Disegno - Proiezioni Quotate

P

C h α3

r α2

r' u

α1

3'

i

2' π

1'

T'r 0,00 r'

4 r'

6

3 5

4

2 3

i i

2

1 1

Tr 0,00

Tr 0,00

La distanza tra le proiezioni di due punti successivi della retta è chiamata intervallo della retta e si

indica con la lettera i; maggiore è l’intervallo i, tra due punti successivi, minore è la pendenza

della retta r rispetto al piano π. 105

ϕ angolo formato dalla retta r con il piano π, si chiama inclinazione della retta; la tangente

L’angolo ,

ϕ si chiama pendenza della retta e si indica con la lettera p, pertanto:

di ϕ ϕ ϕ

p = tang = sen / cos = u / i r

C ∞ 3

r

3 2 r'

2 u

1 i i 3'

1

u

ϕ r'

3'

1' 2'

T'r 0,00 π

2'

ϕ 1'

T'r 0,00

Per poter conoscere la quota di uno qualunque dei punti della retta, o per segnare sulla retta un

punto di quota prestabilita, si ribalta il piano proiettante, individuato dalla retta r e dalla sua

proiezione r’ incidenti in Tr0, sul piano di riferimento π. Per effettuare graficamente tale

ribaltamento è sufficiente tracciare dei segmenti, perpendicolari alla proiezione della retta, di

lunghezza pari alla quota del punto da cui sono tracciati; unendo gli estremi di tali segmenti si

individua il ribaltamento della retta. La distanza di due punti è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo

che ha per cateti la distanza orizzontale i e la differenza di quota u. r

C∞

r'

3'

2' r'

1' u

T'r 0,00 3'

(1) (r)

(2) 2'

(3) (r)

π 1'

r' (3)

3'

P' 2,45 (2)

2' (1)

2,4 T'r 0,00

5

1'

T'r 0,00 (1) (r)

(2) (3) 106

Un punto P appartiene ad una retta r se P’ appartiene ad r’ e se la sua quota coincide con

quella della retta in quel punto. r'

3'

P' 2,45

2' 2,4

5

1'

T'r 0,00 (1) (2) (r)

(P) (3)

Rappresentazione di rette incidenti o complanari e rette parallele

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette r ed s siano complanari è che le

congiungenti due coppie di punti di uguale quota siano parallele.

Rette incidenti hanno le loro immagini graduate incidenti in un punto, la cui quota è

congruente con la quota delle due rette in quel punto, e le congiungenti punti di ugual quota

parallele.

Rette parallele hanno immagini graduate parallele, intervalli uguali e gradazioni crescenti

nello stesso senso; inoltre, congiungendo i loro punti di ugual quota si ottengono ancora rette

parallele. r'

T'r 0

1' r' s'

2'

3' P 2,45 2'

3' 4'

(1) 4'

1' 3' 3'

T's 0

(r) s' 2' 2'

2,4 1'

(2)

5 1'

T'r 0 T's 0

(P)

(3) 107

Rappresentazione di piani.

α

Un piano è individuato dalla sua traccia (retta intersezione del piano stesso con il piano

π di riferimento) e da una serie di rette, parallele a questa, ottenute sezionando il piano con una serie

di piani orizzontali, paralleli a π, ed equidistanti tra loro dell’unità di misura u. Queste rette (luogo

geometrico di punti aventi la stessa quota) sono dette linee di livello.

∞

C 3 α 3 6

α 2

2 5

u

α 1 4

1 3

π 2

3

2 1

t'

1 α

α

t' 0 0

π

Rappresentazione sul piano α

Dicesi retta di massima pendenza, o retta di pendio del piano, la retta del piano che forma

con il piano di riferimento π l’angolo di maggiore apertura, ovvero qualunque retta perpendicolare

.

a tutte le rette orizzontali del piano ed in particolare alla traccia t’α

La retta di massima pendenza si rappresenta con una doppia linea graduata che prende

anche nome di scala di pendenza del piano.

h

C 3 α 3 6

6

α 2

2 5

5

u

α 4

1 4

1 3

3

π 2

2

3 1

2 1

t'

1 t'

α

t'

α α

0 0 0

π π

Rappresentazione

Rappresentazione

sul piano

sul piano

108

β

Un piano orizzontale, parallelo a π, costituisce un caso particolare poiché, avendo tutti i

punti di ugual quota, è sufficiente un punto per rappresentarlo.

Un piano proiettante, cioè perpendicolare al piano di riferimeto π, è rappresentato

δ .

unicamente dalla sua traccia t’

β 3,70 δ

t 0

Condizioni di appartenenza punto - piano e retta - piano

α

Affinchè un punto P appartenga ad un piano generico occorre e basta che esso appartenga

α

alla retta orizzontale di che ha quota uguale alla quota del punto P. α

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta r appartenga ad un piano è che

α

ogni punto P di r stia sulla orizzontale di che ha la quota di P.

Due rette incidenti individuano un piano, pertanto; è sufficiente unire le due tracce Tr e Ts

delle rette per ottenere la traccia tα del piano. Le rette orizzontali del piano (parallele alla traccia

e di quota intera) passano per i punti di ugual quota delle due rette. s' r'

1,0

0,6 0

5

P 4,65

r' 4

6 3

5 6

4 2

3 5

2 1

1

Tr0 T'r0

4

3

2 T's0 t' α 0

1

t' α 0 109

Condizione di parallelismo tra piani α β

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due piani e siano paralleli è che abbiano

scale di pendenza o rette di massima pendenza parallele, gli intervalli uguali e le gradazioni

crescenti nello stesso senso. 6

5

6 4

5 3

4 2

3 1

2 t' β 0

1

t' α 0

α β

I piani e (quest’ultimo individuato dalla sua retta di massima pendenza) sono paralleli

Condizioni di perpendicolarità retta - piano α

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un piano ed una retta r, in posizione generica,

siano perpendicolari tra loro è che siano soddisfatte le seguenti condizioni: α;

a) la proiezione r’ della retta sia parallela alla proiezione p’α della retta di pendio del piano

b) le gradazioni crescano in senso opposto;

c) l’intervallo ir della retta r e l’intervallo iα del piano siano uno il reciproco dell’altro.

α

i

1 ir

2,2 T'r0 6

4 1

2 5

2,24

P 3 4

4

5 3

2

r' 1

t' α 0

110

Retta intersezione tra due piani

I punti di intersezione delle rette orizzontali, di ugual quota, di due piani che si

intersecano, determinano la retta intersezione che ha la scala di pendenza nei punti di incidenza

delle varie rette orizzontali.

7 s'

6 r' 5

5

4 4

5 5

5

3

2 3

4 4

4

1 3 2

t' α 3

3

0 2 1 2

2 1 T's0 1

1 Tr0

β 0 δ

t'

t' 0

Convesso

Concavo

Se l’angolo tra le tracce dei piani è concavo si otterrà un displuvio, se convesso un compluvio.

Cenni su piano quotato e rappresentazione del terreno a curve di livello e loro applicazioni

in campo edilizio.

Si dice che una superficie è topografica, rispetto ad un piano di riferimento π, quando è

incontrata in un solo punto da ogni retta perpendicolare a π. Sono superfici topografiche i piani,

le semisfere, i coni rotondi (limitati ad una sola falda) e le superfici dei tetti.

La superficie da rappresentare è tagliata da una serie di piani orizzontali, paralleli al piano di

riferimento π, ed equidistanti tra loro dell’unità di misura. I piani tagliano la superficie secondo

una serie di linee i cui punti hanno ugual quota, tali linee prendono nome di isoipse o linee o

curve di livello. 111

In cartografia e in topografia il piano di riferimento π lo si considera al livello medio del

mare (convenzionalmente quota 0.00) e l’equidistanza delle curve di livello è scelta in modo

opportuno in base alla scala del disegno (convenzionalmente 1/1000 della scala). L’andamento

delle proiezioni sul piano π delle curve di livello è intuitivo e suggerisce l’idea della forma. Dove

le curve sono più ravvicinate, maggiore è la pendenza e viceversa.

Con le proiezioni

quotate è perciò possibile

rappresentare, in maniera

rigorosa, anche le superfici

non sviluppabili sul piano

quali, ad esempio, le

carene delle imbarcazioni

(disegno navale) o oggetti

complessi quali le sculture.

In topografia, quando la scala è grande, alla rappresentazione per curve di livello si

sostituisce la rappresentazione per piani quotati, ovvero si rappresentano, con le loro relative quote,

una serie di punti del terreno, punti che sono vertici di triangoli presi il più aderente possibile al

terreno da rappresentare. 9,50 11,35

5,00 7,77 9,26

4,50 10,40

6,45

3,21

Ogni triangolo rappresenta perciò un piano sul quale è possibile individuare le rette orizzontali di

quota intera, la retta di massima pendenza, per procedere poi a tutte le possibili operazioni

effettuabili con i piani. 112

1

Esercizio B 9,50

A 5,00

Dato un piano quotato individuato dal triangolo D

ABC, si voglia individuare la vera lunghezza del

segmento DE. E

Per prima cosa si individuano le rette orizzontali

del piano di quota intera. Bisogna, innanzitutto, C 7,00

individuare la scala di pendenza delle rette

passanti per i lati del triangolo; per fare questa

operazione si devono ribaltare le rette, passanti

per i vari lati, sul piano di riferimento.

Ribaltiamo la quota del punto B, essa è più alta

rispetto alla quota del punto A di 4,5 unità e di

2,5 rispetto al punto C. Costruiti i due ribal -

tamenti, si individuano le scale di pendenza sui

lati AB e BC. 6 8 9

7 B 9,50

A 5,00

Si uniscono i punti di ugual quota individuati sui 9

due lati del triangolo e si ottengono le rette D

orizzontali del piano individuato dal triangolo E

ABC. 8

C 7,00

6 8 9

7 B 9,50

A 5,00 D 9

E

8

C 7,00 113 6 8 9

7

Individuate le rette orizzontali si traccia la retta B 9,50

A 5,00

di massima pendenza del piano e si riferiscono

ad essa, tramite parallele alle rette orizzontali, 9

D

gli estremi DE del segmento E

8

C 7,00

Si ribalta quindi la retta di massima pend