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Dinamica delle

Strutture

A cura di Beatrice Cartoni

Seconda raccolta di materiale scaricato via web, più curata nella sintesi e più inerente alle richieste

poste dal prof. Gobetti nel corso dell’orale.

“Dinamica delle strutture” UNIPV – Ingegneria Civile.

Anno 2013

Indice

Dinamica dei sistemi e Principi Base

- Il principio di D Alembert …………………………………………………………………………………………………………………6

- Massa e peso ………………………………………………………………………………………………………..…………………………6

- Il principio delle potenze virtuali ………………………………………………..……………………………………………………7

- Equazione di Lagrange………………………………………………………………………………………..……………………………8

SISTEMI DISCRETI SDOF

- Oscillatore Semplice lineare…………………………………………..………………………………...……………………………11

- Oscillatore Semplice non lineare (introduzione).……………………………………………………………………………12

- Eq. Moto …………………………………………………………………………………………………….…………………………………12

- Oscillazioni libere non smorzate………………………………………………….…………………………………………………16

- Oscillazioni libere smorzate……………………………………………………………………………………………………………19

- Oscillazioni forzate armonicamente………………………………………………………………………………………………25

- Risposta ad un’azione periodica………………….…………………………………………………………………………………33

- Azione Impulsiva…………………………………………………………..……………………………………………………………….36

- Azione generica…………………………………………………………………..…………………………………………………………40

- Determinazione del Rapporto di Smorzamento (ξ) (Dispende del prof.)…………………………………………43

Risposta ad un’azione periodica

- FFT (trattazione completa)…………………………………………………………………………………………………………….45

- FT (trasformata di Fourier e algoritmo FFT trattati in modo semplice)…………………………………………..54

Isolamento delle fondazioni

- Isolamento sismico………………………………………………………………………………………………………………………..59

- Base Teorica…………………………………………………………………………………………………………………….…………….62

- Trasmissibilità (Dispende del prof.)………..………………………………………………………………………………………69

La misura del terremoto

- Sismometro…………………………………………………………………………………………………………………….……………..75

- Accelerometro……………………………………………………………………………………………………………………………….78

- Confronto ………………………………………………………………………………………………………..……………………………83

SISTEMI DISCRETI MDOF

- Oscillatore Multiplo…………………………………………………………………………………………….…………………………86

- Dinamica dei sistemi di travi (Metodi per discretizzare dominio continuo)…………………………………….91

- Metodo dei Traversi Rigidi: Shear Type………………………………………………………………………………………….93

- Esempio di Shear Type (es anche di Analisi Modale)………………………………………………………………………95

- MEF problema monodimensionale (triangolo)……….……………………………………………………………………105

Oscillazioni in campo non lineare

- SDOF non lineare………………………….…………………………………………………………...………………………………..122

- MDOF non lineare…………………………………….…………………………………………….…………………………………..133

2

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2.1 Il principio di D Alembert

La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di DA-

che semplicemente aerma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l azione

lembert,

delle forze attive , di quelle reattive e delle :

m

forze di inerzia

F a

i i i i

+ = 0 (i = 4, 2, ) (1.1)

m . . . , N

F a

i i i i

In questa equazione indica la massa ed l accelerazione del punto materiale del

m i

a

i i

sistema. La forza d inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l accelerazione

(cambiata di segno) del corpo puntiforme.

L accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio un

corpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superÞcie della Terra

risulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidale

al centro della Terra ed è orientato verso le stelle infatti rispetto a quest ultimo

Þsse; , e quindi

riferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, $ T

2

ha un accelerazione (centripeta) di valore $ essendo la distanza del corpo dall asse

r, r

T

terrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo in

un certo tipo di riferimento privilegiato.

I riferimenti di questo tipo sono detti Un modo per deÞnire un riferimento

inerziali.

inerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha lorigine solidale ad una massa isolata

Per massa isolata si intende un corpo che si trovi

ed è orientato verso le stelle Þsse.

così distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stelle

sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risulta

Þsse

comunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni,

ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o meno

accurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stelle

è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nel

Þsse

baricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un approssimazione un

po meno buona. Ai pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimento

Þni

solidale alla superÞcie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infatti

l accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all equatore) si ha:

µ ¶

2

2 m

rad 32

2 6

6 40 m 3.47 40

= $ r

a × · ' ·

'

T

T 2 2

24 3600 sec sec

·

cioè appena lo 0.3% dell accelerazione di gravità.

Nell eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in

tutti quei riferimenti in cui l accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto,

se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativo

uniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse appros-

simazioni accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra con

moto uniforme rispetto ad uno (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerare

Þsso

inerziale.

1.2.2 Massa e peso

La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno una

massa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo 6

3

1.2 Dinamica dei sistemi

né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro signiÞcato per la massa (gravitazionale):

essa è una costante che misura l intensità della forza di gravitazione che una particella è

in grado di scambiare con un altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alle

forze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamente

coincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profonda

spiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione.

Poiché il peso dei corpi non è altro che l eetto delle forze gravitazionali che essi

= in cui

scambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: m g, g

p i i

è l accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terra

1

nei punti prossimi alla sua superÞcie. Il modulo del vettore cambia poco da un punto

g

all altro della superÞcie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a:

2

= 9.84 m/sec

g

Nel sistema MKS l unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un unità

fondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton

2

(N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N = kg m/sec ).

·

Quindi un corpo che ha massa = 4 kg ha un peso

m = = 4 9.84 N

p m g

· ·

Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l unità di forza chilogrammo-forza,

comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è la

forza peso esercitata da una massa di un chilo, cioè:

4 kgf = 4 kg = 9.84 N

g

·

Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressa

in kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : = 4/g =

m

4/9.84 kgf/g.

