Domande con risposte Progettazione sistemi digitali, prof. Gorla

Passare da base A a base A^k e per quale motivo algebrico funziona

:

Nell’aritmetica in base



se voglio calcolare il resto della divisione di un numero in base per un certo numero , basta

prendere le cifre meno significative;

 se voglio calcolare la divisione, basta prendere tutte le restanti cifre.

…

Quindi, se la base è e il numero in base a è , allora il numero in base corrisponde a

−1 1 0

,

prendere le cifre meno significative e convertirle in base poi successive cifre meno significative e le

converto in base ecc.

Come si ottiene l'opposto in complemento a 2

Per ottenere l’opposto di un numero in Ca2 devo complementare tutti i bit e sommare 1 al risultato

ottenuto.

Dimostrare che il procedimento del complemento+1 di cui sopra corrisponda effettivamente all'opposto

Metto in evidenza i fattori che sono moltiplicati per la stessa base 0 + 1 1 + 0,

All’interno delle parentesi ho un bit più il suo complemento, quindi ho sempre o o quindi

posso eliminarle e mi ritrovo con:

svolgo la sommatoria che è la serie geometrica e mi ritrovo con:

Intervallo di rappresentazione dei numeri naturali avendo n bit e interi in Ca2

−1 −1

0 2 −2

Con n bit posso rappresentare numeri naturali (da a ) e numeri interi in Ca2 (da incluso

−1

+2

a escluso)

Intervallo di rappresentazione dei numeri in virgola mobile avendo n bit di mantissa e n di esponente,

qual è il numero più piccolo e più grande rappresentabile

Per i numeri negativi, la mantissa varia da -0,11…1 a -0,100…0

Per i numeri positivi, la mantissa varia da +0,10…0 a +0,11…1

−1 −1

[−2 + 1; +2 − 1)

L’esponente invece (in Ca2) è nell’intervallo

Il range di rappresentabilità è quindi:

− −

 − + −

, ∗ , … ∗

Numeri positivi:

∗ 2 ∗ 2

(da a )

− −

 − − +

−, … ∗ − , ∗

Numeri negativi:

∗ 2 ∗ 2

(da a )

Condizioni di Overflow in somma numeri naturali e interi e tipi di Overflow sui razionali

L’overflow si verifica quando l’elaboratore non ha abbastanza bit per rappresentare una certa

informazione.

 Per i naturali questo accade quando, nella somma, vi è un riporto per il bit più significativo.

 Per gli interi in Ca2 avviene quando con operandi di segno concorde si ottiene un risultato di segno

discorde

 Per i razionali espressi in virgola mobile avviene quando l’esponente (in Ca2) supera i bit disponibili

Quanti bit di ridondanza devo aggiungere per i bit di parità longitudinali e trasversali

Bisogna distinguere tra caso migliore e caso peggiore in un messaggio da bit:



Il caso migliore si ottiene quando è un quadrato perfetto, in quanto avrò una matrice quadrata e

= = √. 2√

quindi avrò che Aggiungo quindi bit.



Il caso peggiore si ottiene quando è un numero primo, in quanto avrò una matrice con una sola

+ 1

colonna o una sola riga. Aggiungo quindi bit di ridondanza.

2√ + 1.

A seconda del caso quindi, i bit di ridondanza da aggiungere variano da a

Codice di Hamming prestazioni e quanti bit servono

Il codice di Hamming, come il metodo dei bit di parità longitudinali e trasversali, riesce a rilevare al massimo

log + 1.

2 errori ed a correggerne al massimo 1, ma utilizzando meno bit di ridondanza, ovvero sempre 2

I bit di controllo vengono inseriti nelle posizioni che sono potenze di 2, mischiati coi bit di messaggio che

vengono inseriti nelle restanti posizioni.

Algebra di Boole e dimostrazioni correlate alle proprietà

Un’algebra in matematica è un insieme dotato di operazioni che godono di determinate proprietà.

L’algebra di Boole è quindi un insieme costituito da solo due elementi {0,1}, dotato di tre operazioni {+, *, ¯}

rispettivamente AND, OR e COMPLEMENTO, che gode delle proprietà commutativa, associativa,

distributiva, elemento neutro e complemento.

Tramite queste proprietà è possibile derivare ulteriori leggi:

Legge di involuzione: il doppio complemento si annulla;

Legge di idempotenza: se moltiplico o sommo un fattore per sé stesso, ottengo lo stesso fattore;

Somma:

Prodotto:

Legge dell’elemento annullatore: se moltiplico un fattore booleano per 0, il risultato sarà 0;

;

Legge di assorbimento: se sommo a sé stesso moltiplicato per qualcosa il risultato è sempre

Legge di De Morgan: se faccio la negazione di una somma ottengo il prodotto dei negati; se faccio la

negazione di un prodotto ottengo la somma dei negati.

Cosa dice il principio di dualità e perché vale

Il principio di dualità afferma che se ho una legge valida, questa legge rimarrò valida anche se scambio gli 0

con gli 1 e gli AND con gli OR (o viceversa).