Distribuzioni in generale gaussiana poissoniana uniforme cauchy binomiale

Probabilità

• Spazio degli eventi o spazio campionario = l'insieme di tutti i possibili risultati delle misure (S)
• Evento elementare = ogni singolo risultato
• Evento ⊆ S

Fenomeni aleatori

Ripetibili N volte e imprevedibili singolarmente ma c'è un modello prevedibile e regolare a lungo termine.

La variabile casuale può assumere i valori che si possono verificare in un evento.

• Sono dette discrete se assumono un insieme numerabile di valori (dado, moneta etc)
• Sono dette continue se assumono un insieme non numerabile di valori

Il nostro problema è definire la probabilità che la variabile continua o aleatoria assuma un determinato valore → si crea una distribuzione di probabilità.

Definizione classica di probabilità

Rapporto tra eventi favorevoli e numero totale di casi possibili. Però questa def tiene conto che tutti i risultati sono equiprobabili.

Def. Empirica di Probabilità:

È la perc. racc. dopo un numero elevato di esperimenti.

P(E) = lim_N→∞ f(E) = lim_N→∞ n/N

Def. Assiomatica di Probabilità:

P(A) = prop. di A definito su S (A ⊆ S) soddisfa:

1. ∀ A ⊆ S → P(A) ≥ 0
2. P(S) = 1
3. ∀ A, B ⊆ S e A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(Eventi disgiunti o mutuamente esclusivi)

P(S) = P(A ∪ Ā) → P(Ā) = 1 - P(A)

P(A ∪ ∅) = P(A)

Se A ∩ B ≠ ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Quindi in generale: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

Eventi Indipendenti

P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)

2 eventi disgiunti non sono mai indipendenti. Testa e croce sono disgiunti perché si escludono a vicenda e non sono indipendenti perché l'uno condiziona l'altro. Mettere il primo lancio è indipendente dal secondo perché in nessun

INVECE CONSIDERIAMO IL MOMENTO CENTRALE DI DIVERSI ORDINI:

DI ORDINE 1:

m₁ = _i=1ⁿ ∑ (K_i - <K>) P(K_i) = _i=1ⁿ ∑ K_i P(K_i) - ∑ <K> P(K_i)

= <K> - <K> ∑ P(K_i) = 0

PER LA COND. DI NORMA. VALE 1

DI ORDINE 2:

m₂ = _i=1ⁿ ∑ (K_i - <K>)² P(K_i) =

= _i=1ⁿ ∑ K_i² P(K_i) - ∑ 2K_i <K> P(K_i) + ∑ <K>² P(K_i)

= <K²> - 2 <K> _i=1ⁿ ∑ K_i P(K_i) + <K>² ∑ P(K_i)

= <K²> - 2 <K>² + <K>² = <K²> - <K>²

IL MOMENTO CENTRALE DI ORDINE 2 È LA VARIANZA DELLA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ

Distribuzione Gaussiana o Normale

G_μ,σ(x) = ¹/_σ√2π e^{-(x-μ)2/_2σ2}

Si incontra facilmente nel mondo reale, descrive gli errori casuali nelle misure esperim. Per n molto elevato, molte distrib. tendono alla gaussiana (teor. centrale nel limite)

x = variabile aleatoria continua def. tra -∞ e +∞

μ = parametro che caratterizza la posizione della funzione

σ = parametro che caratterizza la larghezza della funzione

Proprietà:

• Il massimo si raggiunge per x=μ
• È simmetrica rispetto a x=μ (picco)
• Moda, media e mediana coincidono
• La skewness = 0
• La kurtosis = 0
• La sua "larghezza" è data da σ
• È asintotica all’asse x sia a dx che a sn.

Invece σ è il parametro caratteristico della gaussiana e corrisponde alla "larghezza"

Significato di M e σ:

I 2 parametri che determinano una gaussiana M e σ hanno un significato importante

M = è il valore di aspettazione

σ = è la varianza.

FWHM:

La Full Width at Half Maximum è un'altra misura della larghezza, molto usata da noi astronomi

Prendiamo una gaussiana con M = 0

G(x̂) = 1/2 G(0) = 1/2σ√2π e^-x̂2/2σ2 = 1/2σ√2π →

F.W.H.M = 2x̂ dove x̂ è il valore dove G va la metà del picco

G(x̂) = 1/2 G(0) → 1/σ√2π e^-x̂2/2σ2 = 1/2σ√2π →

e^-x̂2/2σ2 = 1/2 → -x̂²/2σ² = ln(1/2) → x̂ = σ√2 ln 2

FWHM = 2·x̂ ≈ 2.354σ

Se abbiamo m oggetti allora abbiamo:

• m modi differenti di selezionare il primo oggetto
• m-1 modi per il secondo
• ...
• m-K+1 modi per il K-esimo oggetto

D_m,K = m × (m-1) × (m-2) × ... × (m-K+1)

D_m,K = ^m!/_(m-K)!

Nelle disposizioni l'ordine è importante: AB è diverso da BA.

Permutazioni:

P_m = numero di modi di ordinare m oggetti differenti

P_m = D_m,m = ^m!/_(m-m)! = ^m!/_0! = m!

Formula di Stirling:

Utile per calcolare approssimando il fattoriale:

n! ≈ nⁿe⁻ⁿ√2πn

Più n è alto e meno si commette errore.

Combinazioni:

Numero di modi differenti di combinare m oggetti in classi di K oggetti senza tenere conto dell'ordine.

All'aumentare del parametro m, la distribuzione binomiale tende asintoticamente alla distrib. normale.

Aumentando il numero di tentativi:

B_m,p(K) _m→∞ → G_μ,σ(x) con μ = mp var. aleat. continua var. aleat. discreta σ = √mpq

Al crescere di α, P(K) diventa + simmetrica e "a campana" esattamente come la binomiale all'aumentare di N, con p fisato

Kurtosis della distrib. di Poisson

m⁴ / σ⁴ - 3 = 1 / α

All'aumentare del parametro α la distrib. di Poisson tende asintoticamente alla gaussiana

P_α(K)    α→∞    G(μ,σ)(x)

var. aleat.discreta

var. aleat.continua

Per α → ∞ la poissoniana tende a una gaussiana con μ = N e σ = √N