1.2.3 Il principio delle potenze virtuali

Poiché, grazie al principio di D Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte a

quelle della statica con l aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1)

possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Li-

2 , le equazioni di equilibrio

mitandoci al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci

1 Due particelle di massa ed si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masse

m m

1 2

ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:

m m

1 2

G

F =

12 2

r 12 38 32 31

3

La costante di gravitazione universale è piccolissima (G ); per questo motivo

G = 6.66 10 cm sec g

×

la forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei due

corpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha eetti signiÞcativi. Su

piccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segno

opposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia è

generalmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala le

forze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengono

prevalenti e dominano nella meccanica celeste.

2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all attrito. 7

4

1.2 Dinamica dei sistemi

dinamico si possono esprimere: N

X 0

= (F ) = 0 (1.2)

m a v

×

i i i i

i=1 3

0 indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli ,

in cui Þssi

v

i

mentre indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell eq. (1.2) non compaiono le

×

forze reattive, il che normalmente costituisce una notevole sempliÞcazione.

1.2.4 Equazione di Lagrange

Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano anche

olonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha gradi di

n

libertà, le coordinate di ogni suo punto si possono esprimere in funzione di parametri

P n

i

(t) (k = 4, 2, detti coordinate lagrangiane del sistema:

liberi, . . . , n),

q

k (t) = [q (t), (t), (t); (1.3)

P P q , q t]

· · ·

i i n

1 2

L espressione della velocità di un punto mediante le coordinate lagrangiane si determina

derivando l eq. (1.3): X CP CP

i

i + (1.4)

= q

v ú

i k

Cq Ct

k

k

Nel caso di vincoli non dipende esplicitamente da e quindi l ultimo termine nella

P t

Þssi i 0 indica un atto di moto virtuale, essendo questo per deÞnizione

(1.4) viene a mancare. Se v

i

relativo a vincoli si avrà:

Þssi, X CP

i

0 0 (1.5)

= q

v ú

i k

Cq

k

k

Sostituendo l eq. (1.5) nella equazione delle potenze virtuali (1.2), dopo aver scambiato

gli ordini di somma si ha: " #

n N

f X

X CP

i

0

(F ) =0

m

q a

ú i i i

k Cq

k

i=1

k=1 0 , implica il sistema di equazioni:

Questa, per l arbitrarietà dell atto di moto virtuale q

ú

k

N

N X

X CP

CP i

i =0

m a

F i i

i Cq Cq

k k

i=1

i=1

che può scriversi: N

X CP

i = (1.6)

m Q

a

i i k

Cq

k

i=1

3 0

Cioè, deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da anche se queste

t,

v

i

equazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad una

0

linea, che a sua volta si sposta, deve essere tangente alla linea considerata nella sua posizione al

Þssa

v

tempo senza tener conto del moto del vincolo.

t, 8

5

1.2 Dinamica dei sistemi

Avendo introdotto le forze generalizzate N

X CP

i

=

Q F

i

k Cq

k

i=1

Indicando con la velocità del punto , l energia cinetica del sistema è deÞnita dalla

P

v

i i

relazione: N

X

4

= (1.7)

T m v v

×

i i i

2 i=1

Derivando la (1.7) relativamente a e tenendo conto della (1.4), risulta:

q

ú

k

N N

X X

Cv CP

CT i i

= =

m m

v v

i i i i

C C Cq

q q

ú ú

k k k

i=1 i=1

Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell equazione precedente,

si ottiene: N N

X X

CP Cv

CT

d i i

= + (1.8)

m m

a v

i i i i

C Cq Cq

dt q

ú

k k k

i=1 i=1

Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene:

N

X

CT Cv

i

= m v

i i

Cq Cq

k k

i=1

combinando questa equazione con la (1.8), si ha:

N

X CP CT CT

d

i

=

m a

i i Cq C Cq

dt q

ú

k k k

i=1

E quindi, sostituendo questo risultato nell eq. (1.6), si ottiene l equazione di Lagrange:

CT CT

d = (1.9)

Q

k

C Cq

dt q

ú

k k

Questa equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quanto

permette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia stata

scritta l espressione esplicita dell energia cinetica.

L eq. (1.9) si sempliÞca ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conserva-

), delle coordinate del sistema,

tive, cioè se esiste una funzione potenziale (P , P , , P

U · · · N

1 2

tale che: CU

= (1.10)

F

i CP

i

In questo caso l espressione della forza generalizzata diviene:

N

N

X X

CP CP

CU CU

i i

= = =

Q F

i

k Cq CP Cq Cq

i

k k k

i=1 i=1 9

10

S D

ISTEMI ISCRETI 11

12

13

L'equazione del moto di una massa elementare soggetta ad

una forza di richiamo elastico e ad una forza di natura

viscosa si scrive:

ove x  l'elongazione della

molla elastica lineare, che

dipende dal tempo t, m  la

massa, c  la costante di

smorzamento viscoso, k  la

rigidezza della molla.

(derivate rispetto al tempo t ) Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Essa rappresenta la nota equazione dinamica: forza = massa

accelerazione, ove tra le forze applicate alla massa non

x

figurano forze esterne al sistema (oscillazioni libere).

Entrambe le forze attive:

sono negative in caso di elongazioni e, rispettivamente, di

velocitˆ positive. Una interpretazione alternativa pu˜ essere

data alla equazione tramite il Principio di d'Alembert, il quale

afferma che ciascuna massa si trova in equilibrio nel proprio

sistema di riferimento, una volta soggetta a tutte le forze

attive e passive.

