} = 2Y \) per cui l'uguagliando:
        • di tali equazioni differenziali si può scrivere:
          • Ovvero \( (x\frac{dy}{ds} - y\frac{dy}{ds}) = 0 \) ed integrando si ha:
            • \(x \frac{dy}{ds} - y \frac{dx}{ds} = \text{cost} \)
            • dove \(\frac{dx}{ds} = \cos \lambda \to \frac{dy}{ds} = \cos \lambda \)
            • \(dx dy dz = \cos \eta \to - y \text{sin} x \left( dx = \frac{dx}{ds}, \text{sin} \left(\frac{dr}{ds}
        • \( \left( \frac{dx}{ds} = 0, \frac{dy}{ds} = 0, \text{y}\right)\)

3. Forniscono: \(d^2dz= \text{cost}\)

(γ = 40° m = 1.305 (dilatazione del 30,4%))

(γ = 60° m = 1.995 (dilatazione del 99,5%))

Essa quindi risulta praticamente non utilizzabile quando devono navigarsi degli elementi metrici sulla carta, sebbene tuttavia è molto utilizzata nella navigazione, in quanto le longitudini, così le linee ad azimut costante, sono rappresentate in questa carta da rette: la rotta da seguire, può essere determinata semplicemente tracciandola sulla carta con un regolo di linea ed a azimut costante. Il punto di partenza,

B1. Intersezione in avanti

Descrivere la metodologia di rilievo dell'intersezione in avanti esplicitando, anche con l'uso di un disegno:

• Lo scopo dell'operazione
• Le condizioni necessarie per poter applicare il metodo
• Lo strumento adoperato e le misure eseguite in campagna
• La risoluzione matematica del problema
• Quali accorgimenti adoperare per poter eseguire la compensazione.

Lo schema dell'intersezione in avanti viene usato per determinare le coordinate di un punto P isolato ma visibile dai due punti A e B di coordinate note e che a loro volta devono essere visibili reciprocamente. L'intersezione in avanti viene usata in genere, quando il punto isolato P da determinare è inaccessibile. Facendo stazione con un goniometro (o un teodolite) sui punti noti A e B, si misurano gli angoli α e β. Queste ampie e agevoli misure rientrano nel lavoro di campagna potendo, all'occorrenza, l'ubicazione comune essere confermata rispetto al lato AB accertando la direzione alla quale si allega P. Cose che interessano B.

RISOLUZIONE MATEMATICA:

Noti: A=(xA, yA), B=(xB, yB)

Tramite le coordinate di A e di B si determinano azimut (AB) e distanza AB con le formule:

(AB) = arctg (yB-yA/xB-xA)

AB = √(xB-xA)² + (yB-yA)² Applicando il teorema dei seni al

triangolo ABP, possiamo calcolare le lunghezze dei lati: AP = AB · sen β / sen (α+β) BP = AB · sen α / sen (α+β)

Per calcolare le coordinate del punto P, si può conveniente un sistema di riferimento pondersando:

Con origine A o in B, ottenendo subito l'azimut delle rispettive direzioni:

(AP) = (AB)+α, (BP) = (BA)+β. Si hanno così le coordinate polari di P allo rispetto ad A che rispetta a B, calcolo delle coordinate cartesiane di P viene immediato, partendo dal punto A si ha:

xP = XA + (xP)A

oppure, xP = XA + AP sen(αP)

In modo analogo si può procedere dal punto B:

yP = YA + (yP)A

oppure, yP = YA + AP cos(αP)

Nello schema dell'intersezione semplice in avanti le misure sono solo quelle vettoretta esattamente resemblate e conviene, quindi, riservarlo se lussuriose scelte azimutali delle direzioni domeniche.

Considerato che il primo e l’ultimo angolo di direzione sono noti, in condizioni teoriche dovrebbe verificarsi:

In realtà, a causa degli errori di misurazione che s’incontrano nella determinazione degli angoli, questa relazione non può essere soddisfatta: si otterrà un valore angolare nullo per l’errore.

che viene denominato ERRORE DI CHIUSURA ANGLARE: n Aω.

Lo scarto quadratico medio della poligonale è paz. A in virtù o sm del la minata di un singolo angolo, esistono il numero dei vertici della poligonale e quindi degli angoli no minati. Ricordalo il concetto di tolleranza: Tθ: a = 3√n’ sei l’errore di chiusura non potrà superare, in valore assoluto, la tolleranza |Δω| > |Tθ|, il valore- dipende dallo strumento usato, dalle caratteristiche del terreno ecc.

I valori di riferimento, a secondo del tipo di poligomale che ci assumeranno,:

• Tθ = 5” per poligonali specifiche
• Tθ = 10” per poligonali tipiche di ripetizione
• Tθ = ±30” per poligonali ordinarie

Se l’errore di chiusura tonalto superava alla tolleranza prevista per il tipo di polymerane m menanato, scorte rispettenti le misure. Se invece l’errore Aθ sezzentualmente inferiore a tal propia es valgono adolli l’eccute munti vo. che viene con pratico uniforme con aggi in angolare: a): ina ulula cornette aft

Suppi interni al diseno le nuovi angoli di direzione compresi Ahi di compensazione. EMPIREARI LINEARE: Tramite gli angeli di direzione compensati Spun al lai minimati li: della poligonale, si calcolano le coordinate dei vinrical:

Sommdando membro ampio m’t ottiene

dove Xn Y1Xn Ya non noti. Come per gli no gentitementi, in condizioni tecniche, dovrebbe risi venire la sequence relazione sensi noxi. MOQ

xer x0 e y0 otitolione e quelle condie:

CON DI ZIONE

Anche queke rosessionini potemom cobre anrisoldrute a causa degli error accidentali di rinuncui ao

ulanis nomo c’tumpen cil-errori DI CHIUSURA LINEARE: n Δx e n Δy. Questi la alianzatta la postaze calcolata in font a le stanimponte notte. Δe n L

effancer n chiusura lineare n le tolleranza laterale l’e_r><l. Dopo var controllate ch n l’errore tonalto edvoa |ix _{y del laid in modo proporzionale alla toro lungheza roz, at talitos, non gli aservi vintosh: che contengano cui hulali di largo e nozionallyzte sil sole, le nolege componenti delle coordinate trasversali del vezico -> luce}

Le COORDINATE DEFINITIVE COMPENSATES SONO:

1. x_nE noto
2. Y -> noto
3. x¹² = x_n +(x_u a sin e x_npp)comp Y¹² = y₄ + _n Cos e_{nsp¹⁰⁰comp}
4. x⁰¹ = x_n(uo 003xza)comp Y³ = y_m isbn cus e_nnsp)comp

x_ai noto Y_ai noto