DINAMICA Parte 2 (Mecc. Raz.)

Sistemi di Riferimento Non Inerziali

Dinamica Relativa

Sia S un osservatore inerziale e S' un osservatore non inerziale in moto rispetto ad S con moto rigido di vettori caratteristici o_I e ω.

Si consideri un punto materiale (P, M) in moto rispetto a entrambi.

Dalla cinematica relativa abbiamo già visto:

• a_r : accelerazione relativa di P in S'
• a_c : accelerazione di trascinamento (di S' rispetto al S)
• a_c : accelerazione di Coriolis

dove

a_r = a_o1 + ω × (P - o_I) - ω²(P - P_o)

a_c = 2 ω × V_r

e l'accelerazione assoluta a_a di P rispetto ad S si può scrivere come

a_a = a_r + a_r + a_c

Dall'1 Assioma della Dinamica (o II legge di Newton)

F + Φ = ma_a ↔ F + Φ = m (a_r + a_r + a_c)

Volendo misurare le forze in S', scriviamo

F + Φ - ma_r - ma_c = ma_r

Sistemi di Riferimento Non Inerziali

Dinamica Relativa

Sia S un osservatore inerziale e S' un osservatore non inerziale in moto rispetto ad S con moto rigido di vettori caratteristici _o e .

Se consideriamo un punto materiale (P.M.) in moto rispetto a entrambi:

Dalla cinematica relativa abbiamo già visto:

• a_r: accelerazione relativa di P in S'
• a_T: accelerazione di trascinamento (di S' rispetto ad S)
• a_c: accelerazione di Coriolis

dove:

a_T = a_o + × (P - O_i) - ²(P - P_o)

[ a_C = 2 × v_r ]

e l’accelerazione assoluta a_a di P rispetto ad S si può scrivere come:

a_a = a_T + a_r + a_c

Dall 2^a Assione della Dinamica (o II legge di Newton):

F + = m a_a ⇔ F + = m (a_T + a_r + a_c)

Volendo misurare le forze in S', scriviamo:

F + - m a_T - m a_c = m a_r

Definendo

F_t = -m a_t : Forza di Trascinamento

F_C = -m a_C : Forza di Coriolis

Queste sono forze dette Apparenti e sono note una volta

assegnato il moto di S' rispetto ad S

la legge di Newton si può scrivere allora come

[ F + Φ + F_t + F_C = M a_r ]

Nota : F_C è quella forza misurabile in S' che determina

"apparentemente" una deviazione del moto di P.

Statica Relativa (Equilibrio Relativo)

Per ottenere la condizione di equilibrio relativo rispetto

all'osservatore non inerziale O' possiamo riscrivere

l'equazione F (P_o , t ) = 0 per cui se il punto è

in equilibrio rispetto all'osservatore relativo v_r = 0 , e

quindi anche le forze di coriolis sono nulle

[ v_r = 0 ] => a_r = 2ω x v_r = 0 => [ F_C = 0 ]

Ovviamente [ v_r = 0 ] con P in equilibrio rispetto a O => [ a_r = 0 ]

La legge di Newton in tal caso si scrive

[ F + Φ + F_t = 0 ] , { v_r = 0 Equilibrio Relativo }

Principio di D'Alembert

Punto Materiale

Definita per il punto (P.m.) la forza d'inerzia

F_im = -m a(P)

l'equazione fondamentale della dinamica del punto materiale può essere scritta nella forma

F + F_im + φ = 0

e quest'ultima può essere interpretata come un'equazione "statica" in un accanto alla forza attiva e vincolari compare anche la forza d'inerzia; si parla allora di "Equilibrio Dinamico" del punto materiale.

Possiamo quindi enunciare il principio di D'Alembert per il punto materiale:

Durante il moto del punto materiale le forze attive, la reazione vincolare e le forze d'inerzia, istante per istante si fanno equilibrio.

1. Il Principio di D'Alembert ci consente di formulare il problema dinamico del punto materiale come problema statico, poiché si tiene conto anche delle forze d'inerzia del punto.

Ne consegue che tutte le considerazioni fatte ed i mezzi usati per la soluzione del problema statico del punto materiale valgono anche per le

Principio di D'Alembert (Punto Materiale)

Sia S un osservatore che studi il moto di un

punto materiale (P) soggetto a un vincolo e ad

una forza direttamente applicata F.

Supponiamo che S sia inerziale.

In tal caso l'equazione del moto è:

ma = F + φ ^(*)

nella quale F è la risultante delle forze direttamente

applicate in (P).

Se S non è inerziale nella ^(*) sorge il termin