Dinamica delle strutture

Dinamica delle strutture

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 1

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 2

1 Introduzione

Cos’è un carico dinamico?

È un carico con le seguenti caratteristiche:

• Transitorio: variabile in tempo – si oppone al termine stazionario (parte stabile di un regime transitorio)
• Prevede una movimentazione delle masse (accelerazioni di un sistema)

Caratteristiche del carico dinamico:

• Differenza fra carico statico e carico dinamico ampiezza
• Nel caso dinamico, queste grandezza sono tutte in direzione
• Funzione del tempo, mentre nel caso statico no posizione del carico

Che vuol dire fare uno “studio dinamico”?

Abbiamo una risposta struttura variabile nel tempo, cioè come avere infinite soluzioni statiche.

Il carico applicato alla struttura non avrà un solo valore ma sarà una funzione di valori di carico che varia nel tempo.

Come si può sviluppare una analisi dinamica?

Ci sono 2 approcci che si differiscono dal modo di determinare il carico:

1. Approccio/analisi deterministica
   La funzione del carico del tempo è nota.
   Il carico dinamico viene chiamato carico prescritto perché è noto.
2. Approccio/analisi non deterministica
   La funzione del carico nel tempo non è nota (al più tale funzione è determinabile in modo statistico).
   Il carico dinamico viene chiamato carico dinamico random perché non è noto.

In ogni caso la risposta strutturale che ci interessa è in ambito degli spostamenti.

In questo corso andremo a sviluppare una analisi deterministica, quindi verranno trattati solo carichi prescritti.

1.1 Tipologie di carico prescritto

Quali sono le diverse tipologie di carico prescritto?

a) Periodici

Armonica semplice: stessa variazione sequenziale in tempo per un grande numero di cicli esempio: macchine rotanti.

Armonica più complessa – forza di propulsione delle navi.

b) Non periodici

Carico esplosivo – con picco di pressione e una fase successiva di depressurizzazione, carichi che si sviluppano in tempi molto brevi.

Azione terremoto: il terremoto non è identificabile con un carico, ma il carico sarà l’equivalente dell’azione del terremoto.

Differenza fra studio statico e dinamico?

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Quello dinamico non ha un'unica soluzione, ma prevede una successione di soluzioni. In questo studio gli spostamenti sono associati alle accelerazioni. Quest’ultime provocheranno nuove forze chiamate forze inerziali resistenti sono caratteristiche di uno studio di tipo dinamico.

In che modo schematizzo la struttura nello studio dinamico? Che modello geometrico uso?

1. Struttura continua:
   • Le caratteristiche meccaniche sono distribuite in ogni elemento
   • Infinite componenti di spostamento caso degli sviluppi in serie, valida per soluzioni semplici (quando vale la sovrapposizione degli effetti)

Deformata (o le inflessioni) di un elemento generico soggetta a carico dinamico qualsiasi = somma di serie trigonometrica dei contributi d’onda sinusoidale indipendenti fra loro.

2. Struttura discreta – numero di componenti di libertà dinamica finite.

Devo definire i gradi di libertà dinamici, ovvero le componenti di spostamento di alcuni punti.

Tanto più sono i gradi di libertà dinamici tanto più la nostra soluzione rispecchia la realtà.

1.2 Analisi dinamica deterministica

Quali sono le equazioni fondamentali del moto?

Sono le equazioni di equilibrio dinamico (con ipotesi di sovrapposizione degli effetti).

Qual è il procedimento per sviluppare un’analisi deterministica?

1. Formulare le equazioni del moto - equazioni di equilibrio dinamico.

Ci sono 3 strumenti che posso usare:

A. Principio di d’Alembert - equilibrio diretto

Equazioni del moto espressioni della 2 legge del moto di Newton (F=m*a).

P(t): vettore delle forze applicate/carico dinamico.

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m*a(t): sono delle forze inerziali resistenti alle accelerazioni delle masse tali da equilibrare i carichi dinamici applicati.

Una massa sviluppa forze d’inerzia proporzionali alla sua accelerazione ed in opposizione a questa.

Per questo motivo le equazioni del moto sono viste come equazioni di equilibrio dinamico.

B. Principio degli spostamenti virtuali PSV

Vantaggio: ho un'unica equazione di equilibrio (mentre il principio di d’Alembert ha un sistema di equazioni di equilibrio dinamico) anche per sistemi strutturali complessi.

