Dinamica e controllo - parte 1

Dinamica e Controllo dei S.E.

Il sistema eccitato da un ingresso U(t) risponde con una risposta Y(t)

Il sistema considerato ha le seguenti specifiche

• Lineare
• Tempo invariante → non importa l'istante d'ingresso
• SISO → a fronte di un ingresso c'è una sola uscita → Single In - Single Out
• Parametri Concentrati → avremo equazioni differenziali a param. concentrati

Supponiamo sempre t=0

ⁿ∑_i=0 a_i y⁽ⁱ⁾(t) = ^m∑_j=0 b_j u^(j)(t)

PROBLEMA DI R

Dati un y^k(0)=0 condizioni iniziali con k che va da k: 1,...,m-1 poiché dobbiamo conoscere

l'uscita fino all'ordine m-1

Allora il sistema ci dona una risposta

che sarà la somma di due termini:

• uno dipendente dell'ingresso
• uno che dipende sul rifiuto col tempo t=0

ovvero è l'intuito iniziale

In base alle condizioni iniziali si definiscono

due tipi di sistemi:

• STATICI
• DINAMICI

y_g(t) = \sum_{i=0}^{f} \sum_{k=0}^{j_i=1} A_{ik} t^k e^{\lambda_i t}

Radici di molteplicità 1

y^{(j)} = \frac{d^j}{dt^j} y(t) = A \lambda^j e^{\lambda t}

y_g = A e^{\lambda t}

\sum_{i=0}^{M} a_i y^{(i)}(t) = \sum_{i=0}^{M} a_i A_i \lambda^i e^{\lambda_i t}

\sum_{i=0}^{M} a_i \lambda^i = 0

Se λ è complesso, i due λ, ovvero le radici, compaiono coniugate:

A e^{Re(\lambda)} \cos(\Omega t + \varphi)

Esemplificato lo sua evoluzione se e solo se la parte reale del complessa è NEGATIVA, se invece è =0 allora oscillerà all'infinito

Oggetto

Soluzione

Trasformaz.

Immagine

Per usare l'operatore di Trasformazione dobbiamo definire:

TRASFORMATA INTEGRALE

[f](s) = ∫_a^b K(s,t) f(t) dt

K(s,t) è detto NUCLEO o KERNEL e ne scegliamo uno invertibile in modo da potere poi fare:

ANTITRASFORMATA

f(t) = ∫_v1^v₂ K^-1(u,t) [f](u) du

4/03/2022

• SOLUZIONE EQUAZIONE DIFFERENZIALE

Data l'equazione differenziale lineare di n-ordinenon omogenea a coeff. costanti

∑_i=0ⁿ a_i g⁽ⁱ⁾(t) = U(t)

Suppongo f ed U trasformabili e applico il problema

𝑥[∑_i=0ⁿ a_i g⁽ⁱ⁾(t)] = 𝑥[U(t)]

𝑥[∑_i=0ⁿ a_i g⁽ⁱ⁾(t)] = ∑_i=0ⁿ 𝑥 [a_i g⁽ⁱ⁾(t)]

= ∑_i=0ⁿ a_i 𝑥 [g⁽ⁱ⁾(t)] =

∑_i=0ⁿ a_i (jω)ⁱ 𝑥 [g(t)] =

𝑥 [g(t)] ∑_i=0ⁿ a_i (jω)ⁱ = 𝑥[U(t)] Φ^-1(ω)

Non avendo trasformato la parte a sinistradell'equazione quella a destra è moltosemplice

C’è un legame tra la trasformata di Laplace e quella di Fourier

L_σ [ s(t) ] = F [ f(t) e^-σt ]

Si può anche fare un’osservazione

• w è legato della risposta forzata del problema
• σ è legato al sistema, cioè alla risposta libera

Dobbiamo verificare ora che questo termine converga

∫_-∞^+∞ f(t) e^-σt e^jωt dt = ∫_-∞⁰ |f(t)| e^-σ_Nt dt

non converge ma diverge

+ ∫₀^+∞ |f(t)| e^-σ_Pt dt

I due integrali convergono solo per determinati valori:

• ∃ σ_N / ∀ σ < σ_N I_A converge
• ∃ σ_P / ∀ σ > σ_P I_P converge

ma queste due affermazioni definiscono il piano di convergenza

Proprietà delle Trasformate

• ℒ { f(t) } = ^d/_dt F(s)
• ℒ { t^mf(t) } = (-1)^{m d}/_ds ^m F(s)

Traslazione nel Tempo

• f(t) = g(t + a)
• g(t) = f(t - a)

• ℒ { f(t-a) } = e^-sa F(s)

Contro scala nel Tempo

• ℒ { f(t/a) } = a F(as)
• ℒ { ^{d f(t)}/_dt } = s F(s) - f(0)

8/03/2022

• Prodotto di Convoluzione

Date f e g due funzioni Trasformabili, ed esistendo f * g, posso scrivere

• ℒ { f * g } = F(s) G(s)

f(t) = cos (ωt)

L [f(t)] = ∫₀^+∞ cos (ωt) e^-st dt =

= ∫₀^{+∞ jωt} + ^-jωt/₂ e^-st = /_{s² + ω²}

ANTI·TRASFORMAZIONE

Corrette nell'applicazione della formula di

Riemann - Fourier

f(t) = 1/_2j lim_k→∞ ∫_α-jk^α+jk F(s) e^st dt

dove è nel dominio di convergenza

TEOREMA DEL VALORE FINALE

lim_t→∞ f(t) = lim_s→0 s F(s)

Questo Teorema è valido solo se esiste lim_t→∞ f(t) altrimenti non si può

applicare

Dati poli e zeri di una funzione possiamo definire la mappa poli-zeri, il piano di Gauss in cui sono rappresentati appunto i poli e gli zeri.

Esempio

F(s) = (s + 3) / (s^3 + 6s^2 + 8s)

zeri = -3poli = 0, -4, -2

La rappresentazione poli-zeri è importante per fare la rappresentazione fattorializzata.

F(s) = (s + 3) / (s(s + 2)(s + 4))

F(s) = (b_n s^n + ... + b_1 s + b_0) / (a_m s^m + ... + a_1 s + a_0)

a_n e b_m sono detti coefficienti direttori e devono essere ≠ 0

Ne faccio l'anti-trasformata

L^-1 [_{∑i ∑j} ^c_ij/(s-p_i)^j] = ∑_i ∑_j c_ij L^-1 [¹/(s-p_i)^j]

L^-1 [_{∑i ∑j} ^c_ij/(s-p_i)^j] = ∑_i ∑_j c_ij t^j-1 e^p_it

Bisogna Trovare il valore di c_ij, ma se abbiamo dei poli complessi, il Termine e^p_it può rappresentare un problema

Consideriamo una funzione

F(s) = ^N(s)/_{(s-ρ)(s-ρ̅)}, se il polo è complesso allora il complesso coniugato

F(s) = ^c/_s-ρ + ^c̅/_s-ρ̅, c ∈ ℂ = U+jV, ρ = σ+jω

c̅ ∈ ℂ = U-jV, ρ̅ = σ-jω

F(s) = ^U+jV/_s-ρ + ^U-jV/_s-ρ̅ =

= ^U+jV/_s-(σ+jω) + ^U-jV/_s-(σ-jω)

Anti-Trasformando nel dominio del Tempo

f(t) = (U+jV) e^(σ+jω)t + (U-jV) e^(σ-jω)t

La cosa rappresenterà?