Domanda Orale (Scritto) Meccanica dei fluidi

9. Fare riferimento ai "continuità" e casi particolari

10. Analisi differenziale per equine di continuità (metodo fisico)

"Indeterminata": equ.ne valida in ogni punto dello spazio;

"Di continuità": campo delle grandezze coinvolte sono derivabili almeno una volta, e quindi continui.

Due modi per ricavarla: analitico, fisico

Metodo analitico:

Partendo dall'equ.ne globale di bilancio della massa per un volume di controllo, al termine di flusso si può applicare il teorema della divergenza:

⋯+∫ div(ρ) dv=0

Da cui ⋯+∫ div(ρ) dv=0

La funzione integranda è identicamente nulla in ogni punto dello spazio, cioè: ⋯ + div(ρ)=0 *eq.ne indeterminata di continuità* scritta in "forma di divergenza", cioè secondo una formulazione "conservativa".

Essa rappresenta la condizione necessaria e sufficiente affinché il moto di un fluido abbia luogo in modo che venga conservata la massa di ogni elemento materiale.

Eq.ne "non conservativa": ⋯+ ρdiv()=0

10) Metodo fisico:

⋯dy dz [(ρv_x + ⋯)dy dz]

Tasso di variazione nel tempo della massa all'interno di questo volumetto infinitesimo:

⋯ dv

Portata massica netta entrante attraverso le due facce ⊥ all'asse x :

⋯

Se si procede analogamente lungo le altre due direzioni e si introducono i termini nel bilancio di massa:

⋯+ div(ρ) =0 (come prima)

Casi particolari:

• Moto stazionario (o permanente)∂ρ/∂t = 0 → div (ρv) = 0Campo vettoriale ρv “indivergente” o “solenoidale”
• Moto incomprimibile (densità costante)div (v) = 0Campo della velocità solenoidale emoto isocoro; campo della velocità a divergenza nulla
• Fluido in quiete (v=0)∂ρ/∂t = 0Campo della densità stazionario

14. Si derivi l’equ.ne indefinita della statica e se ne discutano le conseguenze per un fluido incomprimibile soggetto a gravità.

"EQ.NE INDEFINITA DELLA STATICA": EQ.NE CHE RAPPRESENTA LA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO MECCANICO LOCALE PER UN FLUIDO.

SI OTTIENE PER VIA ANALITICA DALL'EQ.NE INDEFINITA DEL MOTO DI CAUCHY IMPONENDO v=0 E CONSIDERANDO ISOTROPO IL TENSORE DEGLI SFORZI; SI HA:

∇F = div (&Pit;) DA CUI:

∇F = grad

A TALE RISULTATO SI PU TREVENIRE ANCHE PER VIA FISICA IMPONENDO L’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI DEL PRISMETTO INFINITESIMO DI FLUIDO:

CIO’ NE CHIARISCE CHE LA PRESSIONE STATICA DEL FLUIDO DIPENDE DALLE FORZE DI MASSA AGENTI E DALLA DENSITÀ DEL FLUIDO. INOLTRE STABILISCE CHE, AFFINCHÉ UN FLUIDO SIA IN QUIETE, IL CAMPO DELLE FORZE DI MASSA PER UNITÀ DI VOLUME ∇F DEVE NECESSARIAMENTE ESSERE "CONSERVATIVO".

IN UN FLUIDO IN QUIETE SOGGETTO AD UN CAMPO DI FORZE SPECIFICHE DI MASSA CONSERVATIVO, LE SUP. EQUIPOTENZIALI, ISOBARE, ISOPICNOTICHE E ISOTERME COINCIDONO TRA LORO.

L'EQ. NE DI EULERO PUÒ ESSERE OTTENUTA ANCHE PER VIA FISICA SFRUTTANDO GLI STRUMENTI DELL'ANALISI DIFFERENZIALE. BASTA APPLICARE LA SECONDA LEGGE DI NEWTON AD UN SISTEMA MATERIALE INFINITESIMO DI FLUIDO

PVdyDz − [P + ∂P/∂x ∝ dx] Qydz = − ∂P/∂X dV

IN MANIERA ANALOGA LUNGO LE ALTRE DUE DIREZIONI. PER LA II LEGGE DI NEWTON:

∫ _DV / _DE dV = ∫ dF

PROIETTANDO IN X E SVILUPPANDO: ∫ Duy/dex = ∂∂FX

SI CONCLUDE CHE ∫ _DV / _DE = ∫ F − gradP

LIMITAZIONI DEL MODELLO DI FLUIDO IDEALE:

