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Criteri di progettazione 66

67

Dissipatori

Attraverso l’utilizzo dei dissipatori si cerca di assorbire e dissipare la maggior parte dell’energia

cinetica impressa dall’azione sismica alla struttura attraverso il moto del terreno.

Isolatori

Per ciò che concerne la tecnica dell’isolamento sismico di una struttura, invece, essa consiste

nell’interporre, tra le fondazioni e la prima elevazione, gli isolatori, dispositivi ad elevata

deformabilità orizzontale ed elevata rigidezza verticale. L’effetto è quello di concentrare gli

spostamenti, in caso di sisma, alla base della struttura evitando così notevoli deformazioni e quindi

danneggiamenti diffusi. 68

69

70

71

72

73

74

75

76

Con 77

ACCELEROMETRO 78

Per le applicazioni di ingegneria sismica è necessario disporre di registrazioni di

terremoti con forte intensità. accelerografi strong – motion.

A tal fine vengono utilizzati gli

accelerografi strong-motion (o SMAC) gli apparecchi che registrano, in

Sono detti

modo completo, come funzioni del tempo, le tre componenti di accelerazione del suolo,

due orizzontali (nord - sud ed est – ovest) ed una verticale .

L’apparato registratore di un accelerografo strong - motion di solito non entra in

funzione finchè l’accelerazione del suolo non supera un predeterminato valore di soglia

(0.005 g), inoltre l’accelerografo è in grado di registrare accelerazioni fino ad 1 g.

Si parla quindi di sismologia strong – motion.

Attività strong motion: caratterizzata da vibrazioni di ampiezza e

periodo tali da produrre danni su ambiente e infrastrutture e rilevabile coi più

comuni strumenti (es. ampiezze comprese tra 0.001 g e 1 g e frequenze

comprese tra 0.06 Hz e 25 Hz). Basata sullo studio di registrazioni di terremoti

distruttivi, effettuate con posti vicino o entro l’area epicentrale

accelerometri

Mentre

Attività microsismica: caratterizzata da vibrazioni di debole ampiezza e periodi molto grandi tali

da non essere percepiti dai più comuni strumenti di registrazione (importante soprattutto per i

sismologi)

Gli ingegneri sono infatti interessati agli effetti locali di forti terremoti, con moti del

terreno abbastanza intensi da provocare danni strutturali.

Il sismologo focalizza invece la sua attenzione sullo studio dettagliato del terremoto e

dei meccanismi che lo provocano, attraverso l’analisi degli effetti globali o a lungo

raggio; è interessato quindi a moti del terreno di ampiezza molto piccola, tali da non

indurre significative risposte strutturali. 79

Questi parametri relativi al trasduttore consentono agli strumenti digitali di registrare,

senza eccessive distorsioni, andamenti accelerazione - tempo contenenti frequenze da

molto basse fino a 30 Hz; gli strumenti analogici risultano invece accurati in un di

range

frequenze più ristretto, fino ad un massimo di 15 Hz.

Quindi nella sua forma più semplice un trasduttore è un sistema massa - molla –

smorzatore montato in un telaio rigido vincolato alla superficie il cui moto deve essere

registrato.

La figura mostra uno schema dello strumento che registra il moto orizzontale della

base.

Per misurare le tre componenti del moto sono necessari tre diversi trasduttori.

Soggetta al moto del supporto, la massa del trasduttore si muove rispetto al telaio e

questo spostamento relativo viene registrato.

Il moto da registrare è generico e può includere molte componenti armoniche che

coprono un ampio di frequenze.

range

Consideriamo la misura di un semplice moto armonico:

L’equazione del moto, ottenuta imponendo l’equilibrio dinamico tra le forze, è:

e dividendo per si ottiene:

m

Si osserva che la risposta stazionaria a regime u(t): 80

Velocità e spostamenti si ottengono per integrazione delle accelerazioni registrate.

Di solito le componenti orizzontali sono dello stesso ordine di grandezza, mentre la

componente verticale presenta ampiezze più piccole e contiene importanti componenti

ad alta frequenza.

Caratteristiche di un accelerogramma sono:

ampiezza, caratterizzata dal picco (PGA, o dal

Peak Ground Acceleration)

numero di picchi che superano un livello prefissato,

contenuto in frequenze,

durata. Newmark e Rosenblueth (1971) hanno proposto una

Sulla base di tali caratteristiche,

classificazione dei sismi in quattro tipi:

1. Scossa di tipo impulsivo (praticamente un solo urto)

2. Scossa moderatamente lunga, con movimento estremamente irregolare

3. Scossa di lunga durata, con periodi predominanti pronunciati

4. Scossa che determina deformazioni permanenti del suolo su larga scala

1.4.4. PGA (Peak Ground Acceleration)

Oltre che in base alla magnitudo, l’entità di un terremoto è spesso valutata in base

all’accelerazione massima del terreno (accelerazione di picco del terreno, PGA, Peak

Ground Acceleration). 81

82

83

Poiché l’oscillatore semplice smorzato forzato costituisce la schematizzazione dello strumento di

misura, secondo l’espressione (3.33), la risposta dello strumento, sollecitato da uno spostamento del

u del supporto e quindi

supporto di tipo armonico, è direttamente proporzionale allo spostamento g

del suolo, lo strumento di misura prende allora il nome di Si definisce curva di

sismometro.

2 .

risposta del sismometro, la funzione A

α ⋅

1.2

1

0.8 ȟ ¥2

=

Ɩ=1/¥2

0.6

Ɩ Ȧ/Ȧn =1

0.4

0.2

0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Ȧ/Ȧn

Figura 3-8: Curva di risposta del sismometro

Figura 3-8

Osservando la , è possibile notare che, la curva di risposta del sismometro, si mantiene

1

, valori che corrispondono anche alla larghezza di banda. È

all’incirca costante per valori di α >

ora possibile misurare lo spostamento del suolo che risulta proporzionale allo spostamento relativo

della massa M del sismometro.

È stato dimostrato che, uno stesso strumento di misura, può misurare sia le accelerazioni del suolo

ω

che gli spostamenti, a seconda del valore che assume il coefficiente ; poiché la pulsazione

α = ω n

è incognita, è possibile modificare solamente la pulsazione dello strumento di misura in

ω ω n

modo che lo strumento registri o le accelerazioni o gli spostamenti del suolo.

Tabella 3-1

In è evidenziato il funzionamento dello strumento da accelerometro o sismometro in

funzione della frequenza dell’eccitazione sismica e della frequenza propria dello strumento, per uno

/

1 2 .

smorzamento pari a 84

f strumento Hz sisma strumento SISMOMETRO ACCELEROMETRO

f sisma Hz Ȧ Ȧ Ȧ/Ȧn

0.25 0.1 1.6 0.6 2.500 SI NO

1.00 0.1 6.3 0.6 10.000 SI NO

3.00 0.1 18.8 0.6 30.000 SI NO

10.00 0.1 62.8 0.6 100.000 SI NO

0.25 1 1.6 6.3 0.250 NO SI

1.00 1 6.3 6.3 1.000 SI SI

3.00 1 18.8 6.3 3.000 SI NO

10.00 1 62.8 6.3 10.000 SI NO

0.25 10 1.6 62.8 0.025 NO SI

1.00 10 6.3 62.8 0.100 NO SI

3.00 10 18.8 62.8 0.300 NO SI

10.00 10 62.8 62.8 1.000 SI SI

0.25 25 1.6 157.1 0.010 NO SI

1.00 25 6.3 157.1 0.040 NO SI

3.00 25 18.8 157.1 0.120 NO SI

10.00 25 62.8 157.1 0.400 NO SI

Tabella 3-1: Funzionamento dello strumento di misura ad accelerometro o sismometro in funzione della frequenza

dell’eccitazione sismica, f , e della frequenza propria dello strumento, f .

sisma strumento

È possibile notare che, affinché lo strumento funzioni come un sismometro, deve avere frequenza

propria relativamente bassa (il sismografo Wood-Anderson del 1925 aveva frequenza propria di

-4 Hz); per il

1.25 Hz ma i recenti sismometri riescono ad arrivare anche a valori dell’ordine di 10

funzionamento ad accelerometro, lo strumento deve avere frequenza propria superiore ad un certo

valore che è tanto maggiore quanto maggiore è la frequenza dell’eccitazione sismica in esame (gran

parte degli accelerometri in uso al giorno d’oggi hanno una frequenza naturale di 25 Hz che assicura

una curva di risposta piatta fino a frequenze di 10 Hz anche se, accelerometri più moderni, riescono

ad arrivare a frequenze superiori a 200 Hz).

