Domande di studio Biomeccanica (primo parziale)

Politecnico di Milano – Dipartimento di elettronica, informazione e bioingegneria (DEIB)

DOMANDE ED ESERCIZI PER L’ESAME

DI BIOMECCANICA

A cura di Vittoria Zennaro

CORSO di BIOMECCANICA, A.A. 2021-2022, PROF. REDAELLI

INGEGNERIA BIOMEDICA

1

Indice degli argomenti

1 La matrice extracellulare (ECM) e materiali 3

2 Tessuto osseo 16

3 Tessuto muscolare 40

2

1 La matrice extracellulare (ECM) e materiali

1. Descrivere sinteticamente le diverse tipologie di proteoglicani, illustrando in quali tessuti sono

contenuti

Risposta

I proteoglicani si distinguono in base al peso molecolare. Esistono tre diverse tipologie:

• A basso peso molecolare come decorina, la fibromodulina e biglicano. Servono per ordinare

la matrice extracellulare e si trovano nei tendini, nei legamenti e nelle ossa;

• Ad alto peso molecolare come i versicani e (15 catene di GAGs) e gli aggrecani (fino

ad alcune centinaia di GAGs). Si trovano nelle cartilagini, nei tendini, nei legamenti,

nell’umor vitreo dell’occhio e nei dischi intervertebrali.La loro funzione principale è, infatti,

quella di mantenere idratato il tessuto;

• Ad altissimo peso molecolare come lo ialuronano. In quest’ultimo l’acido ialuronico, che

normalmente non si lega a proteine per formare PG, si lega a speciali proteine che con-

sentono un legame tra acido ialuronico e aggrecani, permettendo la formazione di giganti

strutture molecolari. Si trova nelle cartilagini., nella pelle e nel fluido sinoviale.

2. Descrivere il ruolo della glicina nel collagene

Risposta

L’idrossiprolina e la prolina, a causa del loro ingombro sterico reciproco, tendono a ruotare l’una

rispetto all’altra per non interferire tra di loro. La glicina, avendo come residuo solo l’idrogeno,

è più piccola di entrambe e, per questo, funge da fulcro per la rotazione. La glicina espone

il gruppo amminico verso il gruppo carbossilico di un residuo promuovendo la formazione di

legami a idrogeno tra catene adiacenti con conseguente formazione della struttura a tripla elica

caratteristica del collagene.

3. Descrivere la struttura dello ialuronano

Risposta

Lo ialuronano è un disaccaride molto lungo che si trova prevalentemente nelle cartilagini. Non

è solfatato e, quindi, non attira l’acqua. Si tratta di macromolecole in cui l’acido ialuronico, che

normalmente non si lega a proteine per formare PG, si lega a speciali proteine che consentono

un legame tra acido ialuronico e aggrecani, permettendo la formazione di giganti strutture

molecolari. È costituito da eliche del diametro di 50nm disposte variamente nello spazio che

giungono a toccarsi quando la concentrazione dello ialuronano è superiore a 1mg/ml, ovvero

0.1%. Il cuore è una catena non solfatata che è in grado di attirare aggrecani che si legano alla

catena centrale con legami non covalenti ed elettrostatici. Lo ialuronano è infatti presente dove

è presente l’aggrecano in quanto lega a sè centinaia di queste proteine. Tende ad arrotolarsi su

se stesso. 3

4. Descrivere il ruolo della tripletta Gly-X-Y nel collagene

Risposta

La struttura base del collagene è costituita da tre amminoacidi essenziali: Gly (glicina) -X-Y,

ovvero un residuo di glicina al quale si lega un secondo residuo (X) e un terzo (Y). I residui

X e Y più frequenti sono rispettivamente Prolina e Idrossiprolina. Questa particolare sequenza

è responsabile della struttura secondaria della molecola infatti la conformazione della catena è

dovuta alla repulsione sterica tra prolina e idrossiprolina. Il ruolo della glicina è invece quello di

fungere da fulcro per la rotazione reciproca degli altri due residui e di promuovere la formazione

di legami a idrogeno tra catene adiacente con conseguente formazione della struttura a tripla

elica .

5. Il modulo elastico dell’elastina è circa:

A. 1 MPa

B. 1 GPa

C. 1 kPa

D. nessuna delle precedenti

Risposta

La risposta è l’opzione A. Il modulo elastico dell’elastina è circa 1MPa.

6. Descrivere la struttura molecolare del collagene e il ruolo dell’amminoacido Gly

Risposta

Vedi domande 2 e 4.

