Dinamica e controllo - parte 2

23/03

Il nostro problema è del tipo

^mΣ_i a_i y⁽ⁱ⁾(t) = ^uΣ_i b_i u⁽ⁱ⁾(t) m > u

simple insimple out

Con le condizioni iniziali:

y⁽ⁱ⁾(0) = y_0i i = 0, ..., m-1

u^(j)(0) = 0 j = 0, ..., m-1

Tutto è trascurabile

La soluzione nel tempo è e' univoca di due termini

Risposta forzata (y_f) e risposta libera (y_e)

y_(t) = y_e(t) + y_f(t)

Risposta libera

ancorché associata

Σ_i a_i y⁽ⁱ⁾ =0

y⁽ⁱ⁾(0) = y_0i

y_e = ^e0i⁄_{i K K!} t^K e^pi't

∫^+∞₀ u(t) w (t -τ) dτ

w risposta dell'impulso

Risposta forzata

Σ a_i y⁽ⁱ⁾(t) = Σ b_j u^(j)(t) y⁽ⁱ⁾(0) = 0

e' un sistema lineare quindi l'ingresso e' un segnale e per valori negativi e' nullo

Come calcoliamo w, la risposta all'impulso?

proviamo a trasformare

∑ a_i sⁱ Y(s) - ∑ a_i ∑ y_{0, i} sⁱ = ∑ b_i sⁱ U(s)

Y(s) = ^{∑ a_i ∑ y_{0, i} si}/_{∑ ai sⁱ} + ^{∑ b_i si U(s)}/_{∑ ai sⁱ}

Y(s) = ^Q(s)/_D(s) + ^N(s)/_D(s) U(s)

dipende dal sistema dipende da ingresso e modi del sistema dipende dalle c.i. e dai coeff. di sinistra del sistema U-I

Y(s) = Y_e(s) + Y_s(s)

risposta libera risposta forzata

Y_f (t) = L^-1 [ Y(s) ]

• Sistema stabile/instabile con radici D(w) e stabilità BIBO -> Bounded IN Bounded OUT

Risposta forzata che si può ottenere particolare

y_f(t) lim _t→∞ y_f(t)

y_{f_parz}(∞) = U(∞)

y_p lim _t→∞ y_forz(∞)

Risposta transitoria

y_t(t)

Risposta permanente

y_p(t)

e_p e' errore permanente

G(s) = Y(s)/U(s) = N(s)/D(s)

del G_K(s) = K G(s) allora una risposta Y_K(s)

Y_K(s) = U(s) G_K(s) Y_K(t) = ℒ^-1[Y_K(s)]

Per le proprietà della Trasformata di Laplace

Y_K(t) = ℒ^-1[Y_K(s)] = ℒ^-1[U(s) G_K(s)] = K ℒ^-1[U(s) G(s)]

Y_K(t) = K Y(t)

In sintesi: il guadagno K ai fini dello studio della risposta nel dominio del Tempo rappresenta un semplice fattore di scala delle risposte. Ha un effetto moltiplicativo sulle caratteristiche statiche e dinamiche.

• connotte di guadagno unitario
• privo di zeri
• privo di poli nell'origine
• a poli con parte reale Re < 0 o Re = 0

SISTEMI ELEMENTARI

Ordine del polinomio e l'ordine massimo del denominatore

■ comportamento stazionario

Come visto precedentemente il valore della risposta permanente e l'errore stazionario

con k = 1 hanno valori pari a :

y_∞ = 1   e_∞ = 0

■ comportamento iniziale

• la risposta allo stato iniziale vale y₀ = 0
• velocità iniziale:

dy(t)/dt |_{t = 0} = lim_{t → 0⁺} dy(t)/dt = lim_{s → ∞} s² * 1/(s²(1/s + τ)) = 1/τ

per i sistemi del primo ordine l'inverso della costante di tempo rappresenta la velocità con cui viene abbandonato il valore iniziale

■ comportamento dinamico

Tempo di assestamento

Per definizione rappresenta il tempo necessario per entrare in una banda del 2-5% della risposta permanente e non uscirci più

| y_∞ - y(T_a) | = Δα%/100 y_∞

Solo nel caso ψ = 0 abbiamo c_oo ≠ 0 perché non c'è nessun polo con parte reale.