Le forze passive sono le forze di inerzia, cio le forze che si

oppongono alle accelerazioni, ottenute moltiplicando queste

per la massa. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 14

Quando tra le forze applicate alla massa non figurano forze

esterne ma solo forze interne (elastiche e viscose) e passive

(inerziali), i movimenti del sistema vengono detti oscillazioni

libere.

La soluzione dellÕequazione dinamica presenta la seguente

forma:

Sostituendo si ottiene: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

st

Dividendo per mCe e ponendo:

Si ha: !

avendo definito la Òpulsazione naturaleÓ. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 15

In questo caso le due soluzioni diventano:

ove i  l'unitˆ immaginaria, cos“ che la risposta  data da:

Òoscillatore armonicoÓ Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Ricordando che:

la soluzione x(t) si pu˜ riscrivere come segue:

ove le costanti A e B sono esprimibili tramite le condizioni

iniziali. " $

= # )

x(t) Asin( t

Alternativamente:

"

con detta ÒfaseÓ. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 16

PoichŽ infatti:

lÕequazione diventa: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

La precedente espressione  dimensionalmente omogenea,

! ha la

poichŽ la pulsazione naturale (o velocitˆ angolare)

Ð1 , ed  misurata in radianti per unitˆ di tempo.

dimensione [T]

naturale f, peraltro,  misurata in Hertz (cicli per

La frequenza

unitˆ di tempo):

mentre il suo inverso rappresenta il periodo naturale T :

m

"

=

T 2 k

(sec)

n.b. periodo proporzionale al rapporto masse/rigidezzaÉ

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 17

II moto pu˜ essere descritto anche dalla seguente

espressione : X = ampiezza Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

ove l'ampiezza (max estensione dello spostamento a partire

dalla configurazione di equilibrio)  data da:

e l'angolo di fase iniziale da: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 18

In questo caso le due soluzioni della:

sono: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Si verificano tre differenti tipi di moto, a seconda che la

quantitˆ sotto radice quadrata sia positiva, negativa o nulla.

!

(Condizione di smorzamento critico): = c/2m

1¡ caso

II valore critico della costante di smorzamento viscoso :

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 19

L'introduzione delle condizioni iniziali fornisce la risposta

dinamica:

Questa risposta non presenta oscillazioni attorno alla posizione

di equilibrio, ma soltanto un decadimento esponenziale verso

tale posizione.

La condizione di smorzamento critico  la minima viscositˆ per

cui non si verificano oscillazioni libere. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

! "

2¡ caso: (Sistema sotto-smorzato): c < 2m ( < 1)

"

Lo smorzamento si scrive come rapporto tra la costante c

:

e il suo valore critico c c

"

ove  detto rapporto di smorzamento.

Inserendo tale valore nellÕequazione: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 20

ossia: "

con 0 1. Essa si pu˜ anche esprimere come:

! ! !

dove la pulsazione smorzata in funzione della naturale :

D T

=

T

D ( )

2

#

1"

La viscositˆ quindi aumenta il periodo. Nei casi pratici, ove

" !

< 1/4, essa  vicina alla pulsazione naturale .

usualmente Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

La risposta dinamica di un sistema sotto-smorzato si ottiene

sostituendo le soluzioni precedenti nell'equazione del moto:

Si ottiene: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 21

In figura  rappresentata la legge del moto di un oscillatore

sotto-smorzato, con

La massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio con

ampiezza decrescente in modo esponenziale.

Le elongazioni max e min non corrispondono esattamente agli

! #

Ð

istanti in cui cos( ) = ±1 , ma agli istanti in cui la velocitˆ

t

D

si annulla per cambiare poi di segno (punti stazionari).

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

SPAZIO DELLE FASI

ú (t)

x ú (t)

x x(t)

x(t)

MOTO NON SMORZATO MOTO SMORZATO

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 22

SPAZIO DELLE FASI - CAOS

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

"

Per valutare sperimentalmente il rapporto di smorzamento ,

prendiamo due qualsiasi picchi positivi successivi, x e x .

n n+1

Il rapporto di questi due valori

 approssimativamente: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 23

II logaritmo naturale di entrambi i membri  detto decremento

$

logaritmico :

Si ha quindi:

essendo: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Per bassi smorzamenti, si pu˜ scrivere:

e quindi: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 24

Un metodo semplice per stimare il rapporto di smorzamento

"  quello di contare il numero di cicli necessari per produrre

una riduzione del 50% nell'ampiezza di oscillazione.

"

Con = 0.1 (valore tipico in molti casi pratici), l'ampiezza si

riduce del 50% in un solo ciclo. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Nel caso in cui un oscillatore armonico sia sottoposto ad

!

una sollecitazione forzante armonica F sin t, l'equazione

F

dinamica diventa non omogenea:

!  la pulsazione della forzante.

F Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 25

La soluzione particolare x (t) rappresenta la risposta

p

specifica generata direttamente dalla sollecitazione esterna,

mentre la soluzione complementare x (t) rappresenta la

c

risposta di vibrazione libera del sistema:

L'ampiezza C della soluzione particolare si ottiene da:

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Dalla precedente si ricava:

L'ampiezza della soluzione particolare vale quindi:

%

, detto rapporto di frequenza,  il rapporto tra la pulsazione

della sollecitazione applicata e la pulsazione propria o

naturale del sistema: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 26

La soluzione generale dell'equazione del moto:

 la somma delle soluzioni complementare e particolare, con

C espresso come sopra: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

I valori delle costanti arbitrarie A e B dipendono dalle

condizioni iniziali. Nel caso in cui il sistema sia a riposo

nell'istante iniziale:

le due costanti assumono i seguenti valori: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 27

La soluzione pu˜ quindi venire riscritta come:

IMP: Nei casi pratici lo smorzamento viscoso tende ad

annullare, al trascorrere del tempo, il secondo termine,

che  quindi detto risposta transitoria.