7. Definire i GAGs e spiegare il loro ruolo nei tessuti

Risposta

I glicosaminoglicani (GAGs) si trovano sia disposti sulla superficie della membrana cellulare

sia all’interno della matrice extracellulare. Essi sono carboidrati costituiti dalla ripetizione di

un numero variabile di unità disaccaridi che possono andare incontro a modifiche di natura

chimica. Si dividono in due tipi principali: i solfatati (subiscono solfatazione, si legano a e

−

SO 3

poi si legano covalentemente ad altre strutture proteiche per formare i PG) e l’acido ialuronico

(catene di disaccaridi molto più lunghe, non subisce solfatazione e non si lega ad altre proteine).

Costituiscono la matrice amorfa nella quale sono integrate le fibre di collagene, sono presenti

nei tessuti e si comportano come materiali viscosi che interagiscono con le proteine, con le quali,

legandosi, danno origine ai PG. Si legano facilmente con l’acqua e con altri gruppi grazie alla

reattività dei gruppi laterali. 4

8. Definire il modulo elastico di un materiale composito (con componenti elastici lineari) secondo il

modello di Voigt

Risposta Figura 1: Forza di trazione applicata al modello di Voigt

Nel modello di Voigt, in cui le inclusioni sono lamine parallele alla direzione di applicazione,

l’allungamento imposto al materiale conposito coincide con l’allungamento subito dalle

∆l

c

inclusioni e dalla matrice . Si ha dunque:

∆l ∆l

i m F = F + F

c i m

in quanto la forza che agisce sul blocco di materiale composito è bilanciata dalla sommatoria

delle forze reattive della matrice e delle inclusioni (il modello di Voigt è anche detto in parallelo).

Inoltre si ha che: l = l = l ; A = A + A ; ∆l = ∆l = ∆l

0 0 0 0 0 0 0 0 0

c m c m c m

i i i

da cui ∆l ∆l

∆l

c i m

= = =⇒ ε = ε = ε .

c i m

l l l

c i m

Usando la definizione di sforzo ingegneristico si ottiene:

σ = σ A + σ A .

c i 0 m 0

m

i

Nell’ipotesi di materiale elastico lineare si può scrivere:

E ε A = E ε A + E ε A

c c 0 i i 0 m m 0

c m

i

da cui, semplificando la deformazione e moltiplicando per :

ε l

0

E l A = E l A + E l A =⇒ E V = E V + E V .

c 0 0 i 0 0 m 0 0 c c i i m m

c c m m

i i V e si ottiene:

Esprimendo in frazione volumetrica (V ∗ ∗

∗ V + V = 1)

= m i

V

c ∗ ∗

E = E V + E V .

c m i

m i

5

9. Un polimero, schematizzato con un modello di Voigt, sottoposto ad uno sforzo di compressione

costante nel tempo:

A. varia esponenzialmente la sua deformazione nel tempo

B. varia linearmente la sua deformazione nel tempo

C. mantiene costante la sua deformazione nel tempo

D. nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La risposta è l’opzione A.

10. La rottura a fatica avviene:

A. in condizioni impulsive

B. in condizioni cicliche

C. sempre

D. nei materiali fragili

Risposta

La risposta è l’opzione B. La rottura a fatica si verifica su un materiale sottoposto a carico

ciclico di valore massimo inferiore a quello limite.

11. Per un materiale viscoelastico con proprietà meccaniche note che subisce una prova come mostrato

in figura (due deformazioni e1 e e2 consecutive e costanti nel tempo), schematizzare il diagramma

dello sforzo nel tempo. Non sono richiesti calcoli.

Figura 2: Diagramma storia di rilassamento

Risposta Figura 3: Diagramma della risposta alla prova di rilassamento

6

12. Durante gli istanti iniziali di un impatto, un materiale:

A. presenta un lavoro di deformazione maggiore del lavoro delle forze esterne

B. presenta un lavoro di deformazione minore del lavoro delle forze esterne

C. presenta un lavoro di deformazione uguale al lavoro delle forze esterne

D. nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La risposta è l’opzione B.

13. Il modulo elastico di una fibra di collagene è circa:

A. 1GPa

B. 1MPa

C. 1kPa

Risposta

La risposta è l’opzione A.

14. Un materiale composito di Voigt con fibre in carbonio e matrice polimerica:

A. ha un modulo elastico il cui valore aumenta all’aumentare della frazione volumetrica delle

fibre

B. al tendere del modulo elastico delle fibre all’infinito tende ad un valore finito

C. ha un modulo elastico il cui valore diminuisce all’aumentare del modulo elastico della

matrice

D. nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione A.

15. Ricavare il modulo elastico complessivo di un materiale composito a lamine parallele sollecitato nella

direzione delle lamine.

