Dinamica Parte 1 (Mecc. Raz.)

DINAMICA

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

1^o Principio della Dinamica (o I legge di Newton):

Un osservatore S si dice inerziale se di un punto materiale isolato (P.m.) misura accelerazione nulla, qualunque sia l'istante t in cui effettua tale misura e qualunque sia lo stato cinematico (P.p) del punto nell'istante t.

Gli osservatori che di un punto materiale isolato misurano accelerazione nulla, sono quelli in quiete o che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme. Questi sono osservatori inerziali e l'insieme di tali riferimenti possiamo considerarli come punti isolati.

PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANA:

2^o Principio della Dinamica:

Possiamo considerare la forza come un vettore applicato ad un punto materiale (P.m.), a cui si dà la qualifica di materiale per distinguerlo semplicemente da un punto geometrico per la sua capacità di essere soggetto a forza.

Una forza può essere intesa come una funzione vettoriale del tipo F(P, P', E) dipendente dalla posizione, dalla velocità e dal tempo, e risulta essere una grandezza fisica che ha la capacità di produrre un'accelerazione del punto materiale a cui è applicata, se questo non è vincolato (o se non ci sono vincoli che impediscono il movimento lungo la sua retta d'azione).

Da qui si deduce il 1^o Principio della Dinamica (I legge di Newton):

F = m a(P)

dove l'accelerazione di un punto materiale (approssimazione fisica) subisce un'accelerazione proporzionale alla forza applicata e inversamente proporzionale alla sua massa.

Si ricorda che la massa, in fisica, è quella grandezza fisica associata ad un corpo, che si oppone al moto o a variazioni del moto del corpo stesso.

3^o Principio della Dinamica: Se consideriamo un sistema isolato costituito da due punti materiali (P₁, m₁), (P₂, m₂), questi hanno la capacità di scambiarsi reciprocamente due forze aventi stesso modulo, stessa retta d'azione, ma verso opposto. Tali da costituire una coppia di braccio nullo.

1. Si dice che le forze (P₂ - F₁), (P₂ - F₂) siano introdotte siano l'una la reazione dell'altra.

1) Oss.: matematicamente il lavoro è espresso dall'integrale di una forma differenziale:∫γ

∫_t(1)^t(0)L(t) = ∫_t(0)^tW(t) dt = L(t) fornisce

un integrale primo del moto dell'equazione mx = F.

Occorre però osservare che in generale è possibile

scrivere tale relazione soltanto se è noto il moto di γ.

Se più semplicemente si suppone che (P, m) sia soggetto

a un CAMPO DI FORZE F = F(P) (funzione della sola

posizione) è possibile calcolare l'integrale

∫γ^tdp = L solo se è nota la curva γ, anche

se non è necessario conoscere il moto di γ.

1) Se consideriamo la forza come funzione della

sola posizione

F = F(P) = F₁x + F₁y + F₂z

e tenendo conto che lo spostamento infinitesimo del punto P

può essere scritto come:

dP = (dx, dy, dz)

Il lavoro compiuto sul punto P (come integrale della forma

differenziale):

L = ∫_γF(P) ⋅ dP = ∫_γ(F_xdx + F_ydy + F_zdz) = U_{(x1, y1, z1)} - U_{(x0, y0, z0)}

(e può anche variare nel tempo -> esempio di un disco che

ruota su una guida orizzontale nel cui centro di massa è concetrata

una molla di richiamo; di concetrata in un altro punto fisso. Sicuramente

l'energia potenziale associata al campo Gravitazionale non varie nel

tempo)

Esempi di Campi Conservativi

Campo Costante (o Campo Uniforme)

Un campo costante è del tipo F(P) = F₀

dove la funzione vettoriale che esprime la forza

è costante in direzione modulo e verso, per cui è

esprimibile come un campo di vettori tutti paralleli tra

loro (diciamo campo e non sistema perché il numero

di vettori è illimitato)

Assunto il vettore e che esprime direzione e verso

del campo vettoriale, un campo costante può essere

scritto nella forma

-F(z) = ρe |⟶ | se ⟨ e ∥ Ẑ ⟩

per cui:

U = ∫F∘e dp = ρ∫∘ e.dp = ρ∫dp = ρ∫dz = ρ[z]^zF_z0 :

= = U(zF) - U(z0)

(solitamente associamo U(z0) = 0 ; e.dp esprime la componente lungo

z)^zF_z0

ovvero

W_φ = λ(t) ∇φ · V = -λ(t) ^dφ/_dt : vincolo semplice

W_φ = ∑_i=1^s λ_j(t)∇φ_i · V = -∑_i=1^σ λ_i(t) ^dφ_i/_dt : vincolo doppio

Detta ovvia ne consegue che il lavoro della reazione

applicata da un vincolo liscio è nullo per qualunque moto

dell'm compatibile col vincolo stesso se e solo

se il vincolo è fisso.

Se il vincolo è liscio ma mobile Ṽ_φ ≠ 0 , ma W_φ ≠ 0 →

⇒ considerare l'ascensore

Per tanto il teorema delle forze vive per un punto

materiale vincolato che in generale si scrive

T = W_F + W_φ

( W_F = ∫ F · V ) nel caso di vincoli fissi e lisci si

riduce a

T = W_F

In quest'ultimo caso se la forza direttamente applicata F

è conservativa è ancora valido l'integrale primo di

conservazione dell'energia [ T + V = cost ] ( che data

la presenza di vincoli é soltanto consigliabile la sua scrittura

in funzione dei parametri lagrangiani )

oss: in evidenza il fatto che anche un sistema vincolato

può essere un sistema conservativo