Il primo termine invece persiste, tenuto in vita dalla stessa

forza esterna pulsante, e amplificato dal fattore di

% 2

risonanza 1/(1 Ð ).

n.b. lÕoscillazione non smorzata  in fase con la forzante

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Nel caso in cui siano presenti anche forze di natura viscosa,

l'equazione del moto diventa quindi: "!

Si divide per m, ricordando che c/m = 2 : Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 28

La soluzione complementare  rappresentata dalla risposta di

oscillazione libera smorzata:

mentre la soluzione particolare  del tipo:

Il secondo termine dice che la risposta di un sistema

smorzato non  in fase con la sollecitazione forzante.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Si ricava la soluzione del moto completa:

Il primo termine rappresenta la risposta transitoria (le

costanti A e B dipendono dalle condizioni iniziali). Tale

risposta tende a spegnersi con il tempo.

Al contrario, il secondo termine rappresenta la risposta

stazionaria, che ha la medesima pulsazione della

sollecitazione ma  fuori fase rispetto ad essa.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 29

La risposta stazionaria (a regime) pu˜ venire espressa anche

come segue:

con:

n.b F/k rappresenta la risposta statica del sistemaÉ

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Si definisce fattore di amplificazione dinamica il rapporto D

tra l'ampiezza massima della risposta dinamica stazionaria e

lo spostamento statico prodotto dalla forza esterna F :

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 30

"

Tale fattore tende all'infinito (risonanza) quando 0

!

% ! !

1 ( ).

(assenza di smorzamento) e ! !

F "

In generale esso  funzione del rapporto di smorzamento

% .

e soprattutto del rapporto di frequenza Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

"

Per rapporti di smorzamento sufficientemente piccoli:

il rapporto di frequenza per cui si ha il picco nell'ampiezza

della risposta stazionaria :

mentre il picco vale: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 31

Se la frequenza della sollecitazione coincide con quella

%

naturale del sistema ( = 1, risonanza) si genera l'aumento

progressivo e lineare nell'ampiezza dell'oscillazione.

Oscillazioni

in risonanza

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Le nozioni suddette sono di particolare utilitˆ nella

progettazione degli edifici antisismici, e in tutti quei casi in cui

risulti necessario isolare dinamicamente un elemento di un

sistema rispetto ad un altro elemento contiguo e vibrante.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 32

TACOMA NARROWS BRIDGE

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Oscillatore armonico soggetto a sollecitazione periodica F(t).

la risposta

Tale funzione  esprimibile in serie di Fourier;

relativa a ciascun termine della serie sarˆ del tipo giˆ

considerato per la sollecitazione armonica;

Applicando il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, la

risposta totale sarˆ la somma delle risposte parziali.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 33

La funzione periodica nota F(t)  esprimibile come:

Nella precedente relazione T rappresenta il periodo della

F

sollecitazione e i coefficienti sono forniti dalle seguenti

espressioni: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

! &

= 2

Se / T indica la pulsazione della sollecitazione F(t),

F

F ! !

= n .

l'armonica di ordine n possiede una pulsazione n F

La risposta stazionaria che si produce in un oscillatore

armonico non smorzato in relazione a ciascuna delle n

sollecitazioni armoniche della serie  fornita dalla:

con l'omissione del termine transitorio: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 34

ovvero:

ove:

La risposta stazionaria relativa alla componente costante

della sollecitazione,  semplicemente rappresentata dallo

spostamento statico: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

La risposta stazionaria totale  quindi data dalla somma di

tutti i contributi:

ove i coefficienti a , b sono forniti dalle equazioni

n n

precedenti, mentre: ! !

= n F

n ! !

% =n ( / ).

n F Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 35

La sollecitazione impulsiva  di durata relativamente breve,

per cui lo smorzamento viscoso non ha l'importanza che si 

vista per le sollecitazioni periodiche nel controllare la

risposta massima.

La risposta massima alla sollecitazione impulsiva viene

raggiunta entro un intervallo di tempo molto breve, prima che

le forze smorzanti possano assorbire una quantitˆ di energia

sufficiente.

Per queste ragioni nel seguito si considererˆ soltanto la

risposta non smorzata rispetto a carichi impulsivi.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Si consideri l'impulso

sinusoidale in figura.

Durante la prima fase (t < t ) l'oscillatore  soggetto alla

F

sollecitazione armonica, iniziando dalla condizione di quiete.

La risposta non smorzata, comprendente sia il termine

transitorio che quello stazionario,  fornita dalla:

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 36

Nella seconda fase (t > t ) l'oscillatore  libero di vibrare e il

F

suo moto dipende dallo spostamento e dalla velocitˆ che si

hanno al termine della prima fase, rispettivamente:

Tale moto pu˜ essere descritto dallÕequazione delle

oscillazioni libere:

ossia: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

% ! !

L'entitˆ della risposta dinamica, per < 1 ( < , massa

F della

piccola) dipende dal rapporto tra la durata t

F

sollecitazione impulsiva e il periodo proprio della struttura T.

/T .

Il rapporto x(t) / (F/k) dipende quindi da t F

In figura  riportato il caso t /T = 3/4 , da cui si ottiene una

F

risposta dinamica massima pari a 1.77 volte quella statica.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 37

% ! !

Mentre per > 1 ( > , massa prevalente), la risposta

F

dinamica massima avviene durante la seconda fase, quella di

oscillazione libera.

Lo spostamento e la velocitˆ iniziali per questa fase sono

! #

ottenibili ponendo t = nellÕequazione:

F F Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

L'ampiezza della oscillazione libera  data dalla:

e quindi vale:

Il fattore di amplificazione dinamica D:

%

dipende perci˜ dal solo rapporto . Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 38

Lo spettro di risposta alla sollecitazione impulsiva riporta il

fattore di amplificazione D in funzione del rapporto tra la

durata t dell'impulso e il periodo naturale T dell'oscillatore.

