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Aun fluido incomprimibile
Per la determinazione del modello si può procedere scrivendo l'equazione di Newton:
m = ρAdxsinα = z(x) - z(x + dx) / dx
quindi abbiamo:
Dividendo per dx:
Integrando sulla lunghezza della condotta:
Lezione 03805
Si indichino gli elementi costitutivi di una generica rete di telecomunicazione e se ne fornisca il corrispondente modello.
Gli elementi che costituiscono una rete generica sono i buffer, essi possono essere modellati da integratori e i link collegamenti, i quali possono essere modellati da ritardi T, quindi una rete può essere modellata come un sistema non lineare con saturazioni e ritardi.
La dinamica non modellabile è rappresentata dal disturbo.
Modello del sistema di controllo di una rete generica
Lezione 04004
Si discuta il ruolo delle condizioni iniziali - condizioni al contorno nel caso delle equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni differenziali a derivate parziali.
Le soluzioni di una PDE sono molto
generali; una PDE determina in generale, solo in piccola parte la soluzione adatta ad un dato problema. Di conseguenza le "condizioni al contorno" assumono un ruolo molto importante, più di quanto lo facciano le condizioni iniziali nei problemi ad una dimensione. Prendendo in considerazione una PDE omogenea del primo ordine in due dimensioni, sia una funzione che soddisfa la PDE. Abbiamo che questa equazione implica solo che non dipende da X2 qualunque valore assuma X1. Quindi abbiamo dove F è una qualunque funzione di X1. Assumendo una condizione al contorno la soluzione è completamente determinata imponendo la condizione il problema risulterebbe mal posto.
Lezione 04201. Si discutano qualitativamente i modi normali di una corda vibrante, sulla base del passaggio da un sistema di oscillatori accoppiati ad un sistema a distribuzione continua di massa. In un sistema di oscillatori accoppiati il moto complessivo è dato dalla sovrapposizione di due modi naturali.
detti rispettivamente modo sincrono e modo asincrono. Le pulsazioni rispettano la seguente equazione. In quanto al modo asincrono è associata la massima deformazione della molla, mentre il modo sincrono lascia impassibile la molla di accoppiamento. Lo stesso risultato si trova considerando le oscillazioni trasversali; si può dimostrare che le pulsazioni relative ai modi longitudinali sono molto maggiori rispetto a quelle dei modi trasversali. Immaginando il numero di masse tendente all'infinito otteniamo il comportamento di una corda vibrante. Il numero di modi trasversali di oscillazione è pari al numero degli oscillatori. Il modo di più bassa frequenza è il modo sincrono, quello di più alta frequenza è quello di massima antisincronia. In modo corrispondente esistono altrettanti modi longitudinali, con frequenze più elevate. Portando il numero di masse all'infinito anche il numero dei modi diventa infinito. (Le molle in questo caso si)Possono immaginare costituite dai legami intermolecolari. Avremo quindi una situazione di questo tipo: e così via. I modi normali di una corda vibrante sono detti parziali o armoniche della corda. Quello di minima frequenza è l'armonica fondamentale (o tono), i successivi sono le armoniche superiori (o ipertoni).
Lezione 04307. Si determini analiticamente il modello della corda vibrante, indicando le approssimazioni utili al conseguimento dello stesso.
In primis si fanno le seguenti approssimazioni tralasciando: il moto torsionale, il moto longitudinale, gli aspetti dissipativi, le variazioni di densità, le variazioni di tensione.
Equazione delle onde con densità lineare:
Essendo interessati alle sole oscillazioni trasversali, prendiamo come sistema di riferimento la coordinata X dell'asse che individua la posizione di riposo della corda e la coordinata Y perpendicolare a X.
Scriviamo l'equazione di Newton per il moto trasversale di un elemento infinitesimo di corda.
dSLa forza è pari alla differenza delle tensioniUtilizziamo lo sviluppo di Taylor al primo ordinePer cui abbiamoCon piccolo abbiamoQuindisecondo membro dell'equazione di NewtonConLezione 04404.Si determini la soluzione generica dell'equazione unidimensionale delle onde,evidenziando il carattere propagatorio della stessa.Equazione delle ondeponiamo x = x e x = vt e abbiamo1 2u e vOra poniamoe otteniamoQuesta equazione ci dice che la derivata parziale di y rispetto a v nondipende da uil che implicaLa soluzione dell'equazione delle onde èDove f e g sono due funzioni qualsiasi.f (x - vt ) onda progressivag (x + vt) onde regressiveLezione 04503. Si introduca e risolva analiticamente il problema di Cauchy per una cordavibrante ad estremi fissi.Equazione della cordacon T = tensione = densitàLa soluzione generale è del tipoconsiderando senza perdere di generalità, onde sinusoidali, abbiamoche ha le dimensioni di una frequenza et. Quindi possiamo scrivere l'equazione come: \[ \frac{{1}}{{T}} \frac{{d^2T}}{{dt^2}} = -k^2 = \frac{{1}}{{X}} \frac{{d^2X}}{{dx^2}} = \frac{{1}}{{Y}} \frac{{d^2Y}}{{dy^2}} \] Dove k è una costante di proporzionalità. Per risolvere questa equazione, utilizziamo il metodo di separazione delle variabili. Supponiamo che la soluzione sia del tipo: \[ z(x, y, t) = T(t)X(x)Y(y) \] Sostituendo questa soluzione nell'equazione, otteniamo: \[ \frac{{1}}{{T}} \frac{{d^2T}}{{dt^2}} = -k^2 = \frac{{1}}{{X}} \frac{{d^2X}}{{dx^2}} = \frac{{1}}{{Y}} \frac{{d^2Y}}{{dy^2}} \] Ora possiamo separare le variabili e ottenere tre equazioni differenziali ordinarie: \[ \frac{{1}}{{T}} \frac{{d^2T}}{{dt^2}} = -k^2 \] \[ \frac{{1}}{{X}} \frac{{d^2X}}{{dx^2}} = -k^2 \] \[ \frac{{1}}{{Y}} \frac{{d^2Y}}{{dy^2}} = -k^2 \] Le soluzioni di queste equazioni sono: \[ T(t) = A\cos(kt) + B\sin(kt) \] \[ X(x) = C\cos(kx) + D\sin(kx) \] \[ Y(y) = E\cos(ky) + F\sin(ky) \] Dove A, B, C, D, E, F sono costanti arbitrarie. La soluzione generale dell'equazione bidimensionale delle onde è quindi: \[ z(x, y, t) = (A\cos(kt) + B\sin(kt))(C\cos(kx) + D\sin(kx))(E\cos(ky) + F\sin(ky)) \]tL'unico modo di soddisfare l'equazione è che ciascuno di tali termini sia una costante con il segno "-". Il segno è dato dal fatto che vogliamo soluzioni che si annullano sul bordo della membrana.temperatura del corpo in esame in un punto, al trascorrere del tempo t, ed esprime la sua evoluzione verso l'equilibrio termico.
Consideriamo il calore che fluisce da un elemento infinitesimo di superficie:
dS Superficie
N conducibilità termica
K coefficiente di conducibilità termica
Considerando il calore che fluisce da un corpo di massa infinitesima si ha
dm massa
Y calore specifico
Per il teorema della divergenza si ha:
U campo vettoriale
S superficie esterna
V volume
Il flusso crescente di U attraverso S coincide con l'integrale della divergenza svolto nel volume V delimitato da S
Essendo
La quantità di calore che fluisce attraverso la frontiera D è
La quantità di calore scambiata con D con il resto del corpo (Densità costante)
Il calore scambiato con l'esterno è tutto quello che fluisce attraverso la frontiera possiamo imporre e abbiamo
avendo considerato
Affinché l'integrale sia nullo, l'integrando deve essere nullo.
Si deve avere l'equazione di Fourier Lezione 04902. Qual'è l'utilità dell'equazione di Fourier nella produzione di componenti elettrici integrati basati su semiconduttori? L'equazione di Fourier è detta anche equazione di diffusione. Nel caso dei semiconduttori può essere utilizzata per spiegare la diffusione del materiale drogante. (x,t) rappresenta la concentrazione di materiale drogante. In questo caso la condizione al contorno, ovvero la concentrazione di drogante su una faccia del semiconduttore, può essere pensata come il forzamento attraverso il quale generare la distribuzione del drogante. 03. Particolarizzare l'equazione di Fourier al caso di una sbarra a sezione e lunghezza sufficientemente grandi. Per una barra a sezione e lunghezza sufficientemente grandi possiamo scrivere l'equazione generale di Fourier. Ma essendo e, poiché possiamo considerare sezione a lunghezza infinita, possiamo considerare la sola coordinata X.quindi abbiamo:Lezione 05009. Che conseguenze ha sul moto di un'oscillatore meccanico la presenza di una elasticità variabile con la dinamica?
L'equazione del moto di un oscillatore meccanico con molla ad elasticità K costante è data da:
Se
Abbiamo
Se K non è una costante abbiamo la pulsazione di risonanza dell'oscillatore è uguale a:
Nel caso K (x) sia continua nell'origine e si considerino piccole oscillazioni il sistema si comporta in modo lineare.
Nel caso in cui K (x) non sia simmetrica rispetto all'origine, la risposta non è più una sinusoide che tende a zero ma si ha una oscillazione smorzata a media non nulla.
Risposta impulsiva K costante Risposta impulsiva K (x)
10. Si descriva l'effetto di una saturazione nella risposta di un sistema ad un ingresso sinusoidale.
Prendiamo ad esempio un amplificatore operazionale, in configurazione non invertente. La tensione di alimentazione costituisce il limite superiore.oltre il quale la tensione di uscita non può andare. Per valori dell'ampiezza di ingresso sufficientemente piccoli, l'amplificatore lavora in modo lineare. Diversamente i picchi della tensione di uscita risultano tagliati. Lezione 05110. Descrivere che differenza c'è tra un sistema lineare e un sistema non lineare, e elencare le possibili tipologie di non linearità. Sistemi lineari Un sistema lineare può e
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