Distribuzioni in generale gaussiana poissoniana uniforme cauchy binomiale

PROBABILITA'

• Spazio degli eventi o spazio campionario = l'insieme di tutti i possibili risultati delle misure (S)
• Evento elementare = ogni singolo risultato
• Evento ⊆ S

FENOMENI ALEATORI :

Ripetibili N volte e imprevedibili singolarmente ma che un modello prevedibile e regolare a lungo termine.

La variabile casuale può assumere i valori che si possono verificare in un evento.

Sono dette discrete se assumono un insieme numerabile di valori (dado, moneta etc).

Sono dette continue se assumono un insieme non numerabile di valori.

Il nostro problema è definire la probabilità che la variabile continua o aleatoria assuma un determinato valore → si crea una distribuzione di probabilità.

DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITÀ :

Rapporto tra eventi favorevoli e numero totale di casi possibili.

Però questa def. tiene conto che tutti i risultati sono equiprobabili.

Probabilità

• Spazio degli eventi o spazio campionario = l'insieme di tutti i possibili risultati delle misure (S)
• Evento elementare = ogni singolo risultato
• Evento ⊆ S

Fenomeni aleatori

Ripetibili N volte e imprevedibili singolarmente ma c'è un modello prevedibile e regolare a lungo termine.

La variabile casuale può assumere i valori che si possono verificare in un evento:

• Sono dette discrete se assumono un insieme numerabile di valori (dado, moneta etc)
• Sono dette continue se assumono un insieme non numerabile di valori

Il nostro problema è definire la probabilità che la variabile continua o aleatoria assuma un determinato valore → si crea una distribuzione di probabilità.

Definizione classica di probabilità

Rapporto tra eventi favorevoli e numero totale di casi possibili.

Però questa definizione tiene conto che tutti i risultati sono equiprobabili.

Def. empirica di probabilità:

è la freq. rel. dopo un numero elevato di esperimenti.

P(E) = lim_N→∞ F(E) = lim_N→∞ n/N

Def. assiomatica di probabilità:

P(A) = prop. di A definito su S (A ⊆ S) soddisfa:

• i) ∀A ⊆ S → P(A) ≥ 0
• ii) P(S) = 1
• iii) ∀A, B ⊆ S e A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

eventi disgiunti o mutuamente esclusivi

P(S) = P(A ∪ Ā) → P(Ā) = 1 - P(A)

P(A ∪ ∅) = P(A)

se A ∩ B ≠ ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Quindi in generale: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

Eventi indipendenti

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

2 eventi disgiunti non sono mai indipendenti. Testa e croce sono disgiunti perché si escludono a vicenda e non sono indipendenti perché l'uno condiziona l'altro. Mentre il primo lancio è indipendente dal secondo perché in nessun

modo il risultato del primo lancio pregiudica il secondo.

Probabilità condizionata:

Se A e B sono dipendenti, la prob. di A è influenzata dalla prob di B

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

A posteriori a priori

La prob. che si verifichi A dato l'evento B

Se A e B sono indipendenti:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A) P(B) / P(B) = P(A)

Teorema di Bayes:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

P(B|A) P(A) = P(A|B) P(B)

Abbiamo una serie di eventi B_i disgiunti ∀ i ≠ j : B_i ∩ B_j = ∅ ∪_i B_i = S

P(A) = Σ P(A|B_i) P(B_i)

⇒

P(B_i|A) = P(A|B_i) P(B_i) / Σ P(A|B_j) P(B_j)

Immaginiamo che A sia un dato osservato e B la nostra ipotesi:

P(B|A) = la prob. che l'ipotesi sia giusta

P(B) = la prob. che associamo all'ipotesi senza conoscere i dati

P(A|B) = la prob. di ottenere il dato A assumendo l'ipotesi.

Distribuzioni di probabilità:

• La variabile aleatoria K può assumere valori discreti o continui
• Ogni K ha la sua P(K)
• P(K) ≥ 0
• L'insieme delle probabilità di tutti i valori di K è uno.

Caratteristiche di una distrib. di prob. discreta

Σ_i=1^N P(K_i) = 1   o   Σ_i=1^R F_i = 1

Valore di aspettazione:

È il valore che ci aspettiamo di ottenere + probabilmente per K

<K> = _i=1^N∑ K_i P(K_i)

È la somma di ogni valore moltip. per la sua prob.

È analogo alla media per una distrib. di dati.

Si denota o con <K> o con E(K)

Momento di ordine n rispetto al valore A:

_i=1^N∑ (K_i-A)ⁿ P(K_i)

È la sommatoria delle probabilità di un valore K moltiplicata per la potenza n-esima dello