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Dinamica dei sistemi
Il testo fornito può essere scritto come:
NN XX CPCP ii =0m aF i ii Cq Cqk ki=1i=1che può scriversi: NX CPi = (1.6)m Qai i kCqki=13 0Cioè, deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da anche se questet,viequazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad una0linea, che a sua volta si sposta, deve essere tangente alla linea considerata nella sua posizione alÞssavtempo senza tener conto del moto del vincolo.t, 851.2 Dinamica dei sistemiAvendo introdotto le forze generalizzate NX CPi=Q Fik Cqki=1Indicando con la velocità del punto , l energia cinetica del sistema è deÞnita dallaPvi irelazione: NX4= (1.7)T m v v×i i i2 i=1Derivando la (1.7) relativamente a e tenendo conto della (1.4), risulta:qúkN NX XCv CPCT i i= =m mv vi i i iC C Cqq qú úk k ki=1 i=1Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell equazione precedente,si ottiene: N NX XCP CvCTd i i= + (1.8)m ma vi i i iC Cq
Cqdt qúk k ki=1 i=1Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene:NXCT Cvi= m vi iCq Cqk ki=1combinando questa equazione con la (1.8), si ha:
NX CP CT CTdi =m ai i Cq C Cqdt qúk k ki=1E quindi, sostituendo questo risultato nell eq. (1.6), si ottiene l equazione di Lagrange:
CT CTd = (1.9)QkC Cqdt qúk kQuesta equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quantopermette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia statascritta l espressione esplicita dell energia cinetica.L eq. (1.9) si sempliÞca ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conserva-), delle coordinate del sistema,tive, cioè se esiste una funzione potenziale (P , P , , PU · · · N1 2tale che: CU= (1.10)Fi CPiIn questo caso l espressione della forza generalizzata diviene:NNX XCP CPCU CUi i= = =Q Fik Cq CP Cq Cqik k ki=1 i=1 910S DISTEMI ISCRETI 111213L'equazione del moto di una massa
Elementare soggetta ad una forza di richiamo elastico e ad una forza di natura viscosa si scrive: ove x è l'elongazione dell'amolla elastica lineare, che dipende dal tempo t, m è la massa, c è la costante di smorzamento viscoso, k è la rigidità della molla. (derivate rispetto al tempo t) Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Essa rappresenta la nota equazione dinamica: forza = massa * accelerazione, ove tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne al sistema (oscillazioni libere).
Entrambe le forze attive sono negative in caso di elongazioni e, rispettivamente, di velocità positive. Una interpretazione alternativa può essere data alla equazione tramite il Principio di d'Alembert, il quale afferma che ciascuna massa si trova in equilibrio nel proprio sistema di riferimento, una volta soggetta a tutte le forze attive e passive.
Le forze passive sono le forze di inerzia, cioè le forze che si oppongono alle accelerazioni, ottenute moltiplicando queste per la massa.
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 14
Quando tra le forze applicate alla massa non figurano forze esterne ma solo forze interne (elastiche e viscose) e passive (inertiali), i movimenti del sistema vengono detti oscillazioni libere.
La soluzione dell'equazione dinamica presenta la seguente forma:
Sostituendo si ottiene: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Dividendo per mCe e ponendo:
Si ha: avendo definito la "pulsazione naturale". Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 15
In questo caso le due soluzioni diventano:
ove i è l'unità immaginaria, cosicché la risposta è data da: "oscillatore armonico" Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Ricordando che: la soluzione x(t) si può riscrivere come segue:
ove le costanti A e B sono esprimibili tramite le condizioni iniziali. "" $= # )x(t) Asin( t
Alternativamente: "con detta "fase". Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 16
Poiché infatti: l'equazione diventa:
La precedente espressione è dimensionalmente omogenea, poiché la pulsazione naturale (o velocità angolare) ω, ed è misurata in radianti per unità di tempo.