Nel campo delle strutture civili le frequenze di vibrazione da rilevare sono relativamente basse,

questo comporta che, per avere uno strumento in grado di misurare gli spostamenti, un sismometro

K

2

quindi, è necessario raggiungere elevati valori di e, poichè , sono necessari strumenti

α ω =

n M

con massa elevata massa; per ovviare a questo inconveniente si preferisce utilizzare accelerometri e,

mediante operazioni di integrazione, ricavare le misure delle velocità e degli spostamenti di

interesse.

Gli strumenti a cui è stato fatto riferimento finora, rientrano nella categoria degli strumenti

analogici di tipo inerziale; con lo sviluppo della tecnologia, nel corso degli anni, si è passati agli

strumenti di tipo digitale. Tuttavia gli strumenti analogici non sono stati abbandonati del tutto; in

Italia infatti la Rete Accelerometrica Nazionale (RAN), una rete di monitoraggio accelerometrico

distribuita sull’intero territorio nazionale che registra terremoti di media ed elevata intensità, gestita 85

Non sempre le strutture possono essere schematizzate

servendosi di un modello semplice ad un solo grado di

libertà.

In generale esse devono essere rappresentate da modelli

discretizzati con vari gradi di libertà.

In realtà, le stesse strutture sono sistemi continui e,

come tali, presenterebbero un numero infinito di gradi di

libertà. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Sistema oscillante con n masse m e n molle disposte in

i

, i= 1, 2, ..., n.

serie, di rigidezza k i

Le equazioni del moto sono quindi n, una per ciascuna

massa oscillante: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 86

ESEMPIO: TELAI SHEAR-TYPE

N.B. ogni piano è una molla seriale, ma i pilastri di ciascun

piano agiscono in parallelo tra loro. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Nelle equazioni del moto si trascurano le forze di

smorzamento viscoso, e non si è considerata la presenza di

azioni forzanti. Esse possono porsi in forma compatta:

ove [M] e [K] sono, rispettivamente, le matrici di massa e di

rigidezza:

La matrice delle masse è diagonale, quella delle rigidezze è

tri-diagonale. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 87

Si ricerca una soluzione dell’equazione della forma:

Introducendola nella :

si ottiene: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

la precedente relazione è esprimibile anche come:

ove {A} è il vettore delle ampiezze.

Si tratta di un classico problema agli autovalori, poiché il

sistema di equazioni algebriche lineari è omogeneo e la

soluzione ovvia è priva di significato fisico. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 88

Si tratta quindi di annullare il determinante della matrice

entro le parentesi tonde: ! 2

L'equazione polinomiale di ordine n in che scaturisce

dalla condizione sul determinante, costituisce l’equazione

caratteristica del sistema elastico.

! 2 , i = 1, 2, ..., n, si può ottenere

Per ciascun autovalore i

} corrispondente, a meno di un fattore

l’autovettore {A i

arbitrario. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Un sistema oscillante elastico ad n gradi di libertà possiede n

!

pulsazioni proprie, così come n modi propri di vibrare. A

ciascuna pulsazione corrisponde un preciso modo di vibrare.

quella minima tra le n

Si dice pulsazione fondamentale

pulsazioni proprie (ossia quella di periodo massimo).

Si dice modo fondamentale di vibrare la deformata dinamica

corrispondente alla pulsazione fondamentale.

Sia nel caso delle travi e delle lastre inflesse (sistemi continui

ad infiniti gradi di libertà), che nel caso delle strutture

intelaiate (sistemi discreti con un numero finito di gradi di

libertà), i concetti di pulsazioni e modi propri di vibrare

costituiscono i pilastri della cosiddetta Analisi Modale.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 89

L'equazione agli autovalori sarà la condizione essenziale per

l'analisi, anche se le matrici [M] e [K] in genere non sono

diagonali e tri-diagonali ma assai più complesse.

Tale complessità riflette quella della connessione effettiva tra

le masse vibranti, che in genere non si presentano disposte

in serie/parallelo come nel caso shear-type.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 90

Se le masse distribuite di un telaio piano si assumono

concentrate nei nodi, l'equazione di equilibrio si può

trasformare nell’ equazione delle oscillazioni libere:

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

La matrice delle masse [M] è una matrice diagonale che

presenta una massa equivalente in corrispondenza di

ciascuna traslazione nodale e una massa nulla in

corrispondenza di ciascuna rotazione nodale.

La massa equivalente può essere calcolata, in prima

approssimazione, sommando i pesi (divisi per due) delle travi

che confluiscono nel nodo.

Se si volesse considerare la reale distribuzione delle masse

lungo le travi e i pilastri, è possibile applicare il Metodo degli

Elementi Finiti, dividendo ciascuna trave o pilastro in uno o

più elementi finiti. In questo modo, naturalmente, la matrice

delle masse non risulterebbe diagonale.

Nella pratica spesso si opera una ulteriore semplificazione e

approssimazione rispetto al Metodo degli Elementi Finiti e al

Metodo delle Masse Concentrate nei Nodi. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 91

Poiché infatti il momento d'inerzia degli orizzontamenti è

solitamente assai maggiore di quello dei pilastri, si

considerano i traversi orizzontali infinitamente rigidi e le

masse concentrate tutte nei traversi.

Tale schema, già introdotto in precedenza, è detto telaio

shear-type, e la procedura risolvente è conosciuta come

Metodo dei Traversi Rigidi. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 92 93

94

1

SEMPLICE ESEMPIO NUMERICO DEL METODO DI ANALISI DINAMICA

Si vuole qui chiarire con un semplice esempio numerico il metodo di calcolo accennato nel

paragrafo 11.4 degli appunti riguardanti le “AZIONI SISMICHE”.

Si seguono passo passo i punti indicati.

1° - Matrice delle masse e delle rigidezze

Supponiamo che la struttura sia costituita da tre orizzontanti. Sia stata effettuata l’analisi dei

carichi e sovraccarichi e il calcolo delle masse gravitazionali abbiano fornito i seguenti risultati:

×

Orizzontamento Massa gravitazionale kg 3

10

1° 45

2° 45

3° 50

Si supponga che le masse possano essere considerate concentrate ai piani; in tal modo si

ottiene per esse la matrice diagonale:

50 0 0 50 1 0 0 50

= = ⋅ = ⋅

M 0 45 0 45 0 1 0 45 I (1.1)

0 0 45 45 0 0 1 45

Si supponga di aver determinato la matrice delle rigidezze, ottenendo:

18000 22500 13500

= − −

K 22500 40500 21600 (1.2)

13500 21600 54000

2° - Determinazione dei modi come autosoluzioni del determinante caratteristico

Nel secondo punto del paragrafo 11.4 si è rilevato come nel sistema oscillante a n gradi di

⋅ =

M u 0

libertà, in assenza del forzante ( ), e considerando nulli i coefficienti di smorzamento

g

=

viscoso ( ), per la determinazione delle oscillazione libere del sistema denominate modi, si

C 0

ottenga l’espressione matriciale: ⋅ + ⋅ =

M u K u 0

 ω

Si è spiegato poi come, considerando le particolari oscillazioni possibili con cui le masse,

sui diversi piani, possano vibrare con lo stesso periodo ,come se fossero parti di una stessa verga

T

elastica, si ottenga il seguente sistema omogeneo a n equazioni a n incognite:

ω 2

− + ⋅ =

M K Φ 0 (2.1)

Questo ponendo , dividendo ogni equazione per la propria massa, e indicando con

ω λ

2 = I

la matrice unitaria, si può impostare nella forma più conveniente:

− λ

1 ⋅ − ⋅ ⋅ =

M K I Φ 0 (2.2)

L’espressione (2.2) è un sistema omogeneo avente come incognite le componenti

( )

Φ Φ Φ Φ

, ,.., ,., del vettore . Esso ammette soluzioni solamente se il determinante dei

Φ

j j j j

1 2 i n

coefficienti è nullo.

