Domande di Teoria analisi B

Capitolo 1: Funzioni di più variabili

Operazioni di somma e prodotto per uno scalare in Rⁿ

Come si definiscono le operazioni di somma e prodotto per uno scalare in Rⁿ?
Da x = (x₁, ..., x_n) e y = (y₁, ..., y_n) elementi di Rⁿ, definiamo la loro somma x + y come segue:
x + y := (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n).
Sia poi λ ∈ R. Per x = (x₁, ..., x_n), definiamo il prodotto per uno scalare come segue:
λx := (λx₁, ..., λx_n).

Proprietà principali delle operazioni di somma e scalare

Quali sono le loro principali proprietà?
(ASV1) ∀x, y ∈ Rⁿ, x + y = y + x (proprietà commutativa della somma);
(ASV2) ∀x, y, z ∈ Rⁿ, x + (y + z) = (x + y) + z (proprietà associativa della somma);
(ASV3) Posto O := (0,...,0), ∀x ∈ Rⁿ, x + O = O + x = x (esistenza di un elemento neutro per la somma);
(ASV4) Dato x = (x₁,..., x_n) ∈ Rⁿ, indichiamo con -x l’elemento (-x₁,..., -x_n). Allora x + (-x) = (-x) + x = O (esistenza di un'inversa additiva per ogni x ∈ Rⁿ);
(ASV5) ∀λ, μ ∈ R, ∀x ∈ Rⁿ, (λ + μ)x = λx + μx;
(ASV6) ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rⁿ, λ(x + y) = λx + λy;
(ASV7) ∀λ, μ ∈ R, ∀x ∈ Rⁿ, λ(μx) = (λμ)x;
(ASV8) ∀x ∈ Rⁿ, 1x = x.

Prodotto scalare e norma euclidea

Come si definiscono il prodotto scalare e la norma euclidea in Rⁿ?
Siano x = (x₁,..., x_n) e y = (y₁,..., y_n) elementi di Rⁿ. Definiamo come loro prodotto scalare e indichiamo col simbolo ⟨x,y⟩ oppure x·y il numero reale:
x·y = x₁y₁ + ... + x_ny_n.
Indichiamo con ||x|| e chiamiamo norma euclidea di x il numero reale:
||x|| = √(x₁² + ... + x_n²).

Proprietà del prodotto scalare e norma

Quali sono le loro principali proprietà?
Siano λ ∈ R; x,y,z elementi di Rⁿ. Allora:
(I) (x+y)·z = x·z + y·z;
(II) (λx)·y = λ(x·y);
(III) y·x = x·y;
(IV) x·x ≥ 0;
(V) x·x = 0 se e solo se x = O.
Siano x e y elementi di Rⁿ, λ ∈ R. Allora:
(I) ||x|| ≥ 0;
(II) ||x|| = 0 se e solo se x = 0;
(III) ||λx|| = ||λ||*||x||;
(IV) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||;
(V) ||x|| - ||y|| ≤ ||x-y||;
(VI) Se x = (x₁,..., x_n), |x_j| ≤ ||x|| per ogni j = 1,..., n.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In cosa consiste la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz?
Siano x e y elementi di Rⁿ. Allora |x·y| ≤ ||x||*||y||.

Definizione della distanza euclidea

Come si definisce la distanza (o metrica) euclidea in Rⁿ?
Siano x e y elementi di Rⁿ. Poniamo d(x, y) := ||x-y||. Chiameremo d, che è una funzione da Rⁿ × Rⁿ a R, la metrica euclidea in Rⁿ.

Proprietà della distanza euclidea

Quali ne sono le principali proprietà?
Siano x, y, z generici elementi di Rⁿ. Allora:
(I) d(x, y) ≥ 0;
(II) d(y, x) = d(x, y);
(III) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Palle aperte

Come si definiscono le palle aperte?
Siano x ∈ Rⁿ e r > 0. Poniamo:
B(x, r) := {y ∈ Rⁿ : d(x, y) < r}.
Chiameremo B(x, r) palla aperta di centro x e raggio r. Se n = 1, B(x, r) coincide con l’intorno circolare I(x, r).

Interno e sottoinsiemi aperti

Che cosa si intende per interno di un sottoinsieme di Rⁿ e per sottoinsieme aperto di Rⁿ?
Siano A ⊆ Rⁿ, x₀ ∈ Rⁿ. Diremo che x₀ appartiene all’interno di A (e scriveremo x₀ ∈ int(A)) se esiste una palla aperta B(x₀, r), con r > 0, tale che B(x₀, r) ⊆ A.
Sia A ⊆ Rⁿ. Diremo che A è aperto se A = int(A).

