DINAMICA Parte 2 (Mecc. Raz.)

Sistemi di Riferimento Non Inerziali

Dinamica Relativa

Sia S un osservatore inerziale e S' un osservatore non inerziale in moto rispetto ad S, con moto rigido di vettori caratteristici \( \vec{v_0} \) e \( \vec{\omega} \).

Si consideri un punto materiale (P.M.) in moto rispetto a entrambi.

Dalla cinematica relativa abbiamo già visto:

• \( \vec{a_r} \): accelerazione relativa di P in S'
• \( \vec{a_t} \): accelerazione di trascinamento (di S' rispetto ad S)
• \( \vec{a_c} \): accelerazione di Coriolis

ove \[ \vec{a_r} = \vec{a_0} + \vec{\omega} \times (\vec{P - O'}) - \vec{\omega}^2 (\vec{P - P_0}) \] \[ \vec{a_c} = 2 \vec{\omega} \times \vec{v_r} \]

e l'accelerazione assoluta \( \vec{a_a} \) di P rispetto ad S si può scrivere come

\( \vec{a_a} = \vec{a_r} + \vec{a_t} + \vec{a_c} \)

Dalla 7^a Assioma della Dinamica (o II Legge di Newton)

\( \vec{F} + \vec{\Phi} = m \vec{a_a} \Leftrightarrow \vec{F} + \vec{\Phi} = m (\vec{a_r} + \vec{a_t} + \vec{a_c}) \)

Volendo misurare le forze in S', scriviamo

\( \vec{F} + \vec{\Phi} - m \vec{a_t} - m \vec{a_c} = m \vec{a_r} \)

Definendo

F_t = ma_r : Forza di Trascinamento

F_c = -ma_c : Forza di Coriolis

queste sono forze dette apparenti e sono note una volta assegnato il moto di S' rispetto ad S

la legge di Newton si può scrivere allora come

[ F + Φ + f_T + F_c = M a_R ]

Nota: f_C è quella forza misurabile in S' che determina apparentemente una deviazione del moto di P.

Statica Relativa (Equilibrio Relativo)

Per ottenere la condizione di equilibrio relativo rispetto all'osservatore non inerziale O' possiamo riscrivere l'equazione F_(Po,O,I) = 0 per cui se il punto è in equilibrio rispetto all'osservatore relativo Ü = 0 , e quindi anche le forze di coriolis sono nulla

[v_r = 0] => a_c = 2ω x v_r = 0 => [ F_C = 0 ]

ovviamente [v_r = 0 ]  con P in equilibrio rispetto a O' => [a_r = 0]

la legge di Newton in tal caso si scrive

[ F + Φ + f_T = 0 ]   { ∪ v_r = 0   Equilibrio Relativo }

deve quindi essere associata alle sue reazioni,

questo conclude, due tale reazioni, è proprio rappresentata

dalla formula F_s = F - ma (in questo caso vediamo che

corre al contrario) ma non cambia nulla del significato

fisico.

Se quindi ammettiamo la presenza di una forza

e di una reazione in equilibrio fra loro, possiamo

dire che:

1. "Il problema del moto di (P_m) rispetto all'osservatore

   S può essere riformulato come problema

   statico (nel riferimento S') attribuendo a (P_m)

   la forza direttamente applicata -F - ma"

2. oppure: "Durante il moto di (P_m) rispetto all'osservatore

   S, il vincolo subisce la forza -F - ma"

Una qualsiasi dei due enunciati costituisce il noto

Principio di D'Alembert

Oss.: Il termine -ma, chiaramente interpretato come

forza apparente, viene detto forza d'inerzia.

Nota:

Le 7 kg. Cardinali della meccanica nella seconda forma si possono semplificare per J_O × Q = O se:

1. O ≡ P_O
2. v_O ≡ O
3. J_O × Q

Portando la relazione:

• [M^(e)(O) + μ^(e)(O) = K^(O)]

esprimere il noto teorema.

Teorema Della Quantità di Moto (nel caso in cui J_O × Q = 0)

"La derivata rispetto al tempo del Momento della Quantità di Moto di un sistema materiale rispetto ad un punto fisso O, o coincidente col centro di massa, è uguale al momento risultante, rispetto ad O, di tutte le forze esterne, attive e vincolari, agenti sul sistema."

Le equazioni cardinali della Meccanica nelle G₂^a forma sono:

R^(e)(O) + φ^(e)(O) = Q̇ + ma_O - μ^(e)(O) + μ^(e)(O) = v̇₁(O) + J_o × Q

G(0)ω = I_zzω

Questa semplificazione si verifica sempre per il sistema materiale piano (contenuto nel piano U), che si muove di moto rigido piano secondo il piano U, avente lo stesso giacitura di U.

Infatti in tal caso, il vettore ω_u è costantemente perpendicolare alla giacitura comune di U e U, ed ogni retta n perpendicolare a U è asse principale di inerzia rispetto al punto 0, di intersezione di n con U.

Oss: Osserviamo infine che se il polo di riduzione O_s delle sollecitazioni di inerzia non è solidale al sistema rigido, il vettore K(O_s) può essere calcolato utilizzando la formula di trasposizione dei momenti:

K(O_s) = K(0) + (O - O_s) × Q

Il momento d'inerzia per un corpo rigido risulta quindi:

μ^(ins)(0) = -[ K(0) + J(0) × Q ]

Nota ovviamente

dove | K(0) = m (P₀-0) × J₀ + G(0)ω |