• IL MODELLO NON PUÒ ESSERE UTILIZZATO IN PROSSIMITÀ DELLE PARETI SOLIDE.
• POTREBBE ESSERE NECESSARIO UTILIZZARE MODELLI DI DIFFERENTE COMPLESSITÀ IN REGIONI DISTINTE DEL DOMINIO DI MOTO ESAMINATO;
• IL MODELLO RISULTA UTILE QUANDO LE PULSAZIONI ENERGETICHE SONO TRASCURABILI;
• PUÒ ESSERE IMPOSTA UNA SOLA CONDIZIONE AL CONTORNO: L'IMPERMEABILE RIZZETTEZZA;
• LA CONDIZIONE DI ADERENZA DEL FLUIDO ALLE SUP. SOLIDE;
• LO SCHEMA DI FLUIDO IDEALE NON CONSENTE L'INDIVIDUAZIONE UNIVOCA DEL MOTO SULLA BASE DELLE CONDIZIONI AL CONTORNO ASSEGNATE E NON È IN GRADO DI RIPRODURRE LA FORZA DI RESISTENZA AERODINAMICA CHE SPERIMENTA UN CORPO CHE SI MUOVA IN UN MET. A FLUIDO.

2. Sistema materiale e volume di controllo

Adottando l'approccio lagrangiano si segue il moto di una quantità fissa e identificabile di massa che identifica un "sistema materiale" o "sistema chiuso".

Proprietà fondamentale del sistema: esso è identificato da una superficie chiusa di contorno e non scambia massa con l'esterno.

Esempio: sistema cilindro-pistone

Nell'ambito della metodologia euleriana, si introduce il concetto di "volume di controllo" o "sistema aperto": regione di spazio di dimensioni finite che può scambiare massa con l'esterno.

La scelta del volume di controllo è arbitraria.

La superficie di controllo può essere:

• fissa
• mobile e indeformabile
• mobile e deformabile

8 Principio di conservazione della massa. Fanno esempio di bilanciodella massa per un VDC. Esempio

Il primo principio di base della meccanica dei fluidi è il"principio di conservazione della massa".

Massa associata alla porzione di fluido che occupa laregione spaziale V(t) all'istante t:

m = ∫_v(t) ρ dV , ρ : densità.

"La massa associata ad un sistema materiale è costante nel tempo".

L'enunciato di tale principio si esprime in termini analitici mediante"equazione cardinale di conservazione della massa":

dMdt = Φ (natura Lagrangiana).

La formulazione Euleriana di questo principio, valida cioè per unVDC, applicando il Teorema di Reynolds (in cui B=M, b=1) è:

∂∫ ρ dV = ∫_s ρ(vr·n) dA eq. ne globale di bilancio∂tdella massa per un VDC.

In termini più sintetici:

∂M_vc∂t = Q_in - Q_out;

Q_in = ∫_in ρ(vr·n) dA portata massicaentranteQ_out = ∫_out ρ(vr·n) dA uscente

"Il tasso di variazione della massa contenuta in un volume dicontrollo eguaglia istante per istante la differenza tra la portatamassica in ingresso e la portata massica in uscita attraverso lafrontiera del volume di controllo".

Esempio: Moto incomprimibile e stazionario in un convergenteLa continuità della portata volumetrica lungo il condotto comportache le velocità medie nelle varie sezioni lungo il dispositivo sianoinversamente proporzionali all'area della sezione.

1. Descrizione euleriana del moto e differenza con quella lagrangiana.

L'approccio euleriano si basa sull'idea di analizzare il moto in una posizione spaziale fissata, moto di un fluido descritto facendo uso di grandezze di campo:

F = F(x,t)

Approccio piú semplice ed in generale piú utile di quello lagrangiano, che si basa sull'idea di seguire le particelle fluide nel loro moto:

F = F(X,t)

Tuttavia le eq.ni di base della meccanica sono intrinsecamente lagrangiane.

18. Spinta di Archimede ed equilibrio di un corpo completamente immerso in un fluido

Si consideri un corpo solido in equilibrio completamente circondato da un fluido incomprimibile in quiete nel campo della gravità.

Allo scopo di determinare la sollecitazione risultante esercitata dal fluido sulla superficie, si può procedere astra-tamente immaginando di rimuovere il corpo e di riempire la cavità generata con lo stesso, fluido circostante.

Ad occupare il volume di ingombro del corpo solido (detto volume di carena) si ha un sistema costituito da un fluido in quiete con lo stesso peso specifico di quello circostante.

Le due situazioni risultano del tutto equivalenti dal punto di vista della distribuzione della pressione sulla superficie chiusa.

La spinta totale esercitata dal fluido esterno sulla frontiera del sistema è opposta al peso proprio dello stesso, pre-sentando queste due forze la stessa retta di azione.

La spinta generata dal fluido esterno sulla sup. chiusa è un'azione verticale verso l'alto, il modulo pari al "peso del fluido spostato" e avente retta d'azione passante per il baricentro del volume di carena (centro di carena): principio di Archimede.

La spinta di Archimede viene detta anche spinta di sollevamento o di galleggiamento.

In generale, il baricentro del corpo solido immerso (a cui è applicato il peso proprio del corpo) non coincide con il centro di carena.