Risposta

Si tratta del modello di Voigt, vedi domanda 8.

7

16. Descrivere la risposta di un materiale viscoelastico quando è sottoposto ad una deformazione costante

nel tempo utilizzando il modello più appropriato.

Risposta

Un materiale viscoelastico sottoposto a una deformazione costante nel tempo sta subendo una

prova di rilassamento degli sforzi e risponde con uno sforzo che diminuisce nel tempo.

Figura 4: Risposte di un materiale viscoelastico a prove di creep (b) e di rilassamento (c). In

evidenza la curva di isteresi (a).

17. La rigidezza di un tessuto biologico

A. aumenta sempre all’aumentare del carico imposto

B. diminuisce sempre all’aumentare del carico imposto

C. dipende dal tipo di tessuto considerato

D. nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione D. Aumentando la velocità di deformazione aumenta la rigidezza.

18. Un campione metallico sottoposto ad una prova di fatica meccanica con un protocollo che preveda

per un elevato numero di cicli (> ):

7

10

A. si rompe sempre prima di 7

> 10

B. ha il 50% di probabilità di rompersi quando il numero di cicli è pari a 7

> 10

C. si rompe solo se è soggetto a forze di compressione

D. nessuna delle risposte è esatta

Risposta

La soluzione è l’opzione D. Dopo solitamente si ha la rottura a fatica del materiale.

7

> 10 8

19. Ricavare il modulo elastico complessivo di un materiale composito a lamine parallele sollecitato nella

direzione perpendicolare alle lamine.

Risposta

Si tratta del modello di Reuss, duale del modello di Voigt, nel quale le inclusioni sono perpen-

dicolari alla direzione di applicazione del carico.

Figura 5: Forza di trazione applicata al modello di Reuss.

Nel caso del modello di Reuss la forza agente sulla matrice e quella agente sulle inclusioni

coicidono con la forza agente sul composito mentre l’allungamento del composito è dato dalla

somma degli allungamenti dei costituenti. Si ha dunque:

F = F = F

c i m

e: l = l + l ; A = A = A ; ∆l = ∆l + ∆l

0 0 0 0 0 0 0 0 0

c m c m c m

i i i

Essendo uguali tra loro sia le forze F che le aree A, si ha: . Quindi:

σ = σ = σ

c i m

∆l ∆l σ σ σ

∆l 0 c m

0 i

0 m

c i

l = l + l =⇒ ε l = ε l + ε l =⇒ l = l + l

0 0 0 c 0 i 0 m 0 0 0 0

c m c m c m

i i i

l l l E E E

0 0 0 c c m

c m

i

Da cui, semplificando e moltiplicando per , si ottiene:

σ A

0

1 1 1

l A = l A + l A

0 0 0 0 0 0

c c m m

i i

E E E

c i m V si ha:

Essendo e utilizzando le frazioni volumetriche (V e ∗

∗ ∗ = 1)

V = lA = V + V

m i

V

c

−1

!

∗ ∗

1 1 1 V V E E

m i

m i

V = V + V =⇒ E = + =

c i m c ∗

∗

E E E E E E V + E V

c i m m i i m

m i

20. Descrivere la risposta di un materiale viscoelastico quando è sottoposto ad uno sforzo costante nel

tempo utilizzando il modello più appropriato.

Risposta

Un materiale viscoelastico sottoposto a uno sforzo costante nel tempo sta subendo una prova di

creep o di scorrimento viscoso e risponde con una deformazione che aumenta nel tempo.

9

Figura 6: Risposte di un materiale viscoelastico a prove di creep (b) e di rilassamento (c). In

evidenza la curva di isteresi (a).

21. I parametri viscoelastici

A. sono parametri estensivi

B. trovano corrispondenza nel modello analogo elettrico di Maxwell

C. Dipendono dal tempo e dal tipo di tessuto considerato

D. nessuna delle risoste è corretta

Risposta

La soluzione è l’opzione C.

22. Una prova di fatica meccanica:

A. è una prova viscoelastica

B. è una prova di resilienza

C. è una prova ciclica

D. nessuna delle risposte è corretta

Risposta

La soluzione è l’opzione C.