F

In figura si riportano tre diversi spettri corrispondenti a tre

forme di sollecitazione impulsiva: sinusoidale, rettangolare,

triangolare. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Per impulsi di durata particolarmente breve, il fattore di

amplificazione risulta piccolo, poichŽ gran parte della

sollecitazione applicata viene contrastata dall'inerzia

dell'oscillatore, cos“ che nella struttura si producono sforzi

molto minori di quelli creati da sollecitazioni pi durevoli.

Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 39

Per sollecitazioni di lunga durata (t / T > 1), il fattore di

F

amplificazione dinamica dipende principalmente dalla

rapiditˆ con cui la sollecitazione raggiunge il suo massimo

valore. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

L'analisi precedente che approssima la risposta di un

oscillatore ad un impulso di breve durata pu˜ utilizzarsi per

valutare la risposta ad una sollecitazione dinamica generica.

Si consideri una sollecitazione arbitraria F(t), e, in particolare,

$ $

) agente nell'istante di tempo t = .

l'intensitˆ del carico F( Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 40

Tale carico, agente durante l'intervallo di tempo infinitesimo

$ $ $

, produce l'impulso F( )d sullÕoscillatore e, per valutare la

d

risposta a tale impulso, si utilizza la: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

Sebbene lÕequazione  solo approssimata per impulsi di

durata finita, essa diviene esatta per impulsi di durata

infinitesima: Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 41

INTEGRALE DI DUHAMEL

L'intero processo di carico pu˜ essere considerato come

formato da una successione di brevi impulsi, ciascuno con

una propria risposta differenziale della forma precedente.

Per la linearitˆ del sistema elastico  possibile quindi

sommare tutti questi contributi e ottenere cosi la risposta

totale:

Tale equazione  generalmente nota come integrale di

Duhamel per i sistemi privi di smorzamento. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO

TRASFORMATA DI FOURIER

Sebbene lÕanalisi nel dominio del tempo prima descritta sia

del tutto generale, talvolta risulta pi conveniente effettuare

un'analisi nel dominio delle frequenze, tramite le trasformate

di Fourier.

Tale approccio  concettualmente simile alla procedura

relativa alla sollecitazione periodica prima presentata.

Entrambe queste procedure esprimono la sollecitazione

applicata in termini di componenti armoniche, valutano la

risposta dell'oscillatore a ciascuna armonica e quindi

sovrappongono le risposte armoniche per ottenere la

risposta dinamica totale. Bernardino Chiaia - POLITECNICO Di TORINO 42

43

44

Appendice B

FAST FOURIER TRASFORM-FFT

La trasformata discreta di Fourier svolge un ruolo molto importante nello studio,

nell’analisi e nell’implementazione di algoritmi dei segnali in tempo discreto. Come si

è visto nel capitolo precedente, è molto conveniente studiare i sistemi nel dominio di

Fourier.. La trasformata discreta di Fourier campiona ad intervalli regolari la

trasformata di Fourier del segnale ogni =2πk/N, questo implica calcolare N punti

ω

k

della trasformata discreta di Fourier. A livello computazionale queste operazioni

potrebbero risultare molto pesanti,infatti se ad esempio abbiamo N campioni, la

complessità di calcolo della trasformata discreta di Fourier è di tipo quadratico

nell’ordine N. Per questo è nata la necessità di avvalersi di algoritmi con complessità

minori, quali la FFT. In realtà, l’acronimo FFT indica una classe di algoritmi efficienti

per il calcolo della trasformata discreta di una sequenza periodica. Alcuni di questi

algoritmi sono Goertzel ,quello di "Decimation in time".

B.1 Trasformata di Fourier Discreta

Nel capitolo precedente è stata trattata la rappresentazione di sequenze, si può vedere

come nel caso in cui la sequenza da rappresentare è di durata finita , cioè ha soltanto

un numero finito di valori non nulli, è possibile sviluppare una rappresentazione di

Fourier alternativa, chiamata (DFT). La DFT è una

trasformata di Fourier discreta

rappresentazione di Fourier di una sequenza di lunghezza finita cioè che è essa stessa

una sequenza anziché una funzione continua, e corrisponde a campioni egualmente

spaziati in frequenza della trasformata di Fourier del segnale. 45

B.1.1 Rappresentazione di sequenze periodiche – la serie di Fourier discreta

~ 8

Si consideri una sequenza ( ) periodica con periodo N, cioè tale che sia

x n

~ ~ ~

( )

( ) per ogni valore intero di k. E’ possibile rappresentare ( ) per

x n x n kN x n

= +

mezzo di una serie di Fourier, cioè come somma di sequenze sinusoidali o

cosinusoidali o, in modo equivalente, di sequenze esponenziali complesse con

π

2 associata alla sequenza

frequenze multipli interi della frequenza fondamentale N

periodica. A differenza della serie di Fourier valida per funzioni periodiche continue,

esistono soltanto N esponenziali complessi distinti il cui periodo è un sottomultiplo

intero del periodo fondamentale N. Ciò deriva dal fatto che l’esponenziale complesso

π

2

( )

j nk

N

( ) (B.1)

e n e

=

k ecc., e quindi

è periodico in k con periodo N. Perciò ( ) ( ), ( ) ( )

e n e n e n e n

= =

0 1 1

N N +

l’insieme di N esponenziali complessi rappresentati nella 2.1 con k=0,1,2,…,N-1

definisce tutti gli esponenziali complessi distinti con frequenze che sono multipli interi

π

2

di . Pertanto, per la rappresentazione in serie di Fourier di una sequenza periodica ,