Frontiera e sottoinsiemi chiusi

Che cosa si intende per frontiera di A e cosa si intende per sottoinsieme chiuso di Rⁿ?
Siano A ⊆ Rⁿ, x₀ ∈ Rⁿ. Diremo che x₀ appartiene alla frontiera di A, e scriveremo Fr(A), se ogni palla aperta B(x₀, r), con r > 0, contiene sia elementi appartenenti ad A, sia elementi non appartenenti ad A.
Sia A ⊆ Rⁿ. Diremo che A è chiuso se Fr(A) ⊆ A.

Caratterizzazione degli aperti tramite la frontiera

Come si caratterizzano gli aperti in termini di frontiera?
Sia A ⊆ Rⁿ. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(I) A è aperto;
(II) A ∩ Fr(A) = ∅.

Chiusura di un sottoinsieme

Che cosa si intende per chiusura di un sottoinsieme di Rⁿ?
Sia A ⊆ Rⁿ. Chiamiamo chiusura di A e indichiamo col simbolo A̅, l’insieme A̅ := A ∪ Fr(A).

Punto di accumulazione

Che cosa si intende per punto di accumulazione di un sottoinsieme di Rⁿ?
Siano A ⊆ Rⁿ e x₀ ∈ Rⁿ. Diremo che x₀ è un punto di accumulazione per A se ∀r > 0, A∩B(x₀, r) contiene qualche elemento distinto da x₀.

Limite di una funzione

Cosa significa la scrittura lim_x→x₀ f(x) = l nel caso di f : A(⊆ Rⁿ) → R^m?
Siano n e m numeri naturali, A ⊆ Rⁿ, f : A → R^m, x₀ ∈ D(A), l ∈ R^m.
Scriveremo lim_x→x₀ f(x) = l se ∀ε > 0 esiste δ(ε) > 0 tale che A∩B_n(x₀, δ(ε)) con x ≠ x₀ si ha: ||f(x) − l|| < ε.

Unicità del limite

Esiste un risultato di unicità del limite?
Siano m e n naturali, A ⊆ Rⁿ, f : A → R^m, x₀ ∈ D(A); l,l’ ∈ R^m. Supponiamo che valgano contemporaneamente lim_x→x₀ f(x) = l e lim_x→x₀ f(x) = l’. Allora l = l’.

Dipendenza del limite delle componenti

Come dipende l’esistenza e il valore del limite di f dall’esistenza e dal valore del limite delle componenti f₁,...,f_m?
Siano A ⊆ Rⁿ, f : A → R^m, x₀ ∈ D(A), f(x)=(f₁(x), ..., f_m(x)).
Sia poi l ∈ R^m, l = (l₁, ..., l_m).
Allora le condizioni seguenti sono equivalenti:
(I) si ha lim_x→x₀ f(x) = l;
(II) per ogni i ∈ {1, ..., m}, vale lim_x→x₀ f_i(x) = l_i.

Risultati su limiti di operazioni

Conoscete qualche risultato su limiti di somme, prodotti, quozienti?
Siano A ⊆ Rⁿ, f,g : A → R^m (m, n ∈ N), x₀ ∈ D(A), l, m ∈ R^m e valgono lim_x→x₀ f(x) = l e lim_x→x₀ g(x) = m.
Allora:
(I) esiste lim_x→x₀ (f(x) + g(x)) e vale l + m;
(II) se m = 1, esiste lim_x→x₀ f(x)g(x) e vale lm;
(III) supponiamo ancora m = 1 e, in più, g(x) ≠ 0 ∀x ∈ A e m ≠ 0; allora esiste lim_x→x₀ f(x)/g(x) e vale l/m.

Risultati sui limiti delle restrizioni

Conoscete qualche risultato sui limiti delle restrizioni?
Siano A e B sottoinsiemi di Rⁿ, con A ⊆ B, f : B → R^m e l ∈ R^m.
Allora:
(I) se x₀ ∈ D(A), si ha anche x₀ ∈ D(B);
(II) sotto le ipotesi di (I), se vale lim_x→x₀ f(x) = l, si ha anche lim_x→x₀ f|_A(x) = l;
(III) se esiste r > 0 per cui si ha (B(x₀, r) ∩ B) \ {x₀} ⊆ A e vale lim_x→x₀ f|_A(x) = l, si ha anche lim_x→x₀ f(x) = l.

