Domanda Orale (Scritto) Meccanica dei fluidi

9. Fare l'identificazione di "continuità" e casi particolari

10. Analisi alternativa per ogni eq.ne di continuità (metodo fisico)

"Indefinita" eq.ne valida in ogni punto dello spazio;

"di continuità": i campi delle grandezze coinvolte sono derivabili almeno una volta, e quindi continui.

Due modi per ricavarla: _{analitico fisico}

Metodo analitico:

Partendo dall' eq.ne globale di bilancio della massa per un volume di controllo, al termine di flusso si può applicare il teorema della divergenza:

\(\int_V \frac{\partial \Phi}{\partial t} \, dV + \int_V \text{div}(\rho \mathbf{v}) \, dv = 0\)

Da cui

\(\int_V \left[ \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) \right] \, dv = 0\)

La funzione integranda è identicamente nulla in ogni punto dello spazio, ossè:

\(\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \text{div} (\rho \mathbf{v}) = \Phi\)

Essa rappresenta la condizione necessaria e sufficiente affinchè il moto di un fluido avvii lungo in modo che venga conservata la massa di ogni elemento materiale.

Eq.ne "non conservativa":

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \text{div} (\rho \mathbf{v}) = \Phi\)

Metodo fisico:

Tasso di variazione nel tempo della massa all'interno di questo volumetto infinitesimo:

\(\left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \, dv\)

Portata massica netta entrante attraverso le due facce ⊥ all'asse x:

Se si procede analogamente lungo le altre due direzioni e si introducono i termini nel bilancio di massa:

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div} (\rho \mathbf{v}) = \Phi\) (come prima)

9. Fare l'identificazione di continuità e casi particolari

• Analisi alternativa per equazione di continuità (metodo fisico)
• "Indefinita" eq.ne valida in ogni punto dello spazio;
• "Di continuità": i campi delle grandezze coinvolte sono derivabili almeno una volta, e quindi continui.

Due modi per ricavarla: analitico, fisico

Metodo analitico:

Partendo dall'eq.ne globale di bilancio della massa per un volume di controllo, al termine di flusso si può applicare il teorema della divergenza:

∫_V ^∂/_∂t dv + ∫ div(ρv) dv = φda cui∫_V [^∂ρ/_∂t + div(ρv)] dv = φ

La funzione integranda è identicamente nulla in ogni punto dello spazio, cioè:

^∂ρ/_∂t + div(ρv) = φ

"Eq.ne inderivata di continuità" scritta in "forma di divergenza", cioè secondo una formulazione conservativa.

Essa rappresenta la condizione necessaria e sufficiente affinché il moto di un fluido avvii lungo in modo che venga conservata la massa di ogni elemento materiale.

Eq.ne "Non conservativa": ^∂ρ/_∂t + ρdiv(v) = φ

(10) Metodo fisico:

Tasso d'incremento nel tempo della massa all'interno di questo volumetto infinitesimo:

(^∂ρ/_∂t) dv

Portata massica netta entrante attraverso le due facce ⊥ all'asse x:

ρu dy dz - [ρu dy dz + ^∂/(_∂x) dx + o(o²)) dy dz] = ^∂ρ/_∂t dv.

Se si procede analogamente lungo le altre due direzioni e si introducono i termini nel bilancio di massa:

^∂ρ/_∂t + div(ρv) = φ (come prima)

Casi particolari:

• Moto stazionario (o permanente)

^∂ρ/_∂t=φ

div (ρv)=φ

• Campo vettoriale ρv "indivergente" o "solenoidale"

• Moto incomprimibile (densità costante)

div (v)=φ

• Campo della velocità solenoidale e moto isocoro; campo della velocità a divergenza nulla

• Fluido in quiete (v=0)

^∂ρ/_∂t=φ

Campo della densità stazionario

11. Teorema di Cauchy e tensore degli sforzi

Applichiamo il principio della quantità di moto ad un elemento di fluido di volume infinitesimo avente forma tetraedrica: "Tetraedro di Cauchy".

D/Dt ∫_V ϱv dv = ∫_V ϱ Dv/Dt dv

Quindi la I eq.ne cardinale della dinamica può essere riscritta:

∫_V ϱ Dv/Dt dv = ∫_V ϱ f dv + ∫_S σ dA

Per V→0 gli integrali di volume risultano infinitesimi di ordine superiore rispetto all'integrale di superficie.

Per il tetraedro di Cauchy:

σ_(n) dAn + σ_(i) dAx + σ_(j) dAy + σ_(k) dAz = ϕ

Per la III legge della dinamica: σ_(n) = -σ_(-n)

→ σ_(n) dAn = σ_(i) dAx + σ_(j) dAy + σ_(k) dAz

dAx = dAn (n⋅i) = dAn⋅nx ...

L’ eq.ne dive