N

~ , bastano soltanto N di questi esponenziali complessi e quindi essa può scriversi

( )

x n

nella forma π

2

1

N −

1 ~ j nk

¦

~ N

( ) (B.2)

( )

x n X k e

= N 0

k = 1 è stata inserita per convenienza e non ha nessun effetto

La costante moltiplicativa N ~ ( )

importante sulla natura della rappresentazione. I coefficienti dalla sequenza

X k

~ si ottengono:

periodica ( )

x n

8 Il simbolo indica sequenze periodiche , è importante per distinguere inseguito le sequenze

periodiche da quelle aperiodiche 46

­

π

2 1

, , intero

per r mN m

1

N =

1 j nr

¦ ®

N (B.3)

e = 0

, altrove

¯

N 0

n = π

2

j nr

N

Perciò moltiplicando entrambi i membri della relazione (B.2) per e sommando

e

da n=0 a n=N-1, otteniamo

π π

2 2

1 1 1

N N N

− − −

1 1 ~ ( )( )

j nr j n k r

¦ ¦¦

N N

( )

e X k e

=

N N

0 0 0

n n k

= = =

ª º

π π

2 2

1 1 1

N N N

− − −

1

~ ( )( )

j nr j k r n

¦ ¦ ¦

~ « »

N N

( ) ( )

x n e X k e

=

N

¬ ¼

0 0 0

n k n

= = =

per cui usando la (2.3) risulta

π

2

1

N − ~

j nr

¦ ~ N

( ) ( )

x n e X r

=

0

n = ~

Perciò i coefficienti ( ) nella (B.2) sono dati da

X k

π

2

1

N −

~ j nk

¦ ~ N

( ) ( )

X k x n e

= %

0

n = ~ ( ) rappresentata dalla relazione (B.4) è periodica con periodo N , cioè

La sequenza X k

~ ~ ~ ~

( 0 ) ( ), (

1

) ( 1

) ecc. Naturalmente, ciò è in accordo col fatto che gli

X X N X X N

= = +

esponenziali complessi rappresentati nell’espressione (B.1) sono distinti soltanto per 47

k=0,1,2,…,N-1, e perciò nella rappresentazione di una sequenza periodica in serie di

Fourier possono esservi solo N coefficienti distinti.

I coefficienti della serie di Fourier possono essere considerati come una sequenza di

lunghezza finita, data dall’espressione (B.4) per k=0,1,2,…,N-1 e zero per valori

diversi di k, o come una sequenza periodica definita per ogni k dalla relazione (B.4).

Le due interpretazioni sono equivalenti. In generale è più conveniente interpretare i

~ come una sequenza periodica. Le relazioni

coefficienti della serie di Fourier ( )

X k

(B.2) e (B.4) possono essere considerate una coppia di trasformate e costituiscono la

rappresentazione di una sequenza periodica in serie di Fourier discreta (DFS). Per

comodità di rappresentazione queste espressioni saranno generalmente scritte in

definito come

termini di W N

π

2

( )

j

− N

W e

=

N

Quindi le formule (di analisi e sintesi) della DFS si scrivono come

1

N −

~ ¦ ~ nk (B.4)

( ) ( )

X k x n W

= N

0

n = 1

N −

1 ~

¦

~ nk

( ) ( ) (B.5)

x n X k W

= N

N 0

k =

~ ~

( ) che ( ) sono sequenze periodiche.

X k x n

GRYHVLD

B.1.2 Rappresentazione di Fourier per sequenze di durata finita – la

trasformata di Fourier discreta

Nel paragrafo precedente si è considerata la rappresentazione di sequenze periodiche

in termini della serie di Fourier discreta. La stessa rappresentazione può essere 48

applicata a sequenze di durata finita, purché la si interpreti correttamente. La

rappresentazione di Fourier che ne risulta verrà indicata come la trasformata di Fourier

discreta (DFT).

Consideriamo una sequenza di durata finita x(n) di lunghezza N in modo che x(n)=0

. Anche se la sequenza è di lunghezza M

eccetto nell’intervallo 0 ( 1

)

n N

≤ ≤ −

minore di N, può essere considerata di lunghezza N con gli ultimi (N-M) punti

dell’intervallo aventi valore zero. la corrispondente sequenza periodica di periodo N,

~

di cui x(n) è un periodo, sarà indicata ( ) ed è data da

x n

¦

~ (B.6a)

( ) ( )

x n x n rN

= +

r = −∞

Poiché x(n) è di lunghezza finita N, non vi è sovrapposizione tra i termini x(n+rN) per

valori di r differenti. Perciò la relazione (B.6 a) può essere scritta nella forma

alternativa

~ (B.6 b)

( ) ( modulo )

x n x n N

= ~

La sequenza di durata finita x(n) si ricava da ( ) estraendone un periodo, cioè

x n

~

­ ( ), 0 ( 1

)

x n n N

≤ ≤ −

®

( )

x n = ¯ 0

, altrove è definito come:

L’impulso rettangolare discreto (n )

R N

~

­ ( ), 0 ( 1

)

x n n N

≤ ≤ −

®

( )

R n =

N ¯ 0

, altrove

La relazione precedente può essere espressa come:

~

( ) (B.7)

( ) ( )

x n x n R n

= N 49

~ ~

Da quanto visto nel paragrafo precedente, la relazione tra ( ) ( )

X k x n

H q

1

N −

~ ¦ ~ nk

( ) ( )

X k x n W

=

N

0

n = 1

N −

1 ~

¦

~ nk

( ) ( )

x n X k W

= N

N 0

k =

Poiché le somme nelle due relazioni precedenti (B.4 e B.5) riguardano solo l’intervallo

tra 0 e (N-1), segue:

­ 1

N −

¦ nk

° ( ) 0 1

x n W k N

≤ ≤ −

N

®

( )

X k = %

0

n =

°

0

, altrove

¯

­ 1

N −

1 ¦ nk

° ( ) 0 1

X k W n N

≤ ≤ −

N

®

( )

x n (B.9)

= N 0

n =

°

0

, altrove

¯

La coppie di trasformate (B.8) e (B.9) è chiamata trasformata discreta di Fourier

(DFT), la (B.8) è l’equazione di analisi e la B.9 è l’equazione di sintesi della sequenza

x(n).