Quindi occorre che risulti nullo il determinante della matrice moltiplicativa del vettore Φ

− λ

1 ⋅ − ⋅ =

M K I 0 (2.3) 95

2 −

× 1 ⋅

n n M K

questo è il determinante caratteristico della matrice quadra , che, uguagliato a

λ λ λ λ

, ..., ,..

zero, determina l’equazione caratteristica che fornisce le n soluzioni proprie , le cui

1 2 i n

radici quadre rappresentano le oscillazioni proprie (modi) del sistema oscillante.

Consideriamo così la matrice fattore del vettore Φ

18000 22500 13500 50 0 0

ω ω

− = = − − − ⋅

2 2

K M K 22500 40500 21600 0 45 0

13500 21600 54000 0 0 45

18000 22500 13500 50 1 0 0

ω ω

− = = − − − ⋅

2 2

K M K 22500 40500 21600 45 0 1 0

13500 21600 54000 45 0 0 1

Ponendo , dividendo ciascuna equazione della (2.1) uguagliata a zero per la rispettiva

ω λ

2 =

massa, si ottiene il sistema omogeneo nella forma (2.2), il cui determinante uguagliato a zero è:

λ

− −

360 450 270

λ

− − −

− = = 0 (2.4)

500 900 480

λ

1 ⋅ − ⋅

M K I λ

− −

300 480 1000

Si ottiene l’equazione caratteristica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

λ λ λ λ λ

− ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − +

360 900 1000 450 480 300 500 480 270 300 900 270 500 450 1000

( )

λ

− ⋅ ⋅ − =

480 480 360 0

da cui si ottiene l’equazione di terzo grado: (2.5)

λ λ λ

3 2

− + ⋅ − ⋅ + =

2260 1047600 72756000 0

l’equazione ammette tre soluzioni proprie reali e distinte:

λ =

 84

,

1618

1

 λ = 523

, 0382 (2.6)

 2

 λ = 1652

,

800

 3 ω λ

=

da cui si ricavano i modi di vibrare . Ordinandoli dalla frequenza più bassa alla più

j j

alta si ha: ω =

 9

.

16

1

 ω = −

22

. 8 (2.7)

 1

s

2

 ω = 40

.

65

 3 π

2

=

dalle pulsazioni si ottengono i periodi sostituendo le (2.7) si ha:

T ω

=

 T 0

. 69 s

1

 =

T 0

. 27 s (2.8)

 2

 =

T 0

.

154 s

 3

3° - Determinazione degli autovalori, componenti del autovettore Φ λ

Il sistema omogeneo (2.2) ammette autovalori quando si sostituisce al parametro

3× 3 ( )

λ λ λ λ

, ,

ognuna delle autosoluzioni determinate, che rendono nullo il determinante dei

j 1 2 3 Φ Φ

coefficienti delle incognite. Queste sono le componenti del vettore del modo j-esimo di

ji j 96

3

ω

vibrazione (di pulsazione ), che costituiscono la distribuzione delle intensità relative del modo

j

considerato su ciascun piano i-esomo. λ =

λ 84

. 1618

Così sostituendo al parametro il valore proprio si ottiene il sistema omogeneo

1

a 3 equazioni a 3 incognite: Φ

− − 0

360 84

. 1618 450 270 11

⋅ × Φ

− − − −

λ

1 ⋅ − ⋅ Φ = = 0

500 900 84

. 1618 480

M K I 1 12

1 Φ

− − 0

300 480 1000 84

. 1618 13

λ

Esso ammette autovalori in quanto il valore di sostituito rende nullo il determinante dei

1

coefficienti. Gli autovalori si ottengono fissando arbitrariamente il valore di una incognita, ad

Φ = Φ Φ

1 ,

esempio , e ricavando dalle 3-1 equazioni indipendenti le restanti incognite .

13 11 12

⋅ Φ − ⋅ Φ + =

 °

275

. 8382 450 270 0 1 indice si riferisce al modo di vibrazion

e

11 12

 notare: 

− ⋅ Φ + ⋅ Φ − = °

500 815

.

8382 480 0 2 indice si riferisce al piano

 

11 12

I valori ottenuti si normalizzano rispetto al valore massimo, dividendo per questo tutti i

valori determinati; così il valore massimo ha il valore 1 e una frazione di questo gli altri. Si ottiene:

Φ = Φ = Φ =

1 0

. 58 0

.

05

, ,

11 12 13

Lo stesso procedimento si esegue per determinare gli autovalori, componenti rispettivi del

Φ

vettore del secondo modo di vibrazione e del terzo modo.

Φ 2 3

Si ottiene: −

1 0 .

63 0

. 55

= = −

Φ 0

.

58 Φ 0

. 45 Φ 1

(3.1) (3.2) (3.3)

1 2 3

0

.

05 1 0

. 99

γ

4° - Determinazione del fattore di partecipazione j

Le oscillazioni libere del sistema a n gradi di libertà sono quei particolari modi di vibrare con

cui i vari orizzontammenti non oscillano indipendentemente l’uno dall’altro, ma

contemporaneamente con un periodo T bene definito, come se fossero elementi appartenenti ad una

stessa verga elastica vincolata alla base. Esse costituiscono i modi principali del sistema.

L’importanza di esse è che, una qualunque deformazione, assunta per effetto della forzante, può

essere descritta come combinazione lineare dei modi principali di vibrare.

I modi principali non partecipano con la stessa intensità nella combinazione che determina la

deformazione effettiva e le relative spinte. Il modo principale a più basa pulsazione (periodo più

alto) ha un peso maggiore delle altre vibrazioni, la cui influenza diminuisce all’aumentare della

frequenza (al diminuire del periodo). Per questo si definisce un coefficiente di partecipazione

γ ω

modale che tiene conto dell’influenza del modo j-esimo, di pulsazione , alla determinazione

j j

effettiva dello spostamento e alla spinta sismica in una determinata direzione .

R

γ

Il fattore di partecipazione modale è espresso dalla relazione:

j Tj ⋅ ⋅

Φ M R

γ = (4.1)

j *

M j

~ Tj

= ⋅ ⋅

M Φ M Φ

con (4.2)

j j

ove ω

Φ è l’autovettore relativo al modo j-esimo di pulsazione , rappresentato dalla matrice

j j

Φ Φ Φ Φ

, ,.., ,.,

colonna dei suoi componenti relativi ai singoli piani;

j 1 j 2 j 3 jn

Tj Φ

Φ è la matrice trasposta di composta dalla riga dei suoi componenti;

j

matrice diagonale delle masse;

M 97

4

è il vettore direzionale di influenza del terremoto. Nel caso che si supponga che il sisma

R agisca nella stessa direzione dei gradi di libertà, il vettore è un vettore colonna

R

composto da tutti 1. γ

Il fattore di partecipazione modale si pone come termine moltiplicativo nelle formule di

j ω

determinazione delle spinte sismiche sui piani, relative al modo j-esimo di pulsazione j

*

M

4°.1 - Determinazione dell’espressione nei tre modi

j

Dai valori delle componenti ottenute per i tre vettori riportate in (3.1), (3.2), (3.3)

Φ , Φ , Φ

1 2 3

*

M

si ricava per ogni modo il valore numerico di ; (si noti che si ottiene come risultato uno scalare )

j

3°.1.1- Primo modo 1

=

Φ 0

.

58

autovettore 1 0

.

