Appunti presi di Complementi di matematica

○​ Prodotto per uno scalare.

○​ Trasposizione di una matrice.

○​ Calcolo del determinante e sue proprietà.

Il determinante di una matrice quadrata misura alcune proprietà geometriche e

algebriche della trasformazione lineare associata. Una matrice è invertibile se e solo

se il suo determinante è diverso da zero.

L'inversa di una matrice può essere calcolata con il metodo di Gauss-Jordan o

attraverso la formula della matrice aggiunta.

1.3 Sistemi Lineari

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni della forma:

dove è una matrice dei coefficienti, è il vettore delle incognite e è il vettore dei termini

noti.

Il teorema di Rouché-Capelli stabilisce che un sistema è compatibile (ammette

soluzioni) se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della

matrice aumentata.

Il metodo di eliminazione di Gauss è una tecnica per risolvere i sistemi riducendo la

matrice a forma triangolare.

Il teorema di Cramer fornisce una formula esplicita per la soluzione di un sistema

lineare quadrato utilizzando i determinanti.

Capitolo 2: Analisi Matematica

2.1 Funzioni e Limiti

Una funzione è una relazione che associa a ogni elemento di un insieme di partenza

un unico elemento di un insieme di arrivo.

Il limite di una funzione è il valore che la funzione assume in prossimità di un punto.

Alcuni teoremi fondamentali sono:

●​ Teorema di unicità del limite.

●​ Teorema del confronto.

●​ Limiti notevoli.

Una funzione è continua in un punto se il suo limite in quel punto coincide con il

valore della funzione stessa.

2.2 Derivate e Studio delle Funzioni

La derivata di una funzione rappresenta la velocità di variazione istantanea della

funzione.

●​ Regole di derivazione:

○​ Derivata della somma, prodotto e quoziente.

○​ Regola della catena.

●​ La derivata permette di determinare:

○​ Massimi e minimi locali.

○​ Concavità e flessi.

Il teorema di Fermat afferma che i punti critici di una funzione sono quelli in cui la

derivata prima si annulla.

2.3 Integrali

Gli integrali definiti calcolano l'area sotto una curva. Il teorema fondamentale del

calcolo collega il concetto di derivata e integrale.

Metodi di integrazione:

●​ Per parti.

●​ Per sostituzione.

●​ Integrali impropri.

Capitolo 3: Geometria Analitica

3.1 Rette e Piani

Le equazioni della retta in forma parametrica e cartesiana permettono di descrivere i

punti della retta nello spazio.

La distanza tra un punto e una retta è un'importante formula per la geometria

analitica.

3.2 Coniche e Quadriche

Le coniche sono curve definite da equazioni di secondo grado.

●​ Parabola.

●​ Ellisse.

●​ Iperbole.

Capitolo 4: Calcolo Combinatorio e

Probabilità

4.1 Principi di Combinatoria

Strumenti fondamentali per il conteggio:

●​ Permutazioni.

●​ Disposizioni.

●​ Combinazioni.

4.2 Probabilità

La probabilità misura il grado di certezza di un evento:

●​ Probabilità classica.

●​ Probabilità condizionata.

●​ Teorema di Bayes.

Distribuzioni più comuni:

●​ Binomiale.

●​ Normale.

●​ Poisson.

Capitolo 5: Equazioni Differenziali

5.1 Equazioni Differenziali Ordinarie

Le equazioni differenziali descrivono fenomeni fisici come la crescita esponenziale e

l'oscillazione armonica.

Metodi di risoluzione:

●​ Variabili separabili.

●​ Equazioni lineari del primo ordine.

5.2 Applicazioni delle Equazioni Differenziali

●​ Modelli di crescita e decadimento.

●​ Oscillazioni armoniche.