Dinamica delle strutture - Appunti

Dinamica delle

Strutture

A cura di Beatrice Cartoni

Seconda raccolta di materiale scaricato via web, più curata nella sintesi e più inerente alle richieste

poste dal prof. Gobetti nel corso dell’orale.

“Dinamica delle strutture” UNIPV – Ingegneria Civile.

Anno 2013

Indice

Dinamica dei sistemi e Principi Base

- Il principio di D Alembert …………………………………………………………………………………………………………………6

- Massa e peso ………………………………………………………………………………………………………..…………………………6

- Il principio delle potenze virtuali ………………………………………………..……………………………………………………7

- Equazione di Lagrange………………………………………………………………………………………..……………………………8

SISTEMI DISCRETI SDOF

- Oscillatore Semplice lineare…………………………………………..………………………………...……………………………11

- Oscillatore Semplice non lineare (introduzione).……………………………………………………………………………12

- Eq. Moto …………………………………………………………………………………………………….…………………………………12

- Oscillazioni libere non smorzate………………………………………………….…………………………………………………16

- Oscillazioni libere smorzate……………………………………………………………………………………………………………19

- Oscillazioni forzate armonicamente………………………………………………………………………………………………25

- Risposta ad un’azione periodica………………….…………………………………………………………………………………33

- Azione Impulsiva…………………………………………………………..……………………………………………………………….36

- Azione generica…………………………………………………………………..…………………………………………………………40

- Determinazione del Rapporto di Smorzamento (ξ) (Dispende del prof.)…………………………………………43

Risposta ad un’azione periodica

- FFT (trattazione completa)…………………………………………………………………………………………………………….45

- FT (trasformata di Fourier e algoritmo FFT trattati in modo semplice)…………………………………………..54

Isolamento delle fondazioni

- Isolamento sismico………………………………………………………………………………………………………………………..59

- Base Teorica…………………………………………………………………………………………………………………….…………….62

- Trasmissibilità (Dispende del prof.)………..………………………………………………………………………………………69

La misura del terremoto

- Sismometro…………………………………………………………………………………………………………………….……………..75

- Accelerometro……………………………………………………………………………………………………………………………….78

- Confronto ………………………………………………………………………………………………………..……………………………83

SISTEMI DISCRETI MDOF

- Oscillatore Multiplo…………………………………………………………………………………………….…………………………86

- Dinamica dei sistemi di travi (Metodi per discretizzare dominio continuo)…………………………………….91

- Metodo dei Traversi Rigidi: Shear Type………………………………………………………………………………………….93

- Esempio di Shear Type (es anche di Analisi Modale)………………………………………………………………………95

- MEF problema monodimensionale (triangolo)……….……………………………………………………………………105

Oscillazioni in campo non lineare

- SDOF non lineare………………………….…………………………………………………………...………………………………..122

- MDOF non lineare…………………………………….…………………………………………….…………………………………..133

2

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2.1 Il principio di D Alembert

La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di DA-

che semplicemente aerma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l azione

lembert,

delle forze attive , di quelle reattive e delle :

m

forze di inerzia

F a

i i i i

+ = 0 (i = 4, 2, ) (1.1)

m . . . , N

F a

i i i i

In questa equazione indica la massa ed l accelerazione del punto materiale del

m i

a

i i

sistema. La forza d inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l accelerazione

(cambiata di segno) del corpo puntiforme.

L accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio un

corpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superÞcie della Terra

risulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidale

al centro della Terra ed è orientato verso le stelle infatti rispetto a quest ultimo

Þsse; , e quindi

riferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, $ T

2

ha un accelerazione (centripeta) di valore $ essendo la distanza del corpo dall asse

r, r

T

terrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo in

un certo tipo di riferimento privilegiato.

I riferimenti di questo tipo sono detti Un modo per deÞnire un riferimento

inerziali.

inerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha lorigine solidale ad una massa isolata

Per massa isolata si intende un corpo che si trovi

ed è orientato verso le stelle Þsse.

così distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stelle

sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risulta

Þsse

comunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni,

ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o meno

accurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stelle

è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nel

Þsse

baricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un approssimazione un

po meno buona. Ai pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimento

Þni

solidale alla superÞcie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infatti

l accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all equatore) si ha:

µ ¶

2

2 m

rad 32

2 6

6 40 m 3.47 40

= $ r

a × · ' ·

'

T

T 2 2

24 3600 sec sec

·

cioè appena lo 0.3% dell accelerazione di gravità.

Nell eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in

tutti quei riferimenti in cui l accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto,

se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativo

uniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse appros-

simazioni accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra con

moto uniforme rispetto ad uno (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerare

Þsso

inerziale.

1.2.2 Massa e peso

La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno una

massa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo 6

3

1.2 Dinamica dei sistemi

né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro signiÞcato per la massa (gravitazionale):

essa è una costante che misura l intensità della forza di gravitazione che una particella è

in grado di scambiare con un altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alle

forze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamente

coincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profonda

spiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione.

Poiché il peso dei corpi non è altro che l eetto delle forze gravitazionali che essi

= in cui

scambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: m g, g

p i i

è l accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terra

1

nei punti prossimi alla sua superÞcie. Il modulo del vettore cambia poco da un punto

g

all altro della superÞcie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a:

2

= 9.84 m/sec

g

Nel sistema MKS l unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un unità

fondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton

2

(N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N = kg m/sec ).

·

Quindi un corpo che ha massa = 4 kg ha un peso

m = = 4 9.84 N

p m g

· ·

Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l unità di forza chilogrammo-forza,

comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è la

forza peso esercitata da una massa di un chilo, cioè:

4 kgf = 4 kg = 9.84 N

g

·

Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressa

in kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : = 4/g =

m

4/9.84 kgf/g.

1.2.3 Il principio delle potenze virtuali

Poiché, grazie al principio di D Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte a

quelle della statica con l aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1)

possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Li-

2 , le equazioni di equilibrio

mitandoci al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci

1 Due particelle di massa ed si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masse

m m

1 2

ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:

m m

1 2

G

F =

12 2

r 12 38 32 31

3

La costante di gravitazione universale è piccolissima (G ); per questo motivo

G = 6.66 10 cm sec g

×

la forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei due

corpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha eetti signiÞcativi. Su

piccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segno

opposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia è

generalmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala le

forze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengono

prevalenti e dominano nella meccanica celeste.

2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all attrito. 7

4

1.2 Dinamica dei sistemi

dinamico si possono esprimere: N

X 0

= (F ) = 0 (1.2)

m a v

×

i i i i

i=1 3

0 indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli ,

in cui Þssi

v

i

mentre indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell eq. (1.2) non compaiono le

×

forze reattive, il che normalmente costituisce una notevole sempliÞcazione.

1.2.4 Equazione di Lagrange

Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano anche

olonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha gradi di

n

libertà, le coordinate di ogni suo punto si possono esprimere in funzione di parametri

P n

i

(t) (k = 4, 2, detti coordinate lagrangiane del sistema:

liberi, . . . , n),

q

k (t) = [q (t), (t), (t); (1.3)

P P q , q t]

·