05 50 0 0 1

* T

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

M Φ M Φ 1 0

. 58 0

.

05 0 45 0 0

.

58

1 1 1 0 0 45 0

.

05

* = ⋅

M 1 0

. 58 0

.

05 50 26

. 1 2

.

25

1

* = + ⋅ + ⋅

M 50 0

. 58 26

. 1 0

. 05 2

. 25

1

* =

M 65

. 25

1

4°.1.2- Secondo modo − 0

. 63

=

Φ 0

. 452

autovettore 2 1 −

50 0 0 0

. 63

*2 T

= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

M Φ M Φ 0

. 63 0

. 452 1 0 45 0 0

. 452

2 2 0 0 45 1

*2 = − ⋅ −

M 0

. 63 0

. 452 1 31

.

5 20

. 25 45

*2 =

M 74

.

1

4°.1.3- Terzo modo 0

,

55

= −

Φ 1

autovettore 3 0

.

99 50 0 0 0

. 55

*3 T

= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ −

M Φ M Φ 0

.

55 1 0

. 99 0 45 0 1

3 3 0 0 45 0

.

99

*3 = − ⋅ −

M 0

.

55 1 0

.

99 27

.

5 45 44

. 55

*3 =

M 104 * *2 *3

= = =

Riassumendo: (4.3)

M 65

. 25 M 74

.

1 M 104

1 98

5

T ⋅ ⋅

Φ M R

4°.2 - Determinazione dell’espressione nei tre modi

j

Il vettore è rappresentato da una matrice colonna composto da tutti 1, considerando che il

R

sisma agisca nella stessa direzione dei gradi di libertà. Per i tre modi si ha:

4°.2.1- Primo modo 1

=

Φ 0

.

58

autovettore 1 0

.

05 50 0 0 1

T ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Φ M R 1 0

.

58 0

. 05 0 45 0 1

1 0 0 45 1

T ⋅ ⋅ = ⋅

Φ M R 1 0

.

58 0

.

05 50 45 45

1

T ⋅ ⋅ =

Φ M R 78

. 35

1

4°.2.2- Secondo modo − 0

. 63

=

Φ 0

. 452

autovettore 2 1 50 0 0 1

T ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

Φ M R 0

.

63 0

. 452 1 0 45 0 1

2 0 0 45 1

T ⋅ ⋅ = − ⋅

Φ M R 0

. 63 0

.

452 1 50 45 45

2

T ⋅ ⋅ =

Φ M R 33 .

75

2

4°.2.3- Terzo modo 0

,

55

= −

Φ 1

autovettore 3 0

.

99 50 0 0 1

T ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

Φ M R 0

.

55 1 0

. 99 0 45 0 1

3 0 0 45 1

T ⋅ ⋅ = − ⋅

Φ M R 0

.

55 1 0

.

99 50 45 45

3

T ⋅ ⋅ =

Φ M R 27 . 05

3

Riassumendo: T T T

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = (4.4)

Φ M R 78

. 35 Φ M R 33 .

75 Φ M R 27 . 05

1 2 3

Sostituendo le espressioni (4.3) e (4.4) nella (4.1) si ottengono i coefficiente di partecipazione nei

tre modi: T T T

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

Φ M R 78

. 35 Φ M R

Φ M R 33

. 75 27

. 05

γ γ γ

= = = = = = =

1 3

2

1

.

2

1 2 3

*2 *3

* 65

. 25 74

. 1 104

M M M

1 γ γ γ

= = =

1

. 2 0

.

44 0

. 25 (4.5)

1 2 3 99

6 ~

5° - Determinazione delle masse modali partecipanti M j

Come si è detto i modi di vibrazione non partecipano con la stessa efficacia alla deformazione

o alla spinta sismica: il modo a minore frequenza ha maggiore influenza rispetto alle altre,

interessando una più grande massa partecipante all’oscillazione.

Per determinare il contributo del “modo” all’azione sismica complessiva ci si riferisce alla

~

M

massa partecipante alla vibrazione di quel “modo”, o meglio alla sua % rispetto alla massa

j

totale.

La massa partecipante è data dalla espressione ( )

Tj ⋅ ⋅

Φ M R

~

~ =

γ 2 *j

= ⋅ M

M M oppure (5.1)

j

j j Tj ⋅ ⋅

Φ M Φ

per i tre modi si sono già determinati i seguenti valori:

   

65

.

25 1 .

2

   

γ

*J = =

M 74

.

1 0

.

44

3

×

   

10 kg j

   

104 0

.

25

   

5.1 - Primo modo ~ 2

= ⋅

M 1

. 2 65

. 25

1

~ 3

= ×

M 93

.

96 10 kg

1

5.2 - Secondo modo ~ 2

= ⋅

M 0

. 44 74 .

1

2

~ 3

= ×

M 14

. 3 10 kg

2

5.3 - Terzo modo ~ 2

= ⋅

M 0 .

25 104

3

~ 3

= ×

M 6

. 5 10 kg

3

Massa totale partecipante:

~ ~ ~ ~ ( ) 3

= + + = + + ×

M M M M 93 .

96 14 .

3 6 .

5 10 kg

tot 1 2 3

~ 3

= ×

M 114

.

76 10 kg

tot

Massa % partecipante dei tre modi:

~

M

~ j

= ⋅

M % 100

~

M tot

93

.

96

~ = ⋅ =

M % 100 81

.

87

%

1 114

.

76

~ 14

.

3

= ⋅ = (5.2)

M % 100 12 .

46

%

2 114

. 76

~ 6

.

5

= ⋅ =

M % 100 5

. 66

%

1 114

. 76

Esaminati i valori percentuali ottenuti per le masse partecipanti, nessuna di essi è inferiore al

5%.

6° - Determinazione delle pseudo-accelerazioni dei tre modi

Volendo completare il semplice esercizio proposto, incentrato per sommi capi sul

procedimento di calcolo modale, supponiamo di aver già determinato i parametri riguardanti la

*

a , F , T

pericolosità sismica del sito, in funzione delle coordinate geografiche e del periodo di

g 0 C

T T , T , T

ritorno riferito ad uno stato limite S.L.U; di avere già calcolati i tre periodi che

R B C D

*

separano i quattro rami dello spettro in accelerazione, in funzione di . Inoltre sia stato

T

C 100

7 S

determinato fattore , che tiene conto della categoria di sottosuolo (con il parametro ) e delle

S S

S

condizioni topografiche (con il parametro ). Supponiamo inoltre, considerato il tipo di

T q

costruzione, di avere già determinato il fattore di struttura .

Per una più puntuale determinazione dei su citati parametri analizza l’esercizio di “Analisi

lineare statica” del file “Semplice esercizio sull’analisi lineare statica” in preparazione.

Siano rilevati i seguenti parametri:

nella tabella 1 dell’allegato B, in corrispondenza del codice di identificazione ID si siano

g =

= a 2

.

3

F 2

. 4

rilevati: e l’accelerazione espressa in : g

0 10

9

.

8 2

= ⋅ =

L’accelerazione del suolo in è a 2

.

3 2

.

25 m / s

2

m / s g 10

2

=

a 2

.

25 m/s

Siano: g =

F 2

. 4

0

=

S 1

.

25

=

T 0

.

15 s

B =

T 0 .

5 s

C =

T 2

,

0 s

D

=

q 5

. 88

I periodi propri calcolati per i tre modi sono:

= = =

T 0

.

68 s T 0

.

27 s T 0

.

154 s

1 2 3

Risulta:

Primo modo T

1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C

S T a S F

< <

T T T d 1 1 g 0

C 1 D q T

1 1 0

.

5

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

S 0

. 68 2

. 25 1

.

25 2

.

4

d 1 5

. 88 0

. 68

( ) 2

= (6.1)

S 0

. 68 0

. 844 m / s

d 1

Secondo modo 1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

S T a S F

< <

T T T d 2 2 g 0

B 2 C q 1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅

S 0

.

27 2

.

25 1

.