Cosa dice il PSV?

Se un sistema s in equilibrio sotto l’azione di certe forze e sotto lo spostamento virtuale ds (infinitesimo e compatibile con i vincoli) allora il lavoro totale compiuto dalle forze è nullo.

Quindi il PSV altro non è che il PLV (principio dei lavori virtuali), ma in ambito dinamico.

Se il lavoro virtuale =0 allora ho equilibrio (dalla statica) …. Quindi anche nel PSV avrò un equilibrio dinamico.

C. Principio di Hamilton

Introduce la forma variazionale:

T: energia cinetica totale.

V: energia potenziale del sistema (energia di deformazione + potenziale delle forze conservative).

W: lavoro compiuto dalle forze non conservative.

Differenza fra PSV e Hamilton

• Forze d’inerzia e le elastiche non sono esplicitamente coinvolte
• Quantità scalari perché sono quantità energetiche
• Applicabili in ambito statico – T=0 indipendenti dal tempo

Il principio di Hamilton in campo statico diventa il principio di minima energia potenziale.

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2 Sistema SDOF “rappresentazione discreta con 1 GDL”

Sistema a 1 grado di libertà (GDL) → in statica 1 grado di labilità.

Ipotesi:

• La massa e le proprietà elastiche del sistema saranno concentrate in un unico punto
• Linearità elastica (caratteristiche meccaniche K, C, m sono costanti nel t)
• Validità del principio di sovrapposizione degli effetti

2.1 Oscillatore semplice (modello geometrico + semplice)

Elemento: carrello di massa m.

Vincoli:

• A scorrere su un piano orizzontale privo di attrito
• Da una molla di rigidezza K ad un piano verticale rigido (garantisce una resistenza elastica allo spostamento della struttura)
• Da uno smorzatore di smorzamento C (rappresenta gli eventuali meccanismi di perdita di energia del sistema/struttura)

Carico applicato: carico dinamico p(t) generico.

GDL: componente di spostamento possibile solo traslazione orizzontale → 1 GDL Lezione 2.

Grado di libertà generalizzato: sistemi di più corpi fra loro vincolati il cui comportamento dinamico sia riconducibile al comportamento di 1 corpo con 1 GDL.

Come si scrivono le equazioni del moto per un sistema del genere?

Equazioni del moto → equazioni di equilibrio dinamico.

Obiettivo: determinare le equazioni del moto.

2.1.1 Metodo 1: principio di d’Alembert o “equilibrio diretto”

Sostituisco ai vincoli le relative azioni esplicate dai vincoli:

• Reazione verticale: contrasta la forza peso del carrello
• Reazione orizzontale=0 perché non c’è attrito
• Fd: forza di smorzamento
• Fs: forza di richiamo elastico
• Fi: forze inerziali (resistenti)

Forze resistenti in gioco:

• K e C sono le caratteristiche resistenti della struttura al moto
• Forze inerziali forze resistenti che nascono dal principio di d’Alembert

Equazione del moto (di equilibrio dinamico).

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Dove:

s=s(t) spostamento.

Sostituendo le 3 formule nell’equilibrio dinamico ottengo:

2.1.2 Metodo 2: PSV

Ipotesi di lavoro del metodo:

• Spostamento infinitesimo ds e compatibile con i vincoli
• Lavoro virtuale di tutte le forze esterna attive e vincolari =0

Riportando i valori di Fi, Fd e Fs ottengo:

*Il lavoro sarà negativo quando le 2 quantità sono discordi in verso, sarà invece positivo quando sono concordi di verso.

2.1.3 Metodo 3: principio di Hamilton

Definisco alcuni termini in gioco: essendo un principio

• Energia cinetica variazionale, ciò vuol dire che devo fare la derivata
• Energia potenziale:

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• Fd e p(t) sono non conservative entrano nel lavoro delle forze non conservative
• Procedimento:

Utilizzando il metodo di integrazione per parti per il primo termine:

Ottengo:

Il primo termine a destra dell’uguaglianza è =0.

Sostituendo il valore ottenuto nella prima equazione trovata ottengo:

2.2 Influenza delle forze gravitazionali

Elemento: carrello di massa m.

Vincoli:

• A scorrere su un piano orizzontale privo di attrito
• Da una molla di rigidezza K ad un piano verticale rigido (garantisce una resistenza elastica allo spostamento della struttura)
• Da uno smorzatore di smorzamento C (rappresenta gli eventuali meccanismi di perdita di energia del sistema/struttura)

Carico applicato: carico dinamico p(t) generico.