B.2 Algoritmo FFT

Nel paragrafo precedente si è vista la trasformata discreta di Fourier, questa ricopre un

ruolo importante nell’analisi, nel progetto e nella realizzazione di algoritmi e sistemi di

elaborazione numerica dei segnali. Nelle relazioni (B.8) e (B.9) sia x(n) che X(k)

possono essere complesse. Poiché x(n) è in generale complessa si può scrivere 50

1

N −

¦

{ }

kn kn kn kn

( ) (Re[ ( )] Re[ ] (Im[ ( )] Im[ ]) (Re[ ( )] Im[ ] Im[ ( )] Re[ ]) ,

X k x n W x n W j x n W x n W

= − + +

N N N N

0

n =

0

,

1

,.., 1 (

2

.

10

)

k N

= −

Dall’espressione precedente risulta che il calcolo diretto di X(k) richiede 4N

moltiplicazioni reali e (4N-2) addizioni reali per ogni valore di k. Poiché occorre

valutare X(k) per N diversi valori di k, il calcolo diretto della trasformata di Fourier

2

discreta di una sequenza x(n) richiede 4N moltiplicazioni reali e ( 4 2 )

N N −

2 moltiplicazioni complesse e ( 1

)

addizioni reali ovvero, in altri termini , N N N −

addizioni complesse.Oltre alle moltiplicazioni e alle addizioni contenute nella (B.10)

l’esecuzione del calcolo della DFT su un calcolatore numerico d’impiego generale o

con dispositivo ad essa dedicato implica la necessità di memorizzare e di leggere i

kn

W

valori della sequenza d’ingresso x(n) e dei coefficienti . Poiché negli algoritmi di

N

calcolo numerico la quantità di operazioni di lettura e scrittura è proporzionale al

numero di operazioni aritmetiche, il numero di moltiplicazioni e addizioni sono una

misura significativa della complessità dell’algoritmo (tempo di richiesto per eseguire

un algoritmo di calcolo). Quindi, per il calcolo diretto della trasformata di Fourier

discreta, l’efficienza del metodo si può valutare sulla base del fatto che sono

2

4N moltiplicazioni reali e ( 4 2 ) addizioni reali, Poiché la quantità

necessarie N N − 2

(e quindi il tempo) dei calcoli è approssimativamente proporzionale a , per valori

N

grandi di N il numero di operazioni per calcolare la DFT diventa enorme.

La maggior parte delle tecniche usate per migliorare l’efficienza del calcolo della DFT

kn

sfruttano una delle seguenti proprietà delle quantità W

N

( )

k N n kn

1. W W

=

N N

( ) ( )

kn k n N k N n

+ +

2. W W W

= =

N N N

Per esempio sfruttando la prima proprietà, cioè la simmetria delle funzioni seno e

coseno, si possono nella (B.10) raggruppare dei termini come 51

52

53

54

55

16/05/13 La trasformata di Fourier è una figata :-) :B-log(0)

secondo dopo secondo:

L'onda di 'La' del clarinetto che varia nel tempo e viene registrata

tramite oscilloscopio

Se su questa onda x(t) eseguiamo la trasformazione di Fourier otteniamo i valori di ampiezza e di

(la funzione X(f), nel dominio della frequenza), così

frequenza di tutte le sotto-onde che la compongono

da poter analizzare i dettagli “interni” della nota o, se siamo nel campo delle telecomunicazioni, del segnale

telefonico, eliminando (ad esempio) gli errori e le sovrapposizioni causate dalla propagazione dell’onda tra la

sorgente e la destinazione:

Il 'La' del clarinetto scomposto in sotto-onde e passato nel dominio

delle frequenze www.clarinet.it)

(immagini prese da

Basterebbe cambiare bocchino del clarinetto o l’esecutore della nota per avere modifiche alle varie

componenti, e quindi un’onda risultante leggermente diversa. 56

www.blogzero.it/2010/12/10/la-trasformata-di-fourier-e-una-figata/ 3/12

16/05/13 La trasformata di Fourier è una figata :-) :B-log(0)

In questo caso l’onda era piuttosto pulita, infatti vediamo con buona precisione tutte le sottocomponenti a

diversa frequenza (asse X) e le loro ampiezze (asse Y, l’altezza del segnale). Queste due immagini indicano

quindi la stessa onda sonora ma in due modalità diverse… una variabile nel tempo e una variabile nella

frequenza. Il passaggio tra una visualizzazione e l’altra avviene tramite le due equazioni che

abbiamo visto: la trasformata e l’antitrasformata di Fourier.

Come vedremo, la seconda visualizzazione (nel dominio delle frequenze) è utilissima e permette di effettuare

calcoli in modo “semplice” e veloce.

Perchè è utile?

Ok, una volta capito che la trasformata di Fourier scompone un’onda nelle sue sottoparti sinusoidali,

possiamo cercare di capire a cosa diavolo serve.

Beh, per mille motivi, tra cui:

1) Osservando le sottocomponenti possiamo “filtrare” l’onda eliminando quelle frequenze che noi reputiamo

di disturbo (nell’esempio sopra potrebbero essere le piccole onde sulla destra). Una volta ripulito il segnale

possiamo riportarlo nel dominio del tempo (cioè alla situazione iniziale) usando l’antitrasformata ed ottenere

un suono più pulito (o un’immagine televisiva meno disturbata).