25 2

.

4

d 2 5

. 88

( ) 2

= (6.2)

S 0

. 27 1

.

15 m / s

d 2

Terzo modo 1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

S T a S F

< <

T T T d 3 3 g 0

B 3 C q 1

( ) = ⋅ ⋅ ⋅

S 0

.

154 2

.

25 1

. 25 2

. 4

d 3 5

.

88

( ) 2

= (6.3)

S 0

.

154 1

.

15 m / s

d 3 F

7° - Determinazione delle forze modali ji

Si vuole ora determinare, per ogni modo di vibrazione e su ogni orizontamento della

×

struttura, la spinta sismica. Questa è una forza d’inerzia (massa accelerazione), nella quale occorre

γ

Φ

considerare l’entità della componente di piano dell’autovettore e il coefficiente di

j

j

partecipazione modale. 101

8

La distribuzione della spinta sismica sui diversi piani si ottiene ponendo come termine

Φ Φ

moltiplicativo la componente di piano dell’autovettore del modo j-esimo (l’indice “j” si

ji j

riferisce al modo e “i” si riferisce al piano).

L’influenza del modo alla spinta sismica è ottenuta ponendo come termine moltiplicativo il

γ

coefficiente di partecipazione modale.

j ( )

S T

L’accelerazione è data dall’ordinata dello spettro di progetto riferita al modo j-esimo

dj j

T

di periodo naturale .

j ( )

γ

= ⋅ Φ ⋅ ⋅

F M S T (7.1)

ji i ji j dj j

=

5.1 - Primo modo T 0

.

68 s

1 1 ( )

= γ =

Φ 0

.

58

3 2

= × =

1

. 2

M 50 10 kg S 0

.

68 0

. 844 m / s

1 1

1 d 1

0

.

05

Si ottiene: =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ F 50

.

64 kN

3

F 50 1 1

.

2 0

.

844 10

Spinta terzo piano 13 13 =

F 26

.

43 kN

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

F 45 0

.

58 1

.

2 0

.

844 10

Spinta secondo piano 12 13 =

F 2

.

27 kN

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

F 45 0

.

05 1

.

2 0

.

844 10

Spinta primo piano 11 13 =

V 79

.

34 kN

Taglio alla base (7.2)

tot

=

5.2 - Secondo modo T 0

.

27 s

2 − 0

. 63 ( )

= γ =

Φ 0

. 452

3 2

= × =

0

.

44

M 45 10 kg S 0

. 27 1

.

15 m / s

2 2

2 d 2

1

Si ottiene: = −

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ F 15

.

94 kN

3

F 50 0

.

63 0

.

44 1

.

15 10

Spinta terzo piano 23 23 =

F 10

.

29 kN

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

F 45 0

.

452 0

.

44 1

.

15 10

Spinta secondo piano 22 22 =

F 22

.

77 kN

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

F 45 1 0

.

44 1

.

15 10

Spinta primo piano 21 21 =

V 17

.

12 kN

Taglio alla base (7.3)

2

tot

=

5.3 - Terzo modo T 0

.

154 s

3 0

,

55 ( )

= − γ =

Φ 1

3 2

= × =

0

. 25

M 45 10 kg S 0

.

154 1

.

15 m / s

3 3

2 d 3

0

.

99

Si ottiene: =

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ F 7

.

9 kN

3

F 50 0

.

55 0

.

25 1

.

15 10

Spinta terzo piano 33 33 102

9 = −

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ F 12

.

93 kN

3

F 45 1 0

.

25 1

.

15 10

Spinta secondo piano 32 32 =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ F 12

.

8 kN

3

F 45 0

.

99 0

.

25 1

.

15 10

Spinta primo piano 31 13 =

V 7

.

77 kN

Taglio alla base (7.4)

3

tot

Spinte sismiche di piano (in kN) Modi di vibrazione

Piani Modo 1 Modo 2 Modo 3

50.64 15

. 94 7

.

90

3° piano −

26.43 10

. 29 12

. 93

2° piano 2.27 22

. 77 12

. 80

1° piano 79

.

34 17

. 12 7

.

77

Taglio alla base

8° - Combinazione degli effetti relativi ai singoli modi

Si consideri, come esempio di combinazione degli effetti, il valore progettuale da assumere

per il taglio alla base a cui contribuiscono i singoli modi.

V

Si rammenta che nel DM 2008 (punto 7.3.3.1) per la combinazione degli effetti relativi ai

singoli modi è utilizzata una combinazione quadratica completa C.Q.C (Complete Quadratic

Combination) degli effetti relativi a ciascun modo, indicata dalla espressione:

1

 

m m 2

∑∑

  (8.1)

ρ

= ⋅

E E E

 

ij i j

 

= =

j 1 i 1

dove:

i indice del modo i-esimo;

j indice del modo j-esimo;

E effetto relativo al modo i-esimo;

i

E effetto relativo al modo j-esimo;

j

m numero di modi significativi presi in considerazione;

ρ coefficiente di correlazione tra il modo i-esimo e il modo j-esimo, calcolato con

ij l’espressione: ξ β

2 3 / 2

8 ij

[ ]

ρ = ( ) ( )

ij 2

β β ξ β

2

+ ⋅ − + ⋅ (8.2)

1 1 4

ij ij ij T j

β β =

è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi: ; ossia è

ij ij T

i

il rapporto tra la pulsazione del modo i-esimo e il modo j-esimo.

Nel caso i esame gli effetti da combinare, ciascuno a meno del fattore , sono i tre tagli:

3

× 10

= = =

V 79

.

34 V 17

.

12 V 7

.

77

1 2 3

Con la combinazione quadratica completa C.Q.C, il taglio da porre a progetto è fornito dalla

espressione : 1

 

3 3 2

∑∑

  (8.3)

ρ

= ⋅

V V V

 

ij i j

 

= =

j 1 i 1 ξ =

= = = 0

. 05

T 0 . 68 T 0

.

27 T 0

.

154

1 2 3 103

10

si ottiene:

T T

β β

= = = =

1 2

1 0

.

397058 … ecc. vedere tabella

11 12

T T

1 1 ρ

si calcolano i parametri . Così per esempio:

ij 2 2

⋅ ⋅

8 0

. 05 0

.

397058

[ ]

ρ =

…. ….. ecc. vedere tabella

( ) ( )

12 2 2 2

+ ⋅ − + ⋅ ⋅ +

1 0

. 397058 1 0

.

397058 4 0

.

05 1 0

. 397058

Periodo Taglio alla base β ρ

Modi ij ij

s kN β ρ

Modo 1 0.68 79.34 1.000000 1.000000

11 11

β ρ

Modo 2 0.27 17.12 0.397059 0.009746

12 12

β ρ

Modo 3 0.154 7.77 0.226471 0.002926

13 13

β ρ

2.518519 0.009746

21 21

β ρ

1.000000 1.000000

22 22

β ρ

0.570370 0.028831

23 23

β ρ

4.415584 0.002926

31 31

β ρ

1.753247 0.028831

32 32

β ρ

1.000000 1.000000

33 33

Sviluppando l’espressione (8.3) si ha: 1

3 ( )

∑ 2

ρ ρ ρ

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

V V V V V V V

1 j 1 j 2 j 2 j 31 j 3 j

j 1

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

 

V V V V V V V V V V V V 2

11 1 1 21 2 1 31 3 1 12 1 2 2 j 2 2 32 3 j 2

 

=

V  

ρ ρ ρ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

V V V V V V

 

13 1 3 23 2 j 33 3 3

sostituendo i valori riportati in tabella si ottiene:

=

V 81.768 kN 104

Il Metodo degli Elementi Finiti Problemi piani:

L’elemento triangolare a 3 nodi

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elementi bidimensionali: stato di tensione piana

