Domande aperte Modulistica e simulazione

Lezione 002

08. Si introduca il problema della modellazione, chiarendone le motivazioni e gli

obiettivi.

Modellare un processo fisico significa costruire un oggetto matematico in

grado di riprodurre il comportamento, per lo meno quei comportamenti che

sono di interesse ai fini del controllo, dell’analisi e/o simulazione. Il modello di

un processo fisico assume un ruolo fondamentale per:

- l’analisi del sistema;

- la simulazione;

- il progetto del sistema di controllo.

Lezione 003

15. Si fornisca una possibile classificazione dei modelli.

I modelli possono essere classificati a seconda delle caratteristiche di

interesse e sono:

LINEARITA’: Modelli lineari – Modelli non lineari

CAUSALITA’: Modelli Stocastici, Modelli Deterministici

PROPRIETA’ SPAZIO TEMPORALI: Modelli Statici, Modelli dinamici a

costanti concentrate, Modelli dinamici a costanti distribuite.

La scelta dei modelli dipende dalla natura caratterizzante il processo fisico e

dalla scelta del modellista.

Lezione 004

04. Si descriva il problema dei limiti di validità dei modelli.

La validità del modello è condizionata a limiti sulle grandezze in gioco.

Indipendentemente da come si ottiene il modello utilizzando relazioni lineari,

o approssimando localmente un modello matematico non lineare. Affinchè il

modello matematico funzioni, le ampiezze delle grandezze devono essere

limitate.

Lezione 005

06. Si definisca l'omogenea associata" di un'equazione differenziale ordinaria.

Puoi dare anche questa risposta

L’equazione differenziale ordinaria può essere sempre scritta come y(t)

o o

= y (t) + y * (t) dove y (t) è la soluzione dell’equazione dell’omogenea

associata e può essere determinata per prove.

Lezione 006

03. Si definisca l'integrale particolare" di un'equazione differenziale ordinaria.

Def.:

Una famiglia di funzioni soluzioni di un’equazione differenziale dipendente da un certo

numero di parametri, si chiama soluzione o integrale generale.

Chiamiamo soluzione o integrale particolare un singolo elemento scelto nella soluzione

generale (tramite le condizioni iniziali)

Puoi dare anche questa risposta

Una famiglia di funzioni soluzioni di un’equazione differenziale dipendente da

un certo numero di parametri, si chiama soluzione o integrale generale.

Chiamiamo soluzione o integrale particolare un singolo elemento scelto nella

soluzione generale (tramite le condizioni iniziali).

L’equazione differenziale ordinaria può essere sempre scritta come y(t)

o

= y (t) + y * (t) dove y * (t) è l’integrale particolare.

Lezione 007

12. Si dimostri che la soluzione generale di una equazione differenziale ordinaria si

compone della somma di una evoluzione libera e di una risposta forzata.

1. La risposta o evoluzione libera: è la risposta del sistema in corrispondenza a

condizioni iniziali diverse da zero ed ingresso u(t) nullo;

2. La risposta forzata: è la risposta del sistema in corrispondenza all’ingresso u(t) per

condizioni iniziali nulle.

Avendo un integrale generale

-t -2t

y(t) = c e + c e + 6 sin 2t + 2 cos 2t

1 2

Le costanti di integrazione si trovano risolvendo il sistema

La soluzione del problema è:

L’integrale generale si trova sovrapponendo linearmente l’evoluzione libera e la risposta

forzata ed è consistente con l’integrale generale calcolato nel dominio del tempo

E’ possibile identificare tre addenti fondamentali:

- L’evoluzione libera;

- Il transito della risposta forzata, ovvero la parte di risposta forzata che tende a zero

per tempi lunghi;

- Il regime permanente, che costituisce la risposta del sistema per tempi lunghi,

ovvero una volta esaurito il contributo delle condizioni iniziali e del transitorio dovuto

al forzamento.

13. Si chiarisca che rapporto intercorre tra la coppia evoluzione libera - risposta

forzata e la coppia transitorio - risposta in regime permanente.

COME LA RISPOSTA 12

1. La risposta o evoluzione libera: è la risposta del sistema in corrispondenza a

condizioni iniziali diverse da zero ed ingresso u(t) nullo;

2. La risposta forzata: è la risposta del sistema in corrispondenza all’ingresso u(t) per

condizioni iniziali nulle.

Avendo un integrale generale

-t -2t

y(t) = c e + c e + 6 sin 2t + 2 cos 2t

1 2

Le costanti di integrazione si trovano risolvendo il sistema

La soluzione del problema è:

L’integrale generale si trova sovrapponendo linearmente l’evoluzione libera e la risposta

forzata ed è consistente con l’integrale generale calcolato nel dominio del tempo

E’ possibile identificare tre addenti fondamentali:

- L’evoluzione libera;

- Il transito della risposta forzata, ovvero la parte di risposta forzata che tende a zero

per tempi lunghi;

- Il regime permanente, che costituisce la risposta del sistema per tempi lunghi,

ovvero una volta esaurito il contributo delle condizioni iniziali e del transitorio dovuto

al forzamento.

Lezione 008

06. Si presenti un metodo per il passaggio da una equazione differenziale ordinaria

ad una rappresentazione con lo spazio di stato.

Consideriamo una equazione differenziale ordinaria

Si evidenzia la derivata prima di x e si introduce una seconda variabile di stato

1

Quindi si ha:

Si ripete la procedura fino ad h = n -1 e si ottiene

Si è ottenuta la rappresentazione del tipo

Con

Lezione 009

10. Si modelli la dinamica di un oscillatore unidimensionale soggetto ad una forza

dissipativa.

Equazione del moto

; ;

Si divide l’equazione per m e si inseriscono i seguenti parametri

e si ha:

Lezione 010

03. Si scriva la funzione di trasferimento di un oscillatore unidimensionale soggetto

ad una forza dissipativa e ad un forzamento esterno.

Abbiamo l’equazione dell’oscillatore smorzato forzato

Trasformando l’equazione dell’oscillatore secondo Laplace, calcolando la funzione di

trasferimento del sistema per

si ha

04. Si fornisca la rappresentazione in spazio di stato di un oscillatore

unidimensionale soggetto ad una forza dissipativa e ad un forzamento esterno.

Abbiamo l’equazione

poniamo

e una prima variabile di stato y = x quindi abbiamo

1

Inserendo una seconda variabile ponendo abbiamo

Otteniamo la seguente rappresentazione con lo spazio di stato

Si ha

Lezione 011

01. Si modelli la dinamica di un pendolo.

Si chiama pendolo semplice un corpo puntiforme di massa m collegato

all’estremo di un filo e sospeso in un piano verticale.

Il filo, di lunghezza l, è bloccato, all’altro estremo, in un punto fisso.

Il corpo si muove per effetto della forza peso mg e della tensione T del filo

lungo una circonferenza di raggio l.

L’equazione del moto è:

T mg

ma

Poiché lungo la direzione radiale l’accelerazione è nulla per effetto della

tensione del filo, si può considerare la sola componente normale.

L’accelerazione è cosi espressa

La forza peso vale

L’equazione del moto

Si semplifica m, si divide per l e considerando la pulsazione

Si ha l’equazione del pendolo semplice

Per piccole oscillazioni si ha

02. Si modelli la dinamica di un pendolo inverso.

Configurazione di equilibrio instabile In tal caso si ha

θ=π .

equazione lineare

Considerando

Si ha

Moltiplichiamo per l, aggiungiamo una coppia e abbiamo l’equazione del

pendolo inverso forzato

Lezione 012

02. Si modelli la dinamica unidimensionale di un sistema composto da due

oscillatori accoppiati elasticamente, in assenza di attriti e forzamenti esterni.

Lezione 013

01.Dato un sistema composto da due oscillatori accoppiati elasticamente, si

determini l'evoluzione libera del sistema.

L’evoluzione libera del sistema si trova sovrapponendo linearmente

i due modi naturali di oscillazione

Lezione 014

02. Si descriva, in maniera qualitativa, il problema della modellazione di una

partizione cocleare. Che relazione c'è con la dinamica di un oscillatore?

Spiegare in maniera qualitativa, vuol dire spiegare attraverso delle proprietà

osservabili dai risultati di eventuali esperimenti, cercando anche di spiegare il

perché dei risultati attraverso una descrizione puramente formale .

La partizione cocleare è costituita dai moduli di membrana basilare,

membrana tettoriale e organo del Corti.

La Sezione trasversale della partizione cocleare è costituita da:

- IHC

- OHC,

- galleria del Corti

- membrana basilare

- ganglio acustico

- membrana tettoriale

- cellule di Deiters

- zona di Nuel

- cellule di Hansen

solco spirale interno

-

Le OHC sono amplificatori elettromeccanici della partizione cocleare.

Amplificano e acutizzano il suono e le cellule cigliari interne trasmettono le

informazioni al cervello. Esse si contraggono e si dilatano, tendendo la

membrana basilare grazie ad un meccanismo di spostamento di ioni che

cambiano le proprietà elettriche della membrana cellulare. Volendo sviluppare

un primo modello amplificato della partizione cocleare possiamo immaginarlo

come un oscillatore armonico smorzato forzato

Dove la massa è data dalla somma delle masse della membrana basilare,

membrana tettoriale e dell’organo del Corti.

K (x) è non lineare e rappresenta le OHC

Lezione 015

04. Descrivere i limiti di validità dei modelli di bipoli passivi.

In generale tutti i componenti elettrici passivi possono discostarsi dal

corrispondente comportamento ideale, salvo in ristrette condizioni operative.

Negli elementi reali, in generale i vari effetti parassiti sono via via più rilevanti

quando si passa dai resistori ai condensatori e poi agli induttori - che sono gli

elementi passivi che più si discostano dal comportamento ideale

corrispondente -.

Si riportano gli schemi equivalenti:

Al crescere della frequenza l’andamento dell’impedenza è prima resistivo, poi

induttivo o capac