Tutti i λ_i coni porremo dall'origine y(0) = 0 e abbandonavano tale ✕ con velocità nulla.

∂y / ∂t_{t = 0} = lim_t→∞ ∂: 1 /sⁿ (a_n + sⁿ⁻¹ · a_n−1 + ... + a₀) = 1 / sⁿ⁻¹ quando n ≥ 1 ∂y/∂t _t=0 = 0

• SOVRASMORZATO
• ψ > 1

G(s) = 1 / ( s²/ω_n² + 2ψ/ ω_n s +1 ) = ω_n² / (s² + 2ψ/ω_n s + ω_n²)

P_1,2 = −ψ ω_n ± ω_n √(ψ²—1) ± i√sign(ψ²—1)

P₁ = −ω_n ( psi; + √(ψ² —1 ) )

P₂ = −ω_n ( ψ — √(ψ² —1 ) )

sono simmetrici rispetto il punto − ψω_n

P₁ + P₂ / 2 = − ψω_n

P₁ > P₂

Ora mi chiedo quale sia l'effetto di smorzamento e pulsazione motrice sulla risposta

Qualitativamente si osserva che:

• se ζ = costante e ω_m cresce -> i tempi calano -> quindi la risposta è più veloce

la posizione dei poli è inversamente dipendente della pulsazione motrice -> se aumenta la coppia di poli, riporta a sinistra e la risposta diventa più veloce

• se invece mi porto verso sinistra la distanza tra i poli cresce perché hanno formula diversa

P₁ = -ω_m(ζ - √ζ² - 1)

P₂ = -ω_m(ζ + √ζ² - 1) -> sono diverse

• P₁ va più velocemente a sinistra di P₂

ω_n² = ⎡ C₁ + C₂s + C₃ ⎤ / ⎣ s + s² + 2ξω_ns + ω_n² ⎦ s(s² + 2ξω_ns + ω_n²)

C₁ = 1

C₂ = -1

C₃ = -2ξω_n

y_f(t) = C_f/s + 2M e^-ξω_nt cos(ω_n√1-ξ²t + α)

M = √⎡(⎣C₂ξω_n/s + C₃⎦)⎤

α = arctan⎝⎛C₂ξω_n - C₃ / C₂ξω_n - √1-ξ²⎠⎞

⇒y_f(t) = 1 - 1/√1-ξ² e^-ξω_nt cos(ω_n√1-ξ²t - α)

dove α = arctan⎝⎛ξ/√1-ξ²⎠⎞ dove π/2 < α < π

dobbiamo tener conto del fatto che siamo nel 2º quadrante

Non si preferisce usare ψ anziché α perché: fare molte dipendenze per lo studio della stabilità ⇒ 0 < α < π/2

Nel crescere di ψ il sistema va verso l'instabilità

Tempo di assestamento o Tempo 10-90

T_r ≈ ^1,8/_ωn(1,5-ξ)

Tr è esatto se lo smorzamento vale 0,5 → più siamo vicini a smorzamento pari ad 1 o meno questa formula rimane esatta.

Tempo di picco Tp con cui poi posso definire la sovraelongazione percentuale

T_p = ^kπ/_{ωn√(1-ξ²)} = ^kπ/_ωs

S_y = 100 exp ( ^-ξπ/_√(1-ξ²))

Sovraelongazione percentuale e smorzamento sono inversamente proporzionali

Dato il pol, cosa succede se questo polè reale o polare immaginario e faccio variazione d'altro?

Re = vario Im = cost

Re = cost Im = vario