Domande teoria

Discussione sul legame tra eccitazione e risposta nei circuiti lineari

Introduzione al dominio del tempo, di Laplace e dei fasori

Per un circuito lineare, permanente, a costanti concentrate, è importante discutere il legame tra l'eccitazione e la risposta nel dominio del tempo, nel dominio di Laplace e nel dominio dei fasori. Prendendo un'eccitazione del tipo e(t)=Acos(w t+φ) applicata all'istante t=0, si ha che tale eccitazione è uguale a jφ. Ricordando che E=Ae è il vettore rotante dell'eccitazione, si può scrivere:

Passando nel dominio di Laplace si ottiene: dove E/2 e E*/2 sono i residui relativi a s-jw e s+jw rispettivamente, e dove si ha la presenza di fasore e trasformata contemporaneamente. La risposta nel dominio di Laplace è dunque:

Prestando attenzione alla parte permanente di U(s) si ha: da cui si ottiene:

Dunque il legame tra fasori e trasformata può essere espresso come U=F(jw)E. Possiamo quindi dire che: per un circuito lineare e permanente, limitatamente ai casi nei quali è possibile dividere il transitorio e il permanente nella risposta, a regime la risposta risulta isofrequenziale con la funzione di eccitazione. Inoltre, il fasore U relativo alla risposta è legato al fasore E dell'eccitazione tramite la relazione seguente: U=F(jw)E, dove F(jw) è il valore assunto dalla funzione di rete F(s) per s=jw.

Proprietà dei circuiti a costanti concentrate

Linearità, permanenza, reciprocità, causalità e passività

I circuiti a costanti concentrate godono delle seguenti proprietà:

• Linearità: il componente o il circuito è lineare se l'effetto dovuto a una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa. La proprietà di linearità implica che le equazioni costitutive degli elementi del circuito sono lineari. La linearità implica anche il principio della sovrapposizione degli effetti: l'effetto dovuto a più cause che agiscono contemporaneamente è esattamente la somma degli effetti dovuti a ciascuna causa considerata come se agisse da sola.
• Permanenza: (o invarianza nel tempo) il componente o il circuito è permanente se l'effetto rimane invariato indipendentemente dall'istante di applicazione della causa. Supponiamo infatti che e(t) sia l'effetto dovuto alla causa c(t); se consideriamo la nuova causa c(t+t₀), l'effetto è uguale a e(t+t₀). Ciò implica che le equazioni costitutive sono indipendenti dalla variabile tempo.
• Reciprocità: se sono due situazioni elettriche diverse e vengono applicate insieme, si ottiene la legge di Lorenz: considerate due situazioni elettriche diverse, indicate con 1 e 2, le grandezze elettriche di porta di un elemento o circuito, accessibile da n-porte, debbono soddisfare l'uguaglianza tra le eccitazioni, se esso è reciproco.
• Passività: un circuito è passivo se, all'applicazione di una causa di breve durata, gli effetti si esauriscono nel tempo o al più si mantengono limitati nel tempo (in questo caso il circuito è passivo in senso lato). Affinché il circuito sia passivo è necessario che:
• Causalità: l'effetto non può mai precedere la causa poiché in qualsiasi istante t l'effetto dipende solo dai valori di questa per t≤t₀ (l'effetto è nullo per t≤t₀ se è nulla la causa per t≤t₀).

Resistore: Eq caratteristica: V(t)=Ri(t) che è un'equazione lineare e indipendente dalla variabile tempo. Soddisfa perciò la proprietà di permanenza e linearità. Per R>0 (resistore passivo) si ha che: P(t)=V(t)i(t)=Ri²(t), che è sempre non negativa e perciò soddisfatta anche la proprietà di passività.

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

Dimostrazione per circuiti lineari a costanti concentrate

Per un circuito lineare, permanente, a costanti concentrate, in regime permanente sinusoidale, il teorema del massimo trasferimento di potenza attiva è importante da enunciare e dimostrare. Un bipolo alimentato da un generatore di tensione di impedenza interna z assorbe da questo la massima potenza attiva quando la sua impedenza vale z*. Il teorema vale nell'ipotesi che le parti reali dell'impedenza del bipolo e del generatore siano positive.

Considerando questo circuito e considerando l'espressione della potenza attiva, si ha: A questo punto dobbiamo trovare Ru, Xu affinché la Pa sia massima: bisogna comunque derivare. Per semplicità di conti, si troverà il minimo di questa funzione: Si ha il massimo trasferimento di potenza attiva perciò quando Zu=Rg-jXg=Zg*. Sostituendo tale valore nell'espressione della potenza attiva si ottiene la potenza disponibile e il carico se la prende tutta se e solo se Xu=-Xg e Ru=Rg.

Teoremi di Thevenin e Norton

Thevenin: Una rete accessibil... (testo incompleto).