Dinamica delle strutture

ESERCIZIO

Esercizio 1 - TEST DI VIBRAZIONE con MARTINETTO IDRAULICO (o generatore di vibrazioni)

Struttura a 1 SDOF, perché se ho definito lo spostamento dinamico del traverso ho anche definito la risposta dell'intero sistema.

Caratteristiche della struttura:

• Le caratteristiche dissipative della struttura vengono concentrate nell'elemento di smorzamento C
• Il traverso ha peso W = m * g
• Carico impulsivo p(t) applicato al traverso
• K: Rigidezza complessiva dei piedritti (quindi K/2 per ciascun piedritto)

Il martinetto idraulico genera una forza di natura statica F = 88kN. Sotto tale forza viene registrato uno spostamento di 0,5 cm.

Al rilascio lo spostamento massimo misurato è di 0,41 cm al ritorno e il periodo T = 1,4 secondi.

Procedimento

Proprietà DINAMICHE del sistema

1. Determino il PESO del traverso W (inverto la formula del periodo)
2. Il valore di rigidezza K può essere determinato invertendo la formula della forza di richiamo elastico:

dove FS

altro non è che la forza statica espressa dal martinetto e s è lo spostamento misurato quando applico il martinetto, ottenendo: Esplicito W (peso del traverso) e ottengo: Mattia Mazzon - Anno 2021/22

2. Determino la FREQUENZA di vibrazione CICLICA (inverso del periodo)

3. Determino la FREQUENZA CIRCOLARE (posso ottenerla direttamente dal periodo o mediante 2π)

Proprietà di SMORZAMENTO della struttura

4. Smorzamento critico

Ci sono 2 modi per identificare il valore di m:

• m = W / g identifico il valore velocemente
• 2m = k / ω nel 1° passaggio, poi nel secondo k = F / s

Conosco ora lo smorzamento critico ma non quello del sistema (per la risoluzione del problema ho bisogno dello smorzamento o del fattore di smorzamento)

Considerato che ci vengono forniti due successivi picchi (valori iniziali e al ritorno), supponendo che il comportamento sia sottosmorzato allora posso usare la formula del decremento logaritmico:

Se δ è definito come

logaritmo naturale del rapporto fra le ampiezze di due picchi successivi allora ottengo:

Nel caso di sistemi SOTTOSMORZATI il valore di δ messo in relazione con il fattore di smorzamento ξ risulta essere:

Essendo ξ = C / Cc allora ottengo l’effettivo smorzamento del sistema:

Ora verifico che la frequenza sottosmorzata è molto vicina alla frequenza naturale (caratteristica dei sistemi sottosmorzati):

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 73

Esercizio 2- ISOLAMENTO DELLE VIBRAZIONI (effetto degli ammortizzatori nei veicoli)

Il veicolo deve percorrere una carreggiata con andamento sinusoidale (il profilo della carreggiata risulta una forzante). Il piano stradale risulta primo di attrito.

Sono nel caso di isolamento, quindi devo analizzare se il sistema ad 1 SDOF sviluppa un isolamento efficace ed anche nella situazione di moto dei supporti dove la forzante è uno spostamento applicato al sistema.

Sistemi di riferimento:

1. Sistema di riferimento assoluto (a sinistra): identifica

glispostamenti assoluti2. Sistema di riferimento relativo

• della massa u
• agli spostamenti del piano stradale

Lo spostamento complessivo può dunque essere interpretato come:

• u(t): spostamento della massa
• z(t): effetto dovuto alla variazione del piano stradale

Caratteristiche del sistema

• L = 12 m : lunghezza di un ciclo, ovvero è la lunghezza d'onda del ciclo rappresentativo dell'andamento sinusoidale del piano stradale
• Z = 0,04 m : ampiezza massima
• m = 1500 kg

VEICOLO

• v = costante = 90 km/h = 25 m/s

VEICOLO

• 5k = 4*10 n/m : rigidezza totale del sistema di isolamento

TOT

Considero i casi con fattore di smorzamento:

• caso 1 - ξ = 0.4
• caso 2 - ξ = 0

Procedimento

1. Determino la FREQUENZA DEL CARICO o FORZANTE EQUIVALENTE (il carico è la base stradale, ovvero le irregolarità stradali fungono come moto armonico verticale applicato). Per identificare tale valore devo prima calcolare il

cui periodo T:2.

Per ciascuno dei 2 casi identifico:

• ω: Frequenza naturale
• ω: Frequenza smorzata
• β: Fattore fra frequenze
• D: coefficiente di amplificazione dinamico
• TR: trasmissività del sistema

Caso 1 - ξ = 0.4 - sistema SMORZATO

• D = 1.36

Caso 2 - ξ = 0 - sistema NON SMORZATO

• D = 2.78
• TR = D = 2.78

Osservazione…. In assenza di smorzamento devo scrivere la risposta totale del sistema, cioè quella che vede anche la parte transitoria e valutare anche il massimo della transitoria.

Conclusioni

Il valore di β < βcritico quindi uno smorzamento maggiore risulta essere efficace.

La trasmissività si riduce all’aumentare dello smorzamento, quindi l’isolamento diventa efficace per valori maggiori di smorzamento (un aumento dello smorzamento è efficace nei confronti dell’isolamento).

Mattia Mazzon - Anno 2021/22

Esercizio 3

Trave in semplice

appoggio priva di peso, a cui è applicata una massa m.L = 2 m lunghezza della trave

Sezione della trave: tubolare quadrata cava di spessore b = 1 cm e lato B = 10 cm

Posso schematizzare il sistema trave appena descritto con il seguente sistema 1 SDOF

Al sistema viene applicato un carico dinamico p(t)

Caratteristiche del sistema

P0 = 500 N (ampiezza del carico applicato)

W = 1000 N (peso del sistema)

ῶ = 48 rad/s (frequenza della forzante)

Richieste del problema:

1. determinare la rigidezza K dell'oscillatore sapendo che il modulo elastico del materiale E = 2.1 * 102N/mm2.
2. determinare l'ampiezza della vibrazione ρ (il valore massimo)
3. determinare l'ampiezza massima del moto supponendo che il fattore di smorzamento sia:
   • ξ = 0.1
   • ξ = 0.2
4. Determino la forza F trasmessa alla base nei casi:
   • ξ = 0
   • ξ ≠ 0

Procedimento

La forza totale F esercitata dalla trave può essere determinata dalla formula della freccia in mezzeria, che nel caso di una

trave in semplice appoggio con un carico P concentrato è pari:Il rapporto P/δ = K (rigidezza equivalente elastica del sistema) come se fosse un vincolo cedevoleelasticamente. Ottengo un valore di K:Mattia Mazzon - Anno 2021/22 76dove il momento d’inerzia J della sezione cava risulta essere:Posso determinare la frequenza natura:Caso ξ = 0 - Per identificare l’ampiezza del moto con (smorzamento nullo) devo determinare:1. l’AMPIEZZA DELL’ONDA STAZIONARIA:2. l’AMPIEZZA DELