Domandario complementi di matematica

DOMANDE D'ESAME (tempo a disposizione per due domande: 1 ora)

• Equazione del trasporto omogenea su R: esistenza, unicità e stabilità. Si consideri il problema
  • u_t + 3u_x = 0, u(x,0) = cos(2πx).
  Si ha u(x,t) = cos(2π(x-3t))
  • e u(2,3) = 1
• Studio di u_t + cu_x = f(t). x ∈ R, t > 0, c costante: esistenza, unicità e stabilità. Si consideri il problema
  • u_t + 2u_x = t, u(x,0) = sin(πx).
  Inf{r(x-2t)} + t²/2
  • Si ha u(x,t) = e u(3,2) = 2
• Studio di u_t + cu_x = f(t). x ∈ R, t > 0, c costante: esistenza, unicità e stabilità.
• Equazione di trasporto omogenea su un intervallo [0,L]: esistenza, unicità e stabilità. Si consideri il problema
  • u_t + 2u_x = 0, u(x,0) = cos(x), u(0,t) = 1.
  Si ha u(x,t) = (x-t) se x-2t ∈ [0,L]
  • ? x ∈ [0,L]
  • e 1 se x-2t ∉ [0,L]
• Lemma di Lax-Milgram: enunciato, unicità e stabilità.
• Dato un problema variazionale, che verifica le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram, mostrare che, nel caso in cui la forma bi-lineare sia simmetrica, il problema variazionale è equivalente al problema di minimo per il funzionale dell'energia.
• Classificazione delle equazioni differenziali (a derivate parziali) del II ordine, lineari, a coefficienti costanti.
• Diffusione del calore in una dimensione: unicità della soluzione e formulazione variazionale.

k. La soluzione di d'Alembert per l'equazione della corda vibrante. Unicità e stabilità.

l. Soluzione fondamentale dell'equazione delle onde.

m. Unicità e stabilità della soluzione dell'equazione delle onde su un intervallo finito.

n. Enunciare la disuguaglianza di Poincaré, e dare la dimostrazione in una dimensione.

o. Equivalenza in _H¹(Ω) delle norme ||∇u||_L²(Ω) e ||u||_H¹(Ω).

p. Dare la definizione di derivata debole di funzioni di L²(0, 1), e fornire esempi di tali funzioni.

q. Scrivere e dimostrare la formula di Gauss-Green in un dominio D ⊂ ℝ².

r. Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

s. Enunciare condizioni sufficienti sui dati k(x) e p(x) affinché la forma bilineare

a(u,v) = ∫₀^L k(x) u' v' + ∫₀^L p(x) v w

sia continua e coerciva (ellittica) in H_{0¹(0, L).}

t. Continuità e coercività (ellitticità) in H¹₀(0, L) di

a(u,v) = ∫₀^L (1 + x) u' v' dx + ∫₀^L 2 u v dx.

u. Sia Ω un poligono convesso. Scrivere la formulazione variazionale del problema

-div(k(x)∇u) = f in Ω, u = 0 sul bordo.

Scrivere condizioni sufficienti sui dati affinché siano verificate le ipotesi del Lemma di Lax-Milgram.

∫ e^L2(Ω), 0 < k_min ≤ k(x) ≤ k_max

1. Eq. del trasporto omogeneo su ℝ

discutere: esistenza, unicità e stabilità

u_t + c u_x = φ

(P) u(x,0) = u₀(x) trovare u(x,t) : ℝ x ℝ⁺ → ℝ che risolva (P)

u(x,t) = u₀(x-ct)

- La soluzione esiste sicuramente se il dato è sufficiente

regolare, sarà una funzione di x e t e con le linee caratteristiche

Unicità

Si suppone per assurdo che esistano due soluzioni u⁽¹⁾ e u⁽²⁾

dello stesso (P) , ammetto che la velocità c e il dato

u⁽¹⁾(x,0) = u⁽²⁾(x,0) = u₀(x)

⇒

u⁽¹⁾_t + c u⁽¹⁾_x = φ

u⁽²⁾_t + c u⁽²⁾_x = φ

u⁽¹⁾(x,0) = u₀(x) - u₀(x) = φ = u₀(x)

⇒

con il metodo delle linee caratteristiche si risolverebbe la soluzione

∀ (x,t) u^(x,t) = u₀(x-ct) = φ ⇒ u⁽¹⁾ - u⁽²⁾ = 0 , u⁽¹⁾ = u⁽²⁾ assurdo!

o Stabilità devo dimostrare che piccole variazioni sui dati (ε)

producono variazioni controllabili sulle soluzioni

• (P)_ε u_t + c u_x = φ
• u(x,0) = u₀(x)+ε
• (P)-(P)ε
• (Mt-Nt)+c(Mx-Nx) = φ
• u(x,0) - u(x,0) = -ε

• u_t + c u_x = φ
• u(x,0) = u₀(x) - u₀(x) = - ε = cte !
• u(x,0) = ε
• U(x,t) = - ε W(x,t) = ε

trovo che | U⁽¹⁾ - U⁽²⁾ | = ε _{l'errore tra}

_{dati e soluzioni è il medesimo !}

inoltre si è visto che |u₀(x) - u₀(x) | = ε

. Considerando il problema posto (c = 3)

• u_t + 3 u_x = φ
• u(x,0) = cos (2π(x-3t))

infine viene richiesto di calcolare u(2,3) = cos (2π(2-9)) = 1

11 Unicitá e stabilitá della soluz. di d'Alembert per corda vibrante tra [0,l]

utt - c²uxx = φ   come per il problema non limitato

pos.i.   u(x,0) = u₀(x)   ∀ 0 ≤ x ≤ l

rel.i.   ut(x,0) = u₁(x)   ∀ 0 ≤ x ≤ l

bordo.   u(0,t) = u(l,t) = 0   ∀ t ≥ 0

equ. del tal problema

cerco u^X,t t.c.

ut - c²ux = ϕ   ut + cux = 0   ν(X-ct)

1. ν(X + ct)
2. ν(X - ct)

ν(ct) = ν(X) = Ψ(X) - Ψ(ct)

• se X_α, X_β ∈ [0,l] come prec. viso
• u(x,t) = ½ (u₀(x-ct) + u₀(x+ct)) + &frac1c ∫x+ctx-ctu₁(ξ)dξ

Stabilitá:

utt - c²uxx = φ

Coercività

a > 0 t.c. ∀u ∈ H¹

a(u,u) = ∫_Ω (1 + x) u² dx = ∫_Ω u² + x u² dx

a(u,u) = ‖u‖² + ‖√(1 + x) u‖² ≥ ‖u‖²

α = min{u min, l min}

k=int (1 + x) u² ≥ min_{xε[0, 1]} (1 + x) ‖u‖²_L²

(1 + x) ‖u‖²_L² ||u‖²

19

Formulazione variabile per f = div (K(x) ∇u) = f in Ω u = 0 su ∂Ω

in t.in

∫_Ω div ou w = f∫_Ω w = f

∫_Ω K(x) ∇u ∇v = ∫_Ω f v ∀u ∈ H^1₀(Ω)

Fornire a condizioni su dati perché posso applicare Lax-Milgram:

• V_tot = V_total = H¹(Ω)
• ℓ(u) = ∫_Ω f v = lineare perché operatore integrabile, e continuo?
• ε = {L(s)²(2) ≤ ‖∫_Ω u‖²_H¹ ≤ ‖f‖^21+ε_H¹
• H¹ C_ε = ‖f‖²_L²‖u‖²

L²(0,1) := {u: (0,1) → ℝ t.c. ∫₀¹ u² dx < +∞} quadrato – integ. secondo Lebesgue

H¹(0,1) := {u: (0,1) → ℝ t.c. ∫₀¹ u² dx < +∞ ∧ ∫₀¹ (∇u)² dx < +∞} "

L^∞ := {u: (0,1) → ℝ t.c. ∇u ∈ (L²(0,1))²}

appartengono amiche a L² e H¹ su (0,1)

è dimostrato che

- x ∈ E(L¹(0,1)) per s ≥ -1

- x ∈ E(L²(0,1)) per s ≥ -1/2

- x ∈ E(H¹(0,1)) per s ≥ 1/2

(26) metodo delle diff. finite per problemi ellittici in una variabile: -u''(x) = f(x)

u: [a,b] → ℝ

u(a) = u(b) = 0 X ∈ [a,b]

x₁ x₂ x₃ x_N-1 x_N

h = b-a/N bx = ah

suddivido l’intervallo [0,1] in N sottointervalli di lunghezza h_i = b-a/N > 0

su ciascuno di tali intervalli è possibile approssimare in derivata come

u''(x_i) ≈ (u(x_i+h) - 2u(x_i) + u(x_i-h))/h²

- (h²/12)μ(z_i), xi – h < zi < x: x + h

sostituendo

- (u(x_i+h) - 2u(x_i) - u(x_i-h))/h² ≈ f(x_i) + E_i(hⁱ) errore di approx.

esprimendo -u_i-1 + 2u_i - u_i+1 = f(x_i) con i = 1,2 ... N-1

M_i ≈ M(x_i) = u(a) = 0

MN ≈ M(x_N) = u(b) = 0

estendendo h_o

AU_h = F_h dove

U_h = (u₁, u₂, ..., u_N-1)^T

F_h = (f(x₁), f(x₂)... f(x_N-1))^T

A = 1/h² × ^{2 -4 0 0 0}

_{-1 2 -1 0 0}

_{0 -1 2 -1 0}

_{0 0 -1 2 -1} 0

_{... ... ... ... ...} -1 2

-12

triangolare simmetrica definita positiva

UNICITA'

→ il sistema ha una sola soluzione grazie alla proprietà di A

STABILITA'

→ ∃ C > 0 t.c. ||u_eh|| ≤ C||E_h||?

||U_h|| ≈ ||A^-1E_h|| ≤ ||A^-1|| ||E_h||

usando la norma della matrice ||A|| ≈ ||A'|| ≈ max ∑^N ai_j

&i = 1

→ si può dimostrare che ||A^-1||_∞ = 1/8 indipendentemente da hⁱ!

cioè il problema è stabile per C = 1/8