La frequenza naturale f, peraltro, è misurata in Hertz (cicli per unità di tempo): mentre il suo inverso rappresenta il periodo naturale T: m"=T 2 k(sec)
N.B. periodo proporzionale al rapporto masse/rigidezza
Il moto può essere descritto anche dalla seguente espressione: X = ampiezza
Dove l'ampiezza (max estensione dello spostamento a partire dalla configurazione di equilibrio) è data da:
E l'angolo di fase iniziale da:
In questo caso le due soluzioni sono:
Si verificano tre differenti tipi di moto, a seconda che la quantità sotto radice quadrata sia positiva, negativa o
nulla.!(Condizione di smorzamento critico): = c/2m1¡ casoII valore critico della costante di smorzamento viscoso :Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 19
L'introduzione delle condizioni iniziali fornisce la rispostadinamica:Questa risposta non presenta oscillazioni attorno alla posizionedi equilibrio, ma soltanto un decadimento esponenziale versotale posizione.
La condizione di smorzamento critico la minima viscosit percui non si verificano oscillazioni libere. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO! "2¡ caso: (Sistema sotto-smorzato): c < 2m ( < 1)"
Lo smorzamento si scrive come rapporto tra la costante c:e il suo valore critico c c"ove detto rapporto di smorzamento.
Inserendo tale valore nellÕequazione: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 20ossia: "con 0 1. Essa si pu anche esprimere come:! ! !dove la pulsazione smorzata in funzione della naturale :D T=TD ( )2#1"
La viscosit quindi aumenta il periodo.
Nei casi pratici, ove " !< 1/4, essa è vicina alla pulsazione naturale .usualmente Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO La risposta dinamica di un sistema sotto-smorzato si ottiene sostituendo le soluzioni precedenti nell'equazione del moto: Si ottiene: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 21 In figura è rappresentata la legge del moto di un oscillatore sotto-smorzato, con La massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio con ampiezza decrescente in modo esponenziale. Le elongazioni max e min non corrispondono esattamente agli! #Ðistanti in cui cos( ) = ±1 , ma agli istanti in cui la velocità si annulla per cambiare poi di segno (punti stazionari). Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO SPAZIO DELLE FASIù (t)x ù (t)x x(t)x(t)MOTO NON SMORZATO MOTO SMORZATO Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 22 SPAZIO DELLE FASI - CAOS Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO" Per valutare sperimentalmente il rapporto di smorzamento, prendiamodue qualsiasi picchi positivi successivi, x e x .n n+1Il rapporto di questi due valori approssimativamente:
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 23II logaritmo naturale di entrambi i membri detto decremento$logaritmico :Si ha quindi:
essendo: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINOPer bassi smorzamenti, si pu scrivere:e quindi:
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 24Un metodo semplice per stimare il rapporto di smorzamento" quello di contare il numero di cicli necessari per produrreuna riduzione del 50% nell'ampiezza di oscillazione."Con = 0.1 (valore tipico in molti casi pratici), l'ampiezza siriduce del 50% in un solo ciclo. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINONel caso in cui un oscillatore armonico sia sottoposto ad!una sollecitazione forzante armonica F sin t, l'equazioneFdinamica diventa non omogenea:! la pulsazione della forzante.F Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 25La soluzione particolare x (t) rappresenta la
risposta specifica generata direttamente dalla sollecitazione esterna, mentre la soluzione complementare x(t) rappresenta la risposta di vibrazione libera del sistema:
L'ampiezza C della soluzione particolare si ottiene da:
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
Dalla precedente si ricava:
L'ampiezza della soluzione particolare vale quindi: %, detto rapporto di frequenza, è il rapporto tra la pulsazione della sollecitazione applicata e la pulsazione propria o naturale del sistema:
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 26
La soluzione generale dell'equazione del moto è la somma delle soluzioni complementare e particolare, con C espresso come sopra:
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I valori delle costanti arbitrarie A e B dipendono dalle condizioni iniziali. Nel caso in cui il sistema sia a riposo nell'istante iniziale, le due costanti assumono i seguenti valori:
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 27
La soluzione può quindi venire riscritta come:
IMP: Nei
casi pratici lo smorzamento viscoso tende ad annullare, al trascorrere del tempo, il secondo termine, che è quindi detto risposta transitoria. Il primo termine invece persiste, tenuto in vita dalla stessa forza esterna pulsante, e amplificato dal fattore di risonanza 1/(1 + η). n.b. l'oscillazione non smorzata è in fase con la forzante
Nel caso in cui siano presenti anche forze di natura viscosa, l'equazione del moto diventa quindi: "Si divide per m, ricordando che c/m = 2"
Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO
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