23. Quale è la geometria che meglio approssima la geometria di una molecola di collagene di tipo 1

A. sfera

B. cilindro

C. elissoide

Risposta

La soluzione è l’opzione B. 10

24. Illustrare il fenomeno di rottura a fatica.

Risposta

La rottura a fatica si verifica a causa del propagarsi si una cricca in seguito all’applicazione ciclica

di un carico inferiore al carico massimo di rottura. Tutto infatti si origina da un’imperfezione

localizzata che, a causa delle sollecitazioni ripetute nel tempo, genera una microcricca che avanza

ad ogni ciclo fino ad arrivare a rottura, che si verifica quando la cricca ha dimensioni troppo

elevate e il pezzo non è più in grado di sopportare i carichi. Dopo la rottura la superficie

creata dalla frattura presenta due zone: una zona d’avanzamento (superficie levigata e con linee

caratteristiche dette di spiaggia, questo è dovuto allo sfregare delle due superfici una sull’altra

mentre la cricca avanza) e una zona di frattura (generata al momento della rottura completa

del pezzo meccanico, è irregolare e con asperità).

25. Illustrare il comportamento viscoelastico

Risposta

Un materiale si definisce viscoelastico quando la relazione tra sforzo e deformazione non è

più biunivoca ma varia anche in base alla storia temporale di sollecitazione. Questo tipo di

materiali presenta infatti diversi valori di sforzo in corrispondenza della medesima deformazione

(e viceversa) a seconda che si stia considerando la fase di carico o quella di scarico, andando

a formare delle curve di isteresi. Per un materiale viscoelastico, a velocità di deformazione

differenti corrispondono curve sforzo-deformazione differenti

26. Illustrare il fenomeno del reclutamento

Risposta

Il fenomeno del reclutamento riguarda le fibre di collage e si verifica quando, all’allungamento, la

percentuale delle fibre di collagene impiegate varia e, in particolare, aumenta all’aumentare della

deformazione. Immaginiamo di avere 3 fibre di collagene "immerse" nell’elastina e, inizialmente,

nessuna di esse è tesa. Successivamente immaginiamo di applicare una forza di trazione e che,

di conseguenza, solo una di queste 3 fibre si "attivi", distendendosi. Applicando nuovamente

una forza di trazione anche la seconda fibra si tenderà e infine anche la terza. Applicando per

una quarta volta la forza, questa andrà ad agire su tutte e tre le fibre tese.

Figura 7: Illustrazione schematica del fenomeno del reclutamento (caso con 3 fibre di collagene)

11

Si avrà quindi (chiamando l’allungamento imposto ad ogni applicazione):

∆L F = K ∆L

e 1

la fibra 1 è stata tesa solo da

− −

F = K ∆L + K (∆L ∆L ) =⇒ (∆L ∆L )

e 2 c 2 1 2 1

1 − −

F = K ∆L + K (∆L ∆L ) + K (∆L ∆L )

e 3 c 3 1 c 3 2

1 2

− − −

F = K ∆L + K (∆L ∆L ) + K (∆L ∆L ) + K (∆L ∆L )

e 4 c 4 1 c 4 2 c 4 3

1 2 3

Passando dal discreto al continuo, considerando un numero n di fibre infinito, si ha che:

ε

Z

· · 0

−

σ = E ε + E (ε ε )dn

el c

0

dove è la deformazione in cui la fibra viene reclutata e dn è il numero di fibre che progressi-

0

ε

vamente vengono coinvolte.

Considerando ora la velocità di reclutamento delle fibre come:

ṅ

dn(ε 0 ) 0

0 −Bε

ṅ = = Aε e

dε 0

Sostituendo: ε

Z

· · 0 0 0

−

σ(ε) = E ε + E (ε ε )

ṅ(ε )dε

el c

0

Normalizzando e integrando per parti:

∞

∞ Z

Z 0 dε integrazione per parti

0 −Bε 2

⇒ ⇒

⇒ Aε = 1 A = B

ṅdε = 1 e

0

0

Da cui, sostituendo: ε

Z 0

· · dε

0 0 −Bε 0

2

−

σ(ε) = E ε + E (ε ε )B ε e

el c

0

Il primo addendo è dato dal contributo dell’elastina mentre il secondo dal collagene, più aumenta

n più fibre di collagene vengono reclutate rendendo più rilevante il secondo contributo.

All’aumentare di B il reclutamento avviene prima.

27. Ricavare l’espressione del modulo elastico di un modello di materiale composito di Reuss a lamine

parallele e calcolare il suo valore nell’ipotesi che il modulo elastico della matrice sia pari a 3 GPa,

il modulo delle inclusioni sia pari a 300 MPa e la frazione volumetrica delle inclusioni sia pari al

30%:

Risposta

Per ricavare l’espressione del modulo di Reuss vedi domanda 19. Il risultato che si ottiene è:

−1

!

∗

∗ V E E

V m i

i

m =

E = +

c ∗

∗

E E E V + E V

m i i m

m i