GDL: componente di spostamento possibile solo traslazione verticale → 1 GDL.

2.2.1 Metodo 1: principio di d’Alembert o “equilibrio diretto”

Per arrivare alle equazioni voglio capire come vengono distribuiti i carichi verticali nelle 2 diverse fasi:

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Fase 1: t=0 nella struttura agisce solo il carico statico, quindi carico dinamico p(t)=0.

In questo caso la forza peso viene tutta assorbita dalla forza di richiamo elastico.

Quale s devo inserire? Δst: spostamento statico.

Fase 2: istante t>0 quindi p(t) ≠ 0.

Lo spostamento totale s è composto da:

• Una parte di spostamento s dovuto al carico dinamico
• Una parte di spostamento Δst dovuto al carico statico equilibrio dinamico

Per forze inerziali e di smorzamento non c’è alcun contributo da parte di forze di tipo statico, quindi avrò:

Quindi posso riscrivere l’equazione dinamica del moto come:

L’equazione del moto espressa con riferimento alla posizione di equilibrio statico del sistema dinamico non è affetta dalle forze di gravità.

Tale affermazione non è sempre vera, lo è quando esiste una configurazione 0 tale per cui la forza peso venga assorbita dalle forze di richiamo elastico.

Posso non considerare la forza peso se nella situazione statica essa viene assorbita dalle forze elastiche, altrimenti non vale più la condizione di moto (di equilibrio dinamico) sopra riportata.

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2.3 Moto dei supporti “problema d’eccitazione da terremoto”

Considero un telaio semplice (share tipe), composta da:

• Traverso 𐨙 rigido di massa m
• Piedritti deformabili con rigidezza K/2 (dove K rappresenta la resistenza allo spostamento orizzontale dei traversi)
• Smorzatore C garantisce una certa dissipazione energetica della struttura

A partire da un asse di riferimento vado a misurare il valore di Sg(t) spostamento della base del telaio (terreno è sottoposto a spostamento orizzontale).

Configurazione deformata Questa è una possibile configurazione deformata, cioè quella per cui ho:

• La deformata caratteristica a taglio
• Spostamento s con accezione dinamica lo posso considerare con GDL dinamico = alla traslazione orizzontale del traverso infinitamente rigido.

La struttura è composta da elementi deformabili e rigidi (non deformabili) e i pezzi deformabili in questo caso si deformano in maniera continua.

Terremoto considerato come termine aggiuntivo di spostamento applicato alla struttura.

Il traverso è l’elemento nel quale viene immaginata l’intera massa del sistema, posso quindi schematizzare il problema.

Lo spostamento è composto da:

• S*: quota parte di spostamento del traverso
• Sg(t): quota parte di spostamento del terreno

Posso scrivere l’equilibrio:

In questo caso p(t)=0 perché nel caso di eccitamento da terremoto non ho un carico dinamico applicato, perché l’azione sismica deriva da un accelerazione (spostamento del suolo).

Come posso sviluppare i termini dell’equilibrio?

• Fi: le forze inerziali vedono lo spostamento totale

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• Fd e Fs: la forza di richiamo elastico e di smorzamento vedono solo la quota di spostamento dinamico (e non quello totale perché la forza di richiamo elastico e di smorzamento sono caratteristiche intrinseche della struttura, cioè la quota parte di terremoto andrà tutta nel termine inerziale)

Per questo motivo scrivo: t.

Sviluppando il termine in S ottengo:

Cos’è p (t)?eff

Nasce P (t) carico effettivo d’eccitazione dei supporti che rappresenta l’azione equivalente a quella del terremoto (sollecitazione sismica in termini di forza).

Come risponde la struttura all’applicazione della forza p (t)?eff

La struttura risponde all’accelerazione del terreno esattamente come ad un carico esterno p(t) (p(t) è uguale alla massa * accelerazione del suolo), che sarà in direzione opposta rispetto all’accelerazione del terreno.

Perché c’è il segno negativo?

Perché la forza efficace è opposta alla direzione dell’accelerazione del terreno.

Perché è importante questo caso?

Per 2 motivi:

• Introduce il contributo da terremoto
• Evidenzia l’indipendenza fra forze di smorzamento (di tipo energetico) e di richiamo elastico dallo spostamento causato dal moto del terreno.