In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del

comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo bidimensionale, con un

sufficiente grado di approssimazione. Ciò è possibile ogniqualvolta la generica sezione

trasversale sia rappresentativa del comportamento dell’intero solido

Stato piano di

tensione

Modello solido 2D Stato piano di

deformazione

s Spessore

H unitario o

spessore

effettivo

L Stato piano di tensione: s << L, H

Tensione normale al piano trascurabile

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 105

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elementi bidimensionali: stato di deformazione piana

In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del

comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo bidimensionale, con un

sufficiente grado di approssimazione. Ciò è possibile ogniqualvolta la generica sezione

trasversale sia rappresentativa del comportamento dell’intero solido

Stato piano di

tensione

Modello solido 2D Stato piano di

deformazione Spessore

unitario

s Stato piano di deformazione: s >> L, H

H Deformazione normale al piano trascurabile

L Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi y

Si consideri un solido (omogeneo ed isotropo) e si

ipotizzi che carichi e vincoli, ad esso applicati, siano tali

da generare un campo piano di spostamenti e che tale m

piano sia normale allo spessore. In tal caso è spesso

possibile ricondursi ai casi visti prima di stato di

tensione piana o deformazione piana

y j

s s i x

x

In queste condizioni è possibile rappresentare il Per le ipotesi e le assunzioni fatte

comportamento strutturale del solido con un modello piano. l’elemento può solo spostarsi,

Si divida il solido in una serie di elementi triangolari, di x y

deformandosi, sul piano .

dimensioni finite. Ogni suo punto ha quindi due

Si immagini ora di estrarre uno di tali triangoli dal continuo componenti di spostamento, che

e di studiare il suo comportamento riferendolo ad un u v

indicheremo come e .

sistema di coordinate cartesiano.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 106

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi s x y

Consideriamo quindi l’elemento e, dotato di spessore , nel piano .

i j , m

,

L’elemento è un triangolo di vertici

y Elemento indeformato Elemento deformato

d m

v m Prendiamo anche in

u

m m considerazione ciò che accade

f ad un generico punto interno

v d

v j dell’elemento:

j

u

d u

j

i j

v Quando la struttura viene posta

i sotto carico si deforma.

u

i i L’elemento subisce un campo di

spostamenti, completamente

definibile dagli spostamenti dei

i j m

tre nodi di vertice , ed

x

Le componenti di spostamento del generico punto interno dell’elemento

possono essere espressi come funzioni degli spostamenti nodali.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

s x y

Consideriamo quindi l’elemento e, dotato di spessore , nel piano .

i j , m

L’elemento è un triangolo di vertici ,

y Elemento indeformato Elemento deformato

d m

v {f}

m Indichiamo con il vettore

u

m m degli spostamenti di un generico

f punto interno.

v d

v j {f}

j Le componenti del vettore

u

d u u v

sono e :

j

i j

v  

u

i  

{ }

u

i =

i 

f  

v

x [ ]{

{ } }

e =

{f} {d} e

dipende dal vettore degli spostamenti nodali di elemento f N d

[N]

tramite una matrice che contiene le funzioni di spostamento:

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 107

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

v

y m r = 2

Nel caso di elemento e

u

m m = 3

piano a tre nodi

m e

 

u

v 1

j  

v u v

 

j e

v 1

 

u d

i j  

i

  u

{ } = =

e 2

   

d d

u j

i v

   

i 2

d

   

m

x u

3

 

v

 

3 e

 

d i

[ ]

 

[ ]{ { }

{ } } =

= e  

f N N N d

f N d i j m j

 

d

 

m

[N] [N] [N] 2 2

, ed sono quadrate di dimensioni x

i j m

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

[N] [N] [N]

Le matrici , ed possono essere viste (sempre, non solo in questo caso particolare!)

i j m

come il prodotto di una funzione per la matrice identità:

[ ]  

[ ] [ ] [ ] [ ] 1 0

′ ′ ′

= ⋅ ⋅ ⋅ [ ]  

N I N I N I N =

I

i j m  

0 1

 

N’ N’ N’

e , ed sono funzioni arbitrarie, note con il nome di funzioni di spostamento o di

i j m

forma, le quali legano il campo degli spostamenti interni all’elemento al vettore degli

spostamenti nodali.

Chiaramente: [ ] [ ]

{ } { }

= =

f f ( x , y , z ) , N N ( x , y , z )

k k

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 108

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

N’ N’ N’

Le funzioni , ed dipenderanno dalle coordinate nodali dell’elemento

i j m nodo coordinate

y i , j ,m

Elemento e - nodi x y

i i i

x y

j

m j j

m x y

m m

y m j Le coordinate nodali devono

essere note per poter calcolare

y i

j il vettore degli spostamenti.

y i x

x

i x m x j

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

Le più semplici funzioni di spostamento che possono essere pensate sono di tipo lineare:

= + +

u q q x q y

1 2 3 q

Essendo sei costanti dipendenti dalle

= + + coordinate nodali dell’elemento

v q q x q y

4 5 6

u y u m La superficie rappresenta la

m x y

funzione lineare di e

y P u xy P(x,y) j

u i

i u j

x P N.B. Funzioni di forma lineari garantiscono

u u u

, e rappresentano tre automaticamente la continuità degli spostamenti

i j m

possibili spostamenti nodali tra elementi limitrofi!

x

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

Adottando una funzione di grado superiore si avrebbe una superficie più complessa e la sue

definizione richiederebbe un maggior numero di punti nodali

u y u m

u xy u m

l k

y l

P u k

j

u i q

i u

u j

q

x P

u u u u u u

,

i j m k l q

rappresentano 6 possibili x

spostamenti nodali

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei

nodi esattamente il valore dello spostamento nodale.

= + + = + +

u q q x q y v q q x q y

i 1 2 i 3 i i 4 5 i 6 i

= + + = + +

u q q x q y v q q x q y

j 1 2 j 3 j j 4 5 j 6 j

= + + = + +

u q q x q y v q q x q y

m 1 2 m 3 m m 4 5 m 6 m q

Ne derivano 2 sistemi, di 3 equazioni in 3 incognite, che consentono di calcolare i valori delle .

           

u 1 x y q v 1 x y q

i i i 1 i i i 4

           

       

   

= =

       

u 1 x y q v 1 x y q

 

 

j j j 2 j j j 5

       

   

       

   

u 1 x y q v 1 x y q

           

m m m 3 m m m 6

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

q

I valori delle incognite sono calcolati come segue a a a

, e sono i minori della

Dove

+ + i j m

a u a u a u

Dal primo dei due = i i j j m m matrice dei coefficienti che si

q ∆

sistemi si ha: 1 ottengono escludendo la prima

2 colonna:

y

x

1 i

i

1

∆ = = area del

det

∆ x y

1

e dove ha il significato: j j i j m

triangolo

2 x y

1 Matrice dei

m m coefficienti

Per i minori: = − − = −

= − a x y x y a x y x y

( )

a x y x y j i m m i m i j j i

i j m m j x y x y

1 1

y

x

1 i i i i + – +

i

i y y

x x

1 1

y

x x y

+

1 1

j j

j j i i

j

j – y

x

1

y y

x x

1 1 j

j

y

x

1 m m

m m +

m

m x y

1 m m

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

q

I valori delle incognite sono calcolati come segue

+ +

Ancora dal primo dei b b b

Dove , e sono i minori della

b u b u b u i j m

= i i j j m m

due sistemi si q matrice dei coefficienti che si

2

calcola le seconda 2 ottengono escludendo la seconda

incognita: colonna:

= − = − = −

b y y b y y b y y

i j m j m i m i j c c c

Dove , e sono i minori della

+ + i j m

c u c u c u

= matrice dei coefficienti che si

i i j j m m

q

e la terza incognita: ∆

3 ottengono escludendo la terza

2 colonna:

= − = − = −

c x x c x x c x x

i m j j i m m j i

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

q

Gli altri tre valori delle incognite si ottengono semplicemente introducendo nelle relazioni

v u

precedenti le componenti di spostamento in luogo di = −

a x y x y

i j m m j

+ +

a v a v a v = −

= a x y x y

i i j j m m

q j m i i m

4 2 = −

a x y x y

m i j j i

+ +

b v b v b v

= i i j j m m

q ∆

5 = −

2 b y y

i j m

+ +

c v c v c v = −

= i i j j m m b y y

q ∆ j m i

6 2 = −

b y y

m i j

a a a b b b c c c

avendo , , , , , , , e = −

i j m i j m i j m c x x

gli stessi valori calcolati prima in funzione i m j

delle coordinate nodali dell’elemento e = −

c x x

riportati qui per riepilogo. j i m

= −

c x x

m j i

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

{f}

A questo punto sono calcolabili le componenti del vettore di spostamento dei punti

u v x y

interni all’elemento, e , in funzione degli spostamenti nodali e delle coordinate e .