2) Nel dominio della frequenza una funzione di spazio e tempo viene scomposta in frequenza, ampiezza e fase

di più onde sinusoidali… abbiamo quindi e in cui mettere dei dati

più informazioni su cui lavorare

(praticamente è come avere 3 dimensioni invece che 2, partendo dallo stesso segnale). Ad esempio nelle

telecomunicazioni l’informazione che rappresenta la voce o i dati inviati da un cellulare viene codificata

variando la frequenza o l’ampiezza del segnale… l’antenna in ricezione dovrà poi trasformare l’onda tramite

Fourier e ricostruire i dati inviati qualche km più in là…

3) Lavorare con tante sinusoidi a diversa frequenza e ampiezza è molto meglio che lavorare con un’onda che

continua variare nel tempo, perchè nel primo caso la matematica ci fornisce il calcolo tramite numeri

che (nonostante il nome) rende molto più facile e veloce effettuare certe operazioni sull’onda

complessi

iniziale (es: la convoluzione di più segnali nel tempo diventa un semplice prodotto nella dominio della

frequenza).

Trasformata Veloce di Fourier (postilla per ingegneri

informatici)

La trasformata di Fourier è un’operazione dannatamente complicata dal punto di vista computazionale, ma

per fortuna ci sono gli ingegneri che, con l’aiuto dei matematici, sono riusciti a semplificare il tutto e far

funzionare la trasformata nelle applicazioni reali che si usano veramente

Nel 1965 infatti viene realizzato un algoritmo, la FFT (Fast Fourier Transform), che, con il meccanismo del

“divide et impera”, riesce a ridurre la complessità della trasformata di Fourier da O(n²) al livello di O(n

log(n)). Non sapete cosa vuol dire? E che cavolo, vi ho detto che era una postilla per ingegneri informatici!

Beh, l’importante è capire che, a parità di risultati, l’algoritmo FFT semplifica enormemente i calcoli e ne

permette l’uso anche sui piccoli calcolatori.

Come funziona? 57

www.blogzero.it/2010/12/10/la-trasformata-di-fourier-e-una-figata/ 4/12

16/05/13 La trasformata di Fourier è una figata :-) :B-log(0)

Seguendo la “classica” trasformata, per passare al dominio della frequenza il da

numero di addizioni

eseguire era circa pari al numero di punti e il era pari al quadrato del numero dei

numero di moltiplicazioni

punti. Quindi per analizzare un’onda individuata da 1000 punti a intervalli regolari occorrevano circa 1000

addizioni e un milione di moltiplicazioni. Decisamente fuori scala per un’applicazione real time come quasi

tutto il software che gestisce onde prese da un antenna.

Per questo motivo nasce la FFT, la versione “veloce” della trasformata, che permette di passare al dominio

della frequenza per mezzo di molte meno operazioni, suddividendo l’onda in più sezioni ed effettuando la

trasformata su ognuna di esse, in modo molto più veloce perchè diminuisce notevolmente il numero di

moltiplicazioni.

Con la FFT nasce ed evolve un intero mondo di software e hardware sempre più veloci e complessi che

permettono di filtrare ed estrapolare informazioni dalle onde, permettendo di avere radio, televisione, telefonia

(etc) ad alta qualità e ad alto contenuto di informazioni.

Il teorema di Fourier non è soltanto uno dei risultati più belli dell’analisi moderna, ma si può

affermare che esso fornisce uno strumento indispensabile per affrontare quasi tutti i problemi più

ardui della fisica moderna Lord Kelvin, 1887

La trasformata di Fourier è usata OVUNQUE si parli di onde.

E, come sappiamo, OVUNQUE ci sono delle onde: biologia, sismologia, telecomunicazioni, fisica quantistica,

musica, medicina, chimica, astronomia…

Rendiamo quindi grazie al vecchio JBJ Fourier.

Bibliografia:

Università di Padova (pdf)

Storia di Fourier: http://www.clarinet.it

Immagini delle onde del clarinetto:

ovunque… ma vi segnalo l’ottimo www.complextoreal.com

Informazioni tecniche: fftw.org

Libreria della FFT in linguaggio C:

http://blinkdagger.com

Ispirazione: p.s. come dice bene nonciclopedia, un vero macho deve assolutamente avere un tatuaggio

della trasformata di Fourier sul braccio, che accresce la propria figosità di ben 3.14 volte

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317 8

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I SOLAMENTO DELLE FONDAZIONI

Negli ultimi trent’anni l’ingegneria sismica ha compiuto notevoli progressi sviluppando moderne strategie di

protezione sismica passiva, quale l’Isolamento Sismico

Queste strategie richiedono l’uso di particolari dispositivi che vengono inseriti negli edifici per modificarne la

risposta complessiva sotto sisma e disaccoppiare il moto del suolo da quello della struttura 59

I SOLAMENTO SISMICO

L’andamento dello spettro di risposta proposto dal D.M. 2008 dimostra che le accelerazioni spettrali S

e

possono essere drasticamente ridotte se si riesce ad aumentare notevolmente il periodo principale T della

struttura

Le strutture tradizionali, a base fissa, hanno periodo principale T abbastanza bassi, che in genere ricadono

nell’intervallo in cui l’accelerazione spettrale S viene notevolmente amplificata

e

Se alla base si interpone, tra fondazione e struttura, un elemento molto deformabile in senso orizzontale il

periodo cresce notevolmente e conseguentemente l’accelerazione si riduce a valori molto più bassi 60


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
SSD:
Università: Pavia - Unipv
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher beamacchia89 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pavia - Unipv o del prof Gobetti Armando.

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