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Lezione 3 04/03/22

Sistemi ad 1DOF generalizzati

Sono un insieme di elementi con proprietà fisiche descritte in modo diffuso, ma forzati a comportamenti ad 1 singolo grado di libertà. Tali sistemi sono importanti perché ci consentono di ricavare lo spettro di risposta dell’elemento.

Posso dividere tali sistemi in 2 categorie:

1. L’assemblaggio di corpi rigidi schematizzati come molle senza massa.

Esempio di sistema di travi trave a cui sono attaccate diverse molle, dissipatore viscoso, massa esterna e soggetta a carico dinamico esterno.

2. Corpi con elasticità diffusa.

Esempio: trave soggetta a carico dinamico, le cui proprietà elastiche e la massa vengono considerate distribuite lungo l’asse per tutta la lunghezza.

Per entrambi i sistemi possiamo ricondurci a sistemi ad 1 GDL.

Esercizio 1

Esercizio 1 (svolgimento mediante 1 categorie di corpi assemblaggio corpi rigidi con molle senza massa).

Considero 2 aste incernierate fra loro:

1. La prima di l=4a (disegnata in lo spessore perché la massa m dell’asta è distribuita lungo tutta la sua lunghezza) vincolata al suolo da una cerniera;
2. La seconda asta di l=3a, vincolata al suolo da un carrello esterno.

Elementi distribuiti nelle 2 aste:

• Smorzatore viscoso (costante di smorzamento C1) dist.= a
• Molla (costante elastica K1) dist.=3a
• Smorzatore viscoso (smorzamento C) in prossimità della cerniera esterna2
• Molla (costante elastica K) dist.=a dal carrello2
• Massa concentrata m dist.=2a dal carrello2
• Carico esterno lineare e variabile nel tempo (carico triangolare che varia in funzione di x e t) nella 1 asta dove:

Pressione di riferimento.

Variabile adimensionale che mi fa dipendere il carico distribuito dal tempo.

• Forza di compressione costante orizzontale N

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Dato che il sistema è composto da 2 aste rigide la soluzione ammette una unica configurazione spostata compatibile con i vincoli, quindi il moto del sistema si può definire tramite 1 sola equazione della dinamica.

Come si ricava l’equazione della dinamica?

Attraverso 3 metodi:

1. Equilibrio diretto o principio di d’Alembert → risulta complicato perché le forze sono applicate in posizioni differenti nel mio sistema
2. Teorema dei lavori virtuali (spostamenti virtuali) metodo utilizzato per risolvere il problema
3. Principio di Hamilton

Per poter applicare il PSV devo determinare le forze presenti nel mio sistema e per fare questo prendiamo come riferimento lo spostamento verticale della cerniera in E e disegno la spostata del sistema compatibile con i vincoli.

Configurazione spostata.

Grazie alla spostata posso calcolare le varie forze presenti nel sistema che sono le seguenti:

• F: forza dissipativa del 1° smorzatore D1
• F: forza inerziale della 1° massa I1
• M: momento angolare dovuto al fatto che ho un momento distribuito che ruota attorno al centro I1 di rotazione
• F: forza elastica della 1° molla S1
• F: forza dissipativa del 2° smorzatore D2
• F: forza inerziale della 2° massa I2
• F: forza elastica della 2° molla S2

Forze esterne:

• P(t): risultante del carico distribuito
• N: forza di compressione costante

Scrivo le espressioni di tutte le forze:

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M: momento d’inerzia angolare della 1° trave I1.

Perché calcoliamo tale espressione del momento?

Perché l’obiettivo è ottenere l’equilibrio dinamico. Per ottenerlo devo passare dal PLV, quindi ho bisogno di tutti i momenti e le forze in gioco, con relativi spostamenti e rotazioni virtuali.

Per effetto della massa distribuito nella trave nasce il momento di inerzia rotazionale o momento angolare.

Parentesi sulla geometria delle masse

Caso monodimensionale: asta lineare spessore unitario

• Massa traslazionale m =
• Massa rotazionale J =

Elemento bidimensionali

1) Rettangolo

• Massa traslazionale m =
• Massa rotazionale J =

2) Triangolo

• Massa traslazionale m =
• Massa rotazionale J =

3) Ellisse

• Massa traslazionale m =
• Massa rotazionale J =

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Il momento d’inerzia angolare nasce ogni volta che ho una massa distribuita.