[ ]

1

= + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅

u ( a b x c y ) u ( a b x c y ) u ( a b x c y ) u

∆ i i i i j j j j m m m m

2 [ ]

1

= + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅

v ( a b x c y ) v ( a b x c y ) v ( a b x c y ) v

∆ i i i i j j j j m m m m

2 [ ]

1

= ⋅ + ⋅ + ⋅

' ' '

u N u N u N u

∆ i i j j m m

2 [ ]

1

= ⋅ + ⋅ + ⋅

' ' '

v N v N v N v

∆ i i j j m m

2 N’

Dove le funzioni sono espresse da:

k

1

′ = + +

N ( a b x c y ) k=i,j,m

per

k k k k

2 Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma

ed in modo più compatto:

e

 

Le relazioni precedenti possono scriversi u e

 

i d

in forma matriciale come segue: i

[ ]

v  

{ }

 

i =  

f N N N d

 

[ ]

 

u u i j m j

[ ] [ ] [ ]

{ } ′ ′ ′

= =  

j

   

f I N I N I N d

 

i j m

 

v v

  m

j

 

u m

  [ ]{

{ } }

v

  = e

m f N d

Si ricorda che le funzioni di spostamento di pendono dalle coordinate del punto interno

b , c e :

all’elemento e dalle coordinate dei nodi mediante le a

k , k k

1

′ = + +

N ( a b x c y ) k=i,j,m

per

k k k k

2

∆ = − − ⋅ − + ⋅ −

2 x y x y x ( y y ) y ( x x )

j m m j i m j i m j

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di deformazione

Sia nell’ipotesi di stato di tensione piana che di deformazione piana il vettore delle

deformazioni può scriversi

 

u u v

  le componenti di spostamento e sono date dalle relazioni:

  x

 

ε x ∂

    ′ ′ ′

= ⋅ + ⋅ + ⋅

{ } v u N u N u N u

= =  

ε ε i i j j m m

y y

 

  ′ ′ ′

= ⋅ + ⋅ + ⋅

v N v N v N v

γ ∂ ∂

    i i j j m m

u v

xy +

  1

∂ ∂ ′ = + +

 

y x ( )

N a b x c y

con: ∆

k k k k

2

ε non è nulla, ma non contribuisce all’energia elastica di

N.b. Nello stato di tensione piana la z

σ

deformazione essendo =0 per ipotesi. Verrà per ora trascurata nella trattazione. Si può

ν

z ε σ σ

= − +

( )

comunque calcolare a posteriori tramite .

z x y

E

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di deformazione

Le derivate assumono quindi le espressioni:

∂ ∂

′ ′

∂ ∂ ∂

N u 1

u N N = + +

= + +

j

i m b u b u b u

( )

u u u ∂ ∆

∂ ∂ ∂ ∂ i i j j m m

i j m x 2

x x x x

∂ ′

′ ∂

∂ ∂

N

N N

v v 1

= + + = + +

j

i m

v v v ( c v c v c v )

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∆

i j m i i j j m m

y y y y y 2

′ ′

∂ ∂

′ ′ ′ ′

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ N N

N N N N

u v

+ = + + + + +

j j

i i m m

u v u v u v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i i j j m m

y x y x y x y x

∂ ∂

u v 1

+ = + + + + +

( c u b v c u b v c u b v )

∂ ∂ ∆ i i i i j j j j m m m m

y x 2 Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di deformazione

Legame tra le componenti della deformazione e spostamenti nodali, in forma matriciale:

 

b 0 b 0 b 0

i j m

 

 

ε x  

 

{ } 1 [ ]{

{ } }

{ }

= = = e

  0 c 0 c 0 c e

ε ε B d

  ε

d

∆ i j m

y 2

  

γ

   

xy c b c b c b

 

i i j j m m  

b 0

k

 

[ ]

[B] 1

La matrice di deformazione ha dimensioni =

B 0 c

  k=i,j,m

per

r r ∆

x ( m), nel caso in esame 3x6, e può essere k k

ε 2

e 

divisa in tre sottomatrici 3x2 del tipo:  

c b

 

k k

[B] sono costanti, infatti non

N.B. Nel caso dell’elemento piano a 3 nodi i termini della matrice

x,y . La deformazione è descritta come costante in tutto l’elemento. Ciò

contengono le variabili

introduce una approssimazione importante nel rappresentare elevati gradienti di deformazione.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di deformazione

La deformazione appena calcolata, in funzione degli spostamenti nodali è quella totale.

Per calcolare correttamente lo stato di tensione, è necessario sottrarre alla deformazione

totale eventuali deformazioni iniziali, quali ad esempio, le dilatazioni termiche:

 

1

 

 

ε x 0  

 

{ } valida nel caso di

= ⋅ ∆ ⋅

=  

T 1

α

ε ε

0 y 0 stato piano di tensione

 

 

 

γ  

x 0 0 

 

1

 

{ } = + ⋅ ⋅ ∆ ⋅ valida nel caso di

(

1 ) T 1

ε ν α

oppure: 0   stato piano di deformazione

0

 

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di elasticità σ

{ }, r

Lo stato di tensione in un punto dell’elemento è descritto dal vettore composto da σ

termini (in questo caso ancora 3).

In condizioni di comportamento elastico del materiale, tale vettore può essere espresso

come : σ

  σ

[D] { }

La matrice ha dimensioni 3x3; il vettore

x

  0

[ ]

{ } (

{ } { }

) { }

σ

= = − + rappresenta l’eventuale stato di tensione residuo

D

σ ε ε σ

y 0 0 preesistente nel materiale prima dell’applicazione

 

τ

  del carico.

xy

[D]

Le matrici per lo stato piano di tensione e per lo stato di deformazione piana si ottengono

σ ε

invertendo le relative relazioni di Hooke, ovvero ricavando le in funzione delle

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di elasticità

[D]

Matrice di elasticità per lo stato piano di tensione

1

= −

(σ )

ε νσ

x x y

E

1

Legge di Hooke scritta per lo stato = −

(σ )

ε νσ

piano di tensione: y y x

E +

τ 2 (

1 ν)

= =

xy

γ τ

xy xy

G E

Invertendo si trova la relazione

[ ]{

{ } }

σ ε

= D

e el

l  

1 0

ν 

[ ] E

=  

D 1 0

ν Stato piano di

− 2  

1 ν 1 - tensione

ν

0 0

 

 

2

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di elasticità ε

[D] ( )

=0

Matrice di elasticità per lo stato piano di deformazione z

[ ]

1

= − + = = +

) 0 )

ε σ ν( σ σ σ ν( σ σ

z z x y z x y

E [ ]  

2

1 1 - ν ν

= − + = −

)

ε σ ν( σ σ ε σ σ

 

x x y

x x y z

E E 1 - ν

dalla legge di [ ]  

2

Hooke si ha: 1 1 - ν ν

= − + = −

)

ε σ ν( σ σ ε σ σ

 

y y x

y y x z 

E E 1 - ν

+

τ 2

(

1 ν)

= =

xy

γ τ

xy xy

G E

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di elasticità ε

[D] ( )

=0

Matrice di elasticità per lo stato piano di deformazione z

 

2

1 - ν ν

= −

ε σ σ

 

x x y

 

1 -

E ν

 

2

1 - ν ν

= − Invertendo si trova la relazione

ε σ σ

  [ ]{

{ } }

σ ε

y y x =

 1 -

E D

ν e el

l

+

τ 2

(

1  

ν)

= = ν

xy

γ τ 0

1

 

xy xy

G E 1 - ν

 

[ ] E(1 - ν) ν

  Stato piano di

=

D 1 0

 

+ − deformazione

(1 2 1 -

ν)(1 ν) ν

 

1 - 2ν

 

0 0

 

2(1 - ν)

σ

Nonostante la componente dello stato tensionale sia diversa da zero, nel caso di

z ε

deformazione piana, non compie alcun lavoro, essendo nulla la e, pertanto, essa non

z

[ ]

D

viene presa in considerazione: la matrice rimane una 3x3.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di rigidezza, stato piano di tensione

Si procede ora al calcolo della matrice di rigidezza nel caso di elemento piano a tre nodi con

stato piano di tensione.

