Domande teoria

RECIPROCITA':

se sono due situazioni elettriche diverse e vengono applicate insieme, si ottiene:

Legge di Lorenz: considerate due situazioni elettriche diverse, indicate con 1 e 2, le grandezze

elettriche di porta di un elemento o circuito, accessibile da n-porte, debbono soddisfare

l'uguaglianza tra le eccitazioni, se esso è reciproco.

PASSIVITA': un circuito è passivo se, all'applicazione di una causa di breve durata, gli effetti si

esauriscono nel tempo o al più si mantengono limitati nel tempo (in questo caso il circuito è

passivo in senso lato) Affiché il circuito sia passivo è necessario che:

CAUSALITA': l'effetto non può mai precedere la causa poiché in qualsiasi istante t l'effetto dipende

0

solo dai valori di questa per t<=t (l'effetto è nullo per t<=t se è nulla la causa per t<=t )

0 0 0

RESISTORE: Eq caratteristica: V(t)=Ri(t) che è un'equazione lineare e indipendente dalla variabile

tempo. Soddisfa perciò la proprietà di permanenza e linearità. Per R>0 (resistore passivo) si ha

2

che: P(t)=V(t)i(t)=Ri (t), che è sempre non negativa e perciò anche anche

Risulta quindi soddisfatta anche la proprietà di passività.

3) Per un circuito lineare, permenente, a costanti concentrate, in regime

permanente sinusoidale, enunciare il teorema del massimo trasferimento di

potenza attiva e dimostrarlo.

Un bipolo alimentato da un generatore di tensione di impedenza interna z assorbe da questo la

g

massima potenza attiva quando la sua impedenza vale z *. Il teorema vale nell'ipotesi che le parti

g

reali dell'impedenza del bipolo e del generatore siano positive.

Considerando questo circuito e considerando l'espressione della potenza attiva, si ha:

A questo punto dobbiamo trovare Ru, Xu affinché la Pa sia massima: bisogna comunque derivare.

Per semplicita di conti, si troverà il minimo di questa funzione:

Si ha il massimo trasferimento di potenza attiva perciò quando Zu=Rg-jXg=Zg* Sostituendo tale

valore nell'espressione della potenza attiva si ottiene la potenza disponibile:

e il carico se la prende tutta se e solo se Xu=-Xg e Ru=Rg

4) Enunciare e dimostrare i teoremi di Thevenin e Norton.

THEVENIN:

Una rete accessibile da una porta è equivalente, esternamente alla porta, alla rete stessa in cui le

eccitazioni siano state disattivate, con in serie alla porta un generatore di tensione, avente una

tensione impressa uguale alla tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza alla porta della

rete e con la stessa polarità.

Applicando il teorema di sostituzione a tale circuito, si sostituisce N con un generatore di corrente:

2

infatti il principio di sostituzione afferma che un circuito che ha una tensione e una corrente può

essere sostituito da un generatore di tensione o di corrente che eroga una tensione o una corrente

uguali a quelle iniziali.

A questo punto si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti:

1) si esclude prima il generatore di corrente esterno dove si ottiene un circuito aperto e il circuito

N1 composto da generatori e impedenze. V è la tensione a vuoto su A,B.

0 impedenze.

2) si escludono poi i generatori interni. A questo punto N risulta composta solo da

1

v'=iz dove con z si indica l'impedenza totale del circuito. Dunque si ha che: v =v +v'=v +iz

0 0 TOT 0 0 0

Allora il circuito può essere sostituito con:

(in serie poiché si tratta di una somma di tensioni)

NORTON:

Se alla porta N si sostituisce invece, per il teorema di sostituzione, un generatore di tensione, si

2

ha:

Applicando nuovamente il principio di sovrapposizione degli effetti:

1) si eclude il generatore di tensione esterno così N contiene generatori e impedenze e avremo

1

una corrente i di corto circuito.

0

2) si ecludono i generatori interni e avremo y =1/z che è l'ammettenza. Si ha quindi i'=y v dunque

0 0 0

i =i +y v

TOT 0 0

Allora il circuito può essere sostituito con:

(in parallelo poiché si tratta di una somma di correnti)

Infatti il teorema di Norton afferma che: una rete accessibile da una porta è equivalente

esternamente alla porta, alla rete stessa in cui le eccitazioni siano state disattivate con in parallelo

alla porta un generatore di corrente, avente una corrente impressa uguale alla corrente di corto

circuito della porta, con il verso concorde con la corrente di corto circuito.

5) Discutere il problema del rifasamento di carichi induttivi a regime permanente

sinusoidale, indicando e giustificando le possibili soluzioni al problema.

Dato un circuito nel dominio dei fasori

bisogna trovare il valore di C in modo che risulti nulla la potenza reattiva Pr erogata dal generatore.

(Infatti Pr=1/2 VI* sin(φ -φ )=0 <=> φ =φ ossia se tensione e corrente sono in fase). Il problema si

v i v i

può risolvere applicando il metodo dei fasori graficamente. Ipotizziamo una tensione fittizia Vc=1:

Nel diagramma delle correnti poniamo Ic=Vc/Rc e V =jw LIc

L 0

Da qui possiamo trovare la tensione V' ai capi del condensatore. V'=V +Vc e la corrente I' = jw CV'

L 0

A questo punto bisogna scegliere Ig parallelo a V' per far si che siano in fase. Dal diagramma delle

correnti si vede che Ig=Ic+I' Le rette su cui giacciono i vettori Ig e I' sono perpendicolari solo se c

trovato è quello giusto.

6) Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

Un bipolo alimentato da un generatore di tensione di impedenza interna Zg assorbe da questo la

massima potenza attiva quando la sua impedenza vale Zg*. E' importante tenere presente che il

teorema vale nell'ipotesi che le parti reali dell'impedenza del bipolo e del generatore siano positive.

Considerando questo circuito e considerando l'espressione della potenza attiva in funzione di Zu,

si ha:

A questo punto bisogna trovare Ru e Xu affinché Pa sia massima. Bisogna dunque derivare per

trovare il massimo della funzione. Troviamo il minimo per semplificare i conti. Usando la derivata

parziale si ha:

In questo caso si ha massimo trasferimento di potenza attiva. Sostituendo all'espressione Pa i

valori trovati si ha la potenza disponibile espressa nel seguente modo:

Il carico se la prende tutta solo se vale: Xu=-Xg e Ru=Rg

7) Grafo di un circuito lineare, permanente, a costanti concentrate e sue proprietà.

Un circuito reale può essere rappresentato mediante la connessione di elementi ideali. Il generico

circuito ideale è costituito da un insieme di elementi a due terminali connessi in modo qualunque,

caratterizzati da due grandezze elettriche. Se R è il numero degli elementi, le grandezze elettriche

sono 2R: R tensioni ed R correnti. Si hanno dunque 2R equazioni: quelle che conseguono dalle

relazioni costitutive e quelle che conseguono dalle leggi di Kirchoff. Le equazioni del secondo

gruppo sono omogenee e del tutto indipendenti dalla natura degli elementi, perciò l'insieme delle R

correnti si può dividere in due sottoinsiemi, l'uno derivabile direttamente dall'altro. Il sottoinsieme

da cui deriviamo tutte le correnti è il sottoinsieme delle correnti indipendenti e in modo del tutto

analogo può essere definito il sottoinsieme delle tensioni indipendenti. L'individuazione di questi

due sottoinsiemi dipende dalle leggi di Kirchoff, non dalla natura degli elementi. Per questa ragione

possiamo considerare come semplificazione il grafo del circuito, intendendo per grafo ciò che si

ottiene dal circuito sostituendo ciascun elemento con un segmento. Ogni segmento è chiamato

ramo e l'incontro di più segmenti costituiscono un nodo. Introducendo il concetto di albero e

maglia, possiamo analizzare le proprietà del grafo. L'albero è un insieme di rami che unisce tutti i

nodi senza formare un percorso chiuso. I rami esclusi formano invece il coalbero. La maglia

fondamentale è un cammino chiuso che ottengo aggiungendo all'albero un ramo del coalbero. Gli

alberi hanno sempre un numero di rami uguale a N-1(N numero dei nodi). Il numero delle maglie è

invece R-N+1. I tagli fondamentali sono invece superfici che tagliano un solo ramo dell'albero per

volta. Abbiamo dunque le seguenti proprietà:

i) La maglia fondamentale relativa ad un ramo del coalbero comprende tutti e solo i rami dell'albero

i cui tagli fondamentali comprendono quel ramo.

Consideriamo la linea chiusa che genera il taglio fondamentale relativo a ciascun ramo. La linea interseca il

ramo dell'albero in questione, penetra all'interno della maglia e per uscire interseca il ramo Ck. Ciò dimostra

la proprietà.

ii) Il taglio fondamentale relativo ad un ramo dell'albero comprende tutti e soli i rami del coalbero le cui

maglie fondamentali comprendono quel ramo.

Consideriamo il taglio fondamentale relativo ad un ramo dell'albero a i

Siano c1,...,ck i rami del coalbero facente parte di questo taglio. Consideriamo quindi la linea

chiusa che genera la maglia fondamentale relativa ad ogni ramo. Questa linea è costituita da una

porzione coincidente con il ramo del coalbero di interesse, da una porzione di albero di parte 1 e 2

e necessariamente dal ramo a l'unico che collega parte 1 e 2.

i

iii) Siano ai e cj rispettivamente un ramo dell'albero e del coalbero tali che il taglio fondamentale

relativo ad ai comprenda cj, allora il segno della corrente cj è opposto a quello della tensione di ai

nell'equazione di equilibro della maglia fondamentale relativa a cj.

Se cj ed ai sono concordi come verso, allora la corrente di cj ha segno positivo.

Contemporaneamente il segno della tensione di ai è negativo perché percorrendo la linea chiusa di

questa maglia nel senso concorde con quello di cj, si incontra in senso opposto il verso di ai. Dalle

proprietà precedenti scaturisce come conseguenza più importante che possiamo scrivere le

equazioni relativi a tagli e maglie come segue:

[Ia]+[A][Ic]=0 e [Vc]+[B][Va]=0 dove [A] e [B] si ottengono applicando le leggi di Kirchoff. Dalla

t

proprietà 3 si deduce che bji=-aji. Perciò [B]=-[A]

8) Funzioni di rete: definizione e proprietà.

Il legame tra una qualsiasi eccitazione e(t) ed una qualsiasi risposta U(t) è solitamente di

tipo integro-differenziale. Tuttavia se si utilizza il metodo della trasformata di Laplace, tra

eccitazione e risposta vi è un legame di semplice proporzionalità, come nel caso dei

circuiti senza memoria: U(s)=F(s)E(s) La funzione F(s), che permette di ottenere nel

dominio di s la risposta a partire dall'eccitazione, prende il nome di funzione di rete: F(s)=

U(s)/E(s) Questa definizione vale nel caso di una sola eccitazione. Nel caso di più

eccitazioni, invece, la r