Domande Orale Analisi 2

Domande orale Professore Michiel Bertsch

Cos'è una forma differenziale chiusa?

Una forma differenziale si dice chiusa se le derivate parziali in croce coincidono. Se una forma differenziale è chiusa in un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta per il teorema di Poincaré. Il rotore sarà 0, quindi il campo di forze agenti nell’insieme è conservativo e il campo sarà irrotazionale. Possiamo dimostrare che l’insieme è semplicemente connesso.

Cos'è un campo rotazionale?

Un campo rotazionale è un campo di forze che ha rotore non nullo, altrimenti detto campo irrotazionale. Il rotore è un campo vettoriale costituito con le derivate parziali delle componenti del campo vettoriale dato. Un rotore nullo è condizione necessaria ma non sufficiente affinché la forza descritta del campo vettoriale sia conservativa (deve essere in un insieme semplicemente connesso). Esiste una dimostrazione nella quale si fa vedere che: se il rotore è nullo, non è detto che la forza assegnata ammetta potenziale; se la forza ammette potenziale, il rotore deve essere nullo.

Perché una forma differenziale esatta è sempre chiusa?

Una forma esatta è sempre chiusa solo se l’insieme in cui si trova è semplicemente connesso, ovvero l’insieme è fatto di un semplice pezzo e non presenta buchi (almeno in R²). Perciò, prendendo 2 punti qualsiasi dell’insieme, la curva che li collega sta sempre dentro l’insieme. In R³ ogni insieme è semplicemente connesso perché posso evitare i punti di discontinuità.

Cos'è un insieme semplicemente connesso?

Un insieme semplicemente connesso è un insieme fatto di un semplice pezzo e non ha buchi. Due curve si dicono omotope (dal greco homos e topos, stesso luogo) se una delle due può essere deformata con continuità nell’altra; tale trasformazione è detta omotopia. È una strategia per trovare i buchi all’interno di un insieme e non è altro che dire che il lavoro su due percorsi diversi è lo stesso se partono e arrivano dallo stesso punto, quindi il campo è conservativo. Nel caso un insieme non sia semplicemente connesso, si può comunque calcolare il lavoro separando i tratti del percorso in parti di lavoro conservativo e parti di lavoro non conservativo e sommarli.

Come la regola della catena c'entra con le forme differenziali e il potenziale?

La regola della catena è una somma di prodotti. È derivata dal polinomio di Taylor per funzioni a più variabili. Sarebbe la somma delle derivate di funzione composta. La regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili. Dato che una forma differenziale è una derivata di funzione composta...