Continuità di una funzione

Come si definisce la continuità in x₀ per f : A(⊆ Rⁿ) → R^m?
Siano n, m ∈ N, A ⊆ Rⁿ, x₀ ∈ A, f : A → R^m.
Diremo che f è continua in x₀ se ∀ε > 0 esiste δ(ε) > 0 tale che ∀x ∈ B_n(x₀, δ(ε))∩A si ha ||f(x) − f(x₀)|| < ε.
Diremo che f è continua in A se è continua in corrispondenza di ogni x₀ ∈ A.

Collegamento tra continuità e limiti

Conoscete qualche risultato di collegamento tra continuità e limiti?
Siano m, n ∈ N, A ⊆ Rⁿ, x₀ ∈ A, f : A → R^m.
Allora:
(I) se x₀ ∈ A \ D(A), f è continua in x₀;
(II) se x₀ ∈ A ∩ D(A), f è continua in x₀ se e solo se esiste lim_x→x₀ f(x) e coincide con f(x₀).

Continuità di una funzione composta

Che cosa si può dire della continuità di una funzione composta? Precisare il contesto.
Siano l, m, n ∈ N; A ⊆ R^l, B ⊆ R^m, f : A → Rⁿ tale che f(A) ⊆ B, g : B → R^m.
Allora:
(I) sia x₀ ∈ A tale che f è continua in x₀ e g è continua in f(x₀). Allora g ∘ f è continua in x₀;
(II) se f e g sono continue, lo è anche g ∘ f.

Sottoinsiemi limitati

Che cosa significa dire che un sottoinsieme A di Rⁿ è limitato?
Sia A ⊆ Rⁿ (n ∈ N). Diremo che A è limitato se esiste M ≥ 0 tale che ∀x ∈ A, ||x|| ≤ M.

Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili

Conoscete qualche generalizzazione del teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili?
Siano m, n ∈ N, A non vuoto, chiuso e limitato, f : A → R^m continua.
Allora:
(I) f(A) è chiuso e limitato in R^m;
(II) se m = 1, f ammette minimo e massimo.

Connesso per archi

Che cosa significa dire che A è connesso per archi?
Sia A ⊆ Rⁿ (n ∈ N). Diremo che A è connesso per archi se, comunque si prendano x e y in A, esistono a e b reali con a ≤ b e φ : [a, b] → Rⁿ continua, tali che:
(I) φ(a) = x, φ(b) = y;
(II) φ([a, b]) ⊆ A.

Segmenti e insiemi convessi

Da x e y in Rⁿ, che cosa si intende per segmento di estremi x e y e che cosa significa dire che A è convesso?
Siano x e y in Rⁿ. Poniamo [x, y] := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1]}.
Chiameremo [x, y] il segmento con estremi x e y.
Dato A ⊆ Rⁿ, diremo che A è convesso se, comunque si prendano x e y in A, [x, y] ⊆ A.

Sottoinsiemi connessi per archi di R

Quali sono i sottoinsiemi connessi per archi di R?
Sia A ⊆ R. Allora sono equivalenti:
(I) A è un intervallo;
(II) A è convesso;
(III) A è connesso per archi.

Teorema di Bolzano per funzioni di più variabili

Conoscete qualche generalizzazione del teorema di Bolzano a funzioni di più variabili?
Siano m, n ∈ N, A connesso per archi, f : A → R^m continua.
Allora: f(A) è connesso per archi in R^m.

Impatto del teorema di Bolzano sulle funzioni a valori reali

Che cosa comporta questo risultato nel caso di funzioni a valori reali?
Se m = 1, f(A) è un intervallo.

Capitolo 2: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Derivata rispetto al vettore v

Come si definisce la derivata rispetto al vettore v? (Precisare bene tutte le condizioni su f, il suo dominio A, x₀ e v).
Siano A ⊆ Rⁿ (n ∈ N), v ∈ Rⁿ, x₀ ∈ A. Poniamo A_x₀,v := {t ∈ R : x₀ + tv ∈ A}.
Sia f : A → R. Per t ∈ A_x₀,v \ {0}, poniamo

r_x₀,v(t) := (f(x₀ + tv) − f(x₀))/t
e supponiamo che 0 ∈ D(r_x₀,v).

Se esiste lim_t→0 r_x₀,v(t), lo chiameremo derivata di f rispetto al vettore v in x₀ e lo indicheremo con la notazione ∂f/∂v(x₀).

Derivate parziali del primo ordine

Come si definiscono le derivate parziali del primo ordine f(x)?
Siano A ⊆ Rⁿ (n ∈ N), 1 ≤ j ≤ n, x₀ ∈ A, tale che x₀ ∈ D(A).
Chiamiamo derivata parziale prima rispetto alla variabile j nel punto x₀ la derivata (se esiste) e la indicheremo con uno dei simboli ∂f/∂x_j(x₀).

Derivate parziali e continuità

L’esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali implica la continuità della funzione?
Per funzioni di più variabili, è abbastanza chiaro che l’esistenza di tutte le derivate parziali prime finite in un punto non implica la continuità della funzione in quel punto. (Vedi esempio dell’osservazione 2.1.3 a pag 34).

Definizione di funzione di classe C¹

Dare la definizione di f di classe C¹ sull’aperto A.
Siano A ⊆ Rⁿ aperto, f : A → R.
Diremo che f è di classe C¹ in A (f ∈ C¹(A)), se ∀x ∈ A, ∀j ∈ {1, ..., n} esiste la derivata parziale f_j(x) a valori reali. Inoltre, le funzioni D₁f, ..., D_nf sono continue su A.

Teorema del differenziale totale

Che cosa dice il teorema del differenziale totale?
Siano A un aperto in Rⁿ, f ∈ C¹(A), x ∈ A, ν ∈ Rⁿ.
Allora esiste e ∂f/∂ν(x) = ∇f · ν = Σ_j=1ⁿ ∂f/∂x_j(x)ν_j.

Generalizzazione del teorema del valor medio

Conoscete qualche generalizzazione del teorema del valor medio per funzioni di più variabili?
Siano A un aperto in Rⁿ (n ∈ N), f ∈ C¹(A), x e y in A tali che [x, y] ⊆ A.
Allora esiste z ∈ [x, y], tale che f(y) − f(x) = ∇f(z) · (y − x).

Derivate parziali di ordine superiore al primo

Come si definiscono le derivate parziali di ordine superiore al primo?
Siano n ∈ N, A ⊆ Rⁿ, f : A → R, 1 ≤ j ≤ n. Poniamo A_j := {x ∈ A : Djf(x) esiste}.

Su A_j è definita la funzione D_jf, che associa a ogni elemento x di A_j la derivata D_jf(x).

Se x ∈ A_j e 1 ≤ i ≤ n, può esistere la derivata D_if(x) di D_jf in x. Essa viene chiamata derivata seconda di f in x rispetto alle variabili x_i, x_j (nell’ordine) e viene indicata con uno dei simboli ∂²f/∂x_i∂x_j(x).

Iterando il procedimento, si possono definire le derivate terze, quarte, ecc. (o derivate di ordine 3, 4, ecc.) Dato k ∈ N, {j₁, ..., j_k} ⊆ {1, ..., n}, non necessariamente a due a due distinti, porremo:

D^kf(x) = D_j1D_j2...D_jkf(x).

Funzione di classe C^k

Che cosa vuol dire che una funzione è di classe C^k?
Siano A un aperto di Rⁿ (n ∈ N), f : A → R.
Diremo che f è di classe C^k (k ∈ N) se possiede, a valori reali, tutte le derivate parziali di ordine non superiore a k in ogni punto di A e tali derivate sono continue in A.
Scriveremo, per indicare tale eventualità, f ∈ C^k(A). Se f ∈ C^k(A) per ogni k ∈ N (e quindi possiede derivate parziali continue di ogni ordine), scriveremo f ∈ C^∞(A).

Teorema di Schwarz

Che cosa dice il teorema di Schwarz?
Siano A un aperto in Rⁿ (n ∈ N), f : A → R, 1 ≤ i, j ≤ n.
Supponiamo che, ∀x ∈ A, siano definite e a valori reali D_if(x), D_jf(x), D_ijf(x), D_jif(x).
Sia poi x₀ in A, tale che D_ijf e D_jif sono continue in x₀.
Allora, D_ijf(x₀) = D_jif(x₀).

Conseguenze del teorema di Schwarz

Quali conseguenze ha questo teorema sull’eguaglianza di derivate di ordine superiore al primo?
Dal teorema di Schwarz, segue subito che, se f ∈ C²(A), con A aperto in Rⁿ, ∀i, j ∈ {1, ..., n}, si ha D_ijf = D_jif.
Più in generale, se f ∈ C^k(A), due derivate miste di ordine k sono uguali per tutte le permutazioni degli indici delle variabili di derivazione.