Come si è visto per l’elemento triangolare a deformazione costante i coefficienti della matrice

[B] sono delle costanti. L’integrazione è dunque una semplice moltiplicazione.

t

Indicando con lo spessore (costante) dell’elemento si può scrivere:

 

T

B

i

  [ ]

  [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

e = ⋅ ⋅ ∆

= T

T B D B B B t

 

K B D B V j i j m

 

 

T

B

 

m

 

T T T

B DB B DB B DB La generica sottomatrice può

i i i j i m

  essere scritta come segue:

 

[ ] e = ⋅ ⋅ ∆ [ ] [ ] [ ] [ ]

T T T

K B DB B DB B DB t

  T

= ⋅ ⋅ ∆

K B D B t

j i j j j m

  rs r s

 

T T T

B DB B DB B DB

 

m i m j m m

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di rigidezza, stato piano di tensione

 

b 0

s

 

 

b 0 c

[ ] [ ] [ ] [ ]  

r r [ ]

T 1 1

= ⋅ ⋅ ∆  

= ⋅ ⋅ ∆

K B D B t D 0 c t

 

∆ ∆

 

rs r s s

2 2  

0 c b

 

r r  

c b

 

s s

 

b 0

s

 

b 0 c

[ ] [ ]   t 

= ⋅

r r

K D 0 c 1 0

  ν

 

  ∆

s

rs 0 c b

 4 E

=  

 

r r D 1 0

ν

c b

  − 2  

1

s s ν 1 - ν

0 0

 

 

2

− −

 

1 1

ν ν

+ +

b b c c b c c b

ν

 

[ ] r s r s r s r s

E t 2 2

=  

K − −

− ∆

2 1 1

rs ν ν

1 4

ν  

+ +

c b b c c c b b

ν

 

r s r s r s r s

 

2 2

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

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Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di rigidezza, stato piano di tensione

 

K K K

ii ij im

 

[ ] e =

K K K K 

 ji jj jm

  [ ]

K K K

  K

mi mj mm La generica sottomatrice rs

− −

 

1 1

ν ν

+ +

b b c c b c c b

ν

 

[ ] E t r s r s r s r s

2 2

=

K  

− −

− ∆ 1 1

2 ν ν

rs 4

1 ν + +

 

c b b c c c b b

ν r s r s r s r s

 

2 2

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice di rigidezza, stato piano di tensione

La matrice di rigidezza di elemento completa

 

K K K

ii ii ii

 

 

[ ] E t

e =

K K K K

 

− ∆ ji ji ji

2

1 4

ν  

 

K K K

 

mi mi mi

− − − − − −

 

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

+ + + + + +

b b c c b c c b b b c c b c c b b b c c b c c b

ν ν ν

 

i i i i i i i i i j i j i j i j i m i m i m i m

2 2 2 2 2 2

 

− − − − − −

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

 

+ + + + + +

c b b c c c b b c b b c c c b b c b b c c c b b

ν ν ν

i i i i i i i i i j i j i j i j i m i m i m i m

 

2 2 2 2 2 2

 

− − − − − −

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

+ + + + + + 

 b b c c b c c b b b c c b c c b b b c c b c c b

ν ν ν

j i j i j i j i j j j j j j j j j m j m j m ij m

2 2 2 2 2 2

 

− − − − − −

 

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

+ + + + + +

c b bjc c c b b c b b c c c b b c b b c c c b b

ν ν ν

 

j i i j i j i j j ij j j j j j j m j m j m j m

2 2 2 2 2 2

 

− − − − − −

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

+ + + + + +

 

b b c c b c c b b b c c b c c b b b c c b c c b

ν ν ν

m i m i m i m i m j m j m j m j m m m m m m m m

 

2 2 2 2 2 2

− − − − − −

 

1 1 1 1 1 1

ν ν ν ν ν ν

+ + + + + +

c b b c c c b b c b b c c c b b c b b c c c b b

ν ν ν

 

m i m i m i m i m j m j m j m j m m m m m m m m

 

2 2 2 2 2 2

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 119

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: forze nodali equivalenti

A questo punto devono essere valutate anche le forze nodali equivalenti

[ ] [ ]

{ } { }

= −

e T Forze nodali equivalenti alle deformazioni iniziali

F B D dV

ε 0

ε0 (ex: dilatazione termica)

V

[ ]

{ } { }

=

e T

F B dV

σ Forze nodali equivalenti alla tensione iniziale (ex:

0

σ0 tensioni residue)

V

{ } [ ] { }

= −

e T Forze equivalenti a carichi uniformemente

F N p dV

p distribuiti (ex: forze di massa)

V  

X

{ } =  

p

Per l’elemento piano  

Y

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: forze nodali equivalenti

Forze nodali equivalenti alle deformazioni iniziali

 

T

B D ε

i 0

 

[ ] [ ]

{ } { }

T = − ⋅ ⋅ ∆

= − ⋅ ⋅ ∆

e T

B D t

F B D t ε

ε j 0

0

ε0  

T

B D ε

 

m 0

r

-esimo

Per il singolo sottovettore si ha:  

1

   

b 0 c [ ]

1

[ ] [ ]

{ } { } = − ⋅ ⋅ ⋅ ∆

T r r

= − ⋅ ∆ D 1 t

αT

 

F B D t

ε ∆

ε0 0 c b 

2

r  

r r r 0

 

 

1 +

 

   

b 0 c b b

ν

[ ] t E t

αT αT

= − ⋅ = −

r r r r

 

D 1

  +

− 2 c c

 

0 c b 2

(

1 )

  2 ν

ν

  r r

r r 0

 

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 120

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: forze nodali equivalenti

Il vettore completo che rappresenta le forze equivalenti ad una dilatazione termica dell’elemento,

∆ T della temperatura, può quindi essere scritto come segue:

dovuta ad un incremento +

 

b b

ν

i i

 

+

c c

ν

 

i i

+

 

 

b b

ν

{ } E t

αT

e = − j j

 

F +

0

ε 2 c c

2

(

1 ) ν

ν  

j j

 

+

b b

ν

m m

 

+

 

c c

 

ν m m

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012)

Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento piano triangolare a 3 nodi: forze nodali equivalenti

Le forze nodali equilibranti i carichi uniformemente distribuiti sull’elemento

possono essere espresse come segue: ′

 

 

I

N 

 i

 

 

 

{ }  

[ ] { } { }

 

∫ ∫

= − = −

e T 

  

F N dV p I

N dV p

 

p j

 

   

V V

 

 

I

N

 

 

m

r

-esimo

Per il singolo sottovettore si ha:  

X

 

{ } [ ] { }   ′

′ ∫

 

∫ = −

= − N dV

F I N dV p

    r

p r

 

r  

Y V

V

Il vettore completo, come si è fatto nei casi precedenti, si ottiene facilmente dal sottovettore

generico permutando gli indici.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti

L.Cortese (a.a. 2011-2012) 121

122


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
SSD:
Università: Pavia - Unipv
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher beamacchia89 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pavia - Unipv o del prof Gobetti Armando.

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