Disegno - Proiezioni Assonometriche

Ribaltare gli assi sul piano π, risulta allora sufficientemente facile: basta disegnare tre

circonferenze che abbiano per diametri le tre tracce txy, txz, tyz. Durante il ribaltamento l’origine

O degli assi descrive un arco di cerchio che sta su un piano perpendicolare all’asse di ribaltamento.

π,

piano proietta, sulla sua traccia sul piano l’asse escluso dal ribaltamento, il cui

Tale

prolungamento incontrerà il ribaltamento della semicirconferenza in (O), ribaltamento sul piano di

riferimento dell’origine degli assi.

Se uniamo (O) con le rispettive tracce dei tre assi, otteniamo il ribaltamento degli assi

cartesiani. ∞

C O X

Z Tx

Y

Tz Z' X'

O' (X)

Y' (O)

π (Y)

Ty

90

C ∞ O X

Z Tx

Y

Tz Z' X'

O' (X)

Y'

(Z) (O)

π (Y)

(Y) Ty

(O)

Sugli assi così ribaltati, possiamo riportare il valore reale delle unità di lunghezza u e, infine,

proiettarle sui rispettivi assi, seguendo la direzione di proiezione individuata dalla direzione (O)

O’, ottenendo così, sui rispettivi assi le tre unità di misura assonometriche u’x, u’y, u’z.

C ∞ O

Uz Ux

Uy X

Z Tx

Y

Tz Z' X'

O'

U'z (X)

U'x

U'y Y'

(Z) (O)

π (Y)

(Y) Ty

(O) 91

Tz

(Z) (Z) (Uz) (O)

(Uz)

(O) Z'

(Ux) (Uy)

U'z (Y)

(X) U'y

U'x O' Y'

X'

Tx Ty

(X) (Y)

U'x = U'y (Ux) (Uy)

(O)

U'x = U'z

U'y = U'z

Per la posizione reciproca del piano di riferimento assonometrico π ed i tre assi cartesiani

x, y, z, il triangolo delle tracce può essere equilatero, isoscele o scaleno. Ovviamente queste diverse

condizioni fanno sì che le assonometrie ottenute, risulteranno diverse tra loro.

Se il triangolo è equilatero (vedi figura sopra), una volta eseguite tutte le operazioni

precedentemente descritte, otteniamo un’assonometria che avrà uguali valori angolari tra gli assi

assonometrici, tutti e tre uguali a 120° ed uguali tra loro le unità di misura assonometriche u’x, u’y,

u’z. Questa assonometria prende nome di assonometria ortogonale isometrica.

92

Se il triangolo è isoscele, solo due tra i valori angolari degli assi e due unità di misura

assonometriche risultano uguali tra loro mentre la terza è diversa. In questo caso l’assonometria è

definita ortogonale dimetrica. Tz Z' (Z)

(Z) (Uz)

(Uz) (O)

(O) U'z

(Ux) (Uy)

U'x U'y (Y)

(X) O'

X' Y'

U'x = U'y Tx Ty

U'x ≠ U'z (Y)

(Ux)

U'y ≠ U'z (Uy)

(X) (O)

Tz (Z)

(Z) (O)

(Uz)

Z' (Uy)

(Uz)

(O) U'z

(Ux) (Y)

U'y

U'x

(X) O' Y'

X' Ty

Tx

U'≠ U'y

U'≠ U'z

U'≠ U'z (Ux) (Y)

(X) (Uy) Nel terzo caso, infine, se il triangolo è

scaleno, gli angoli formati fra i tre assi e le tre

(O) unità di misura assonometriche risultano tutte

diverse e l’assonometria è definita ortogonale

trimetrica .

93

Le assonometrie ortogonali convenzionali (isometrica, dimetrica e trimetrica)

Per le assonometrie ortogonali sono stati stabiliti, per comodità e per convenzione, dei

valori standard con i quali è possibile disegnare le varie assonometrie senza ricorrere alla complessa

costruzione sopra riportata. I dati convenzionali comprendono: il valore degli angoli che i vari assi

formano tra di loro e il valore dell’unità di misura assonometrica valutata

assonometrici x’, y’, z’

sui vari assi assonometrici, u’x, u’y, u’z, come da tabella seguente.

Isometrica Dimetrica Trimetrica

x’ ^ y’ 120° 131° 30’ 157°

x’ ^ z’ 120° 131° 30’ 108°

y’ ^ z’ 120° 97° 95°

u’x 1 1/2 1/2

u’y° 1 1 9/10

u’z 1 1 1

Costruzione di un’assonometria ortogonale trimetrica di una sedia

Tz Ribaltati gli assi XYZ si disegnano il fianco e la

Z' pianta (rovesciata) della sedia, quindi si

(Z) proiettano i vari punti dell’oggetto, individuati

sui tre assi ribaltati, sui rispettivi assi

assonometrici.

(O) O'

(X) Tz

X' Y' Z'

Ty

Tx (Z)

(Y)

(X) (O)

(O) O'

(X) X' Y'

Individuati i vari punti sugli assi assonometrici Tx Ty

sarà possibile ricostruire fianco e pianta

tracciando delle parallele agli altri assi. (Y)

(X) (O)

94 Tz

Z'

(Z)

(O) O'

(X) X' Y'

Tx Ty

(Y)

(X) (O)

L’assonometria è una proiezione parallela o

cilindrica e come tale mantiene il parallelismo,

risulterà così semplice e veloce, completare

l’intero oggetto cui, se si vorrà, si potranno dare,

successivamente, delle campiture diverse a

suggerirne i volumi.

95

Le assonometrie oblique convenzionali (monometrica Militare e dimetrica Cavaliera).

Se il piano π, piano di rappresentazione assonometrico, è parallelo a due assi o, al limite,

se tali assi giacciono sul piano stesso, la direzione di proiezione non può che essere obliqua,

altrimenti si ricadrebbe nelle caso proiezioni ortogonali. Se due assi giacciono sul piano, è evidente

che l’angolo tra loro rimane un angolo retto e che le unità di misura staccate sui due assi sono

uguali tra loro. Solo il terzo asse, perpendicolare al piano, deve essere proiettato sul piano e, nella

proiezione, l’unità di misura staccata su tale asse avrà la sua dimensione modificata; pertanto

che una tale assonometria è sempre dimetrica.

possiamo affermare

Solo nel caso in cui la direzione di proiezione avrà una incidenza, con il piano di

riferimento, di 45° anche la terza unità di misura rimane uguale alle altre due, otteniamo una

assonometria monometrica. L’angolo di incidenza della direzione di proiezione è ininfluente

rispetto alla direzione che assumerà la proiezione di questo terzo asse rispetto agli altri due.

π

Z ≡ Z'

Uz ≡ U'z h

C

U'y

≡ Y'

Uy ≡

Y

O ≡ O' Ux

U'x X

X' U'x U'y

≠

U'x U'z

≠

U'y = U'z

Se il piano assonometrico contiene l’asse z, chiameremo questa assonometria obliqua

cavaliera, se il piano π contiene gli assi x ed y l’assonometria prenderà il nome di assonometria

obliqua militare. 96

Per questioni puramente percettive e pratiche, l’assonometria obliqua cavaliera è costruita

con la proiezione del terzo asse inclinato di 135° rispetto agli altri due (per costruirla è sufficiente

utilizzare la squadra a 45°) e con l’unità di misura dimezzata. Otteniamo così quella che possiamo

definire un’assonometria obliqua dimetrica convenzionale cavaliera. Se l’assonometria obliqua

militare è costruita in modo tale che gli assi x ed y formino con l’asse delle z angoli di 120° e

150°, ovvero 30° e 60°, (per costruirla è sufficiente così utilizzare l’apposita squadra) e con le

unità di misura uguali sui tre assi, otteniamo un’assonometria obliqua monometrica convenzionale

militare. Z' Z'

90° U'z = 1

U'z = 1 O' U'y = 1

X'

U'y = 1 Y'

O'

U'x = 1/2 Y'

U'x = 1

X' X' 90°

Assonometria obliqua di metrica convenzionale detta CAVALIERA e, a destra, assonometria

obliqua monometrica convenzionale detta MILITARE

Il teorema di Polhke.

”Presi tre segmenti, di cui almeno due non appartenenti ad una medesima retta, ma uscenti tutti

e tre da un medesimo punto ed aventi lunghezze e direzioni arbitrarie, esiste sempre un centro di

proiezione C∞ tale che quei tre segmenti si possono considerare come proiezione, dal centro sul

quadro, di tre segmenti oggettivi e corrispondenti, di uguale lunghezza e a due a due perpendicolari

tra loro”.

Il teorema di Polhke è valido solo per le assonometrie oblique, là dove non è nota la direzione di

proiezione e non per le assonometrie ortogonali dove, invece, tale direzione è nota.

Z'

O'

X' Y'

Applicando Polhke, questa è un’assonometria obliqua di un cubo

97

Assonometria obliqua di una sedia: sopra di metrica convenzionale Cavaliera, sotto monometrica

convenzionale militare.

z'

O' y'

x' z'

O' y'

x' 98

L’assonometria e le sue applicazioni: assonometrie trasparenti, dal basso, spaccati ed esplosi.

L’assonometria è un metodo di rappresentazione molto utilizzato nel disegno di architettura sia

per la facilità di costruzione sia perché permette, con un unico elaborato, pur nella astrazione del

centro di proiezione improprio, una visione di insieme dell‘oggetto piacevole e di facile

si presta, inoltre, per ulteriori elaborazioni utili a far comprendere

comprensione. L’assonometria

meglio l’oggetto o l’edificio rappresentato con questo sistema.

Si ha, quindi, la possibilità di disegnare un’assonometria completamente trasparente, magari a solo

filo di ferro, senza spessori, per mostrare ad esempio la distribuzione, all’interno di un edificio di

un determinato impianto, o l’andamento del vano scale, il sistema delle volte in un edificio storico

Abbiamo la possibilità di disegnare l’edificio visto dal sotto in su, non solamente dall’alto, in

ecc.

modo da far vedere l’interno fino a mostrare l’intradosso del manto di copertura.

99

Nel caso dell’assonometria vista dal basso è bene far presente che se nella rappresentazione di un

cubo è sufficiente invertire tra loro le linee tratteggiate e quelle continue, ad esclusione del contorno

che sarà sempre a linea continua, nel caso di elementi più complessi, come un edificio ad esempio,

si deve partire dalla pianta rovesciata se si vuol ottenere un disegno corretto e non invertito.

Assonometria tratta dal volume "Teate, il disegno di una città" a cura di Carlo Mezzetti, edizioni

Kappa, roma, 2009 100

Ma in architettura, uno degli usi più frequenti dell’assonometria, in genere si tratta di assonometrie

oblique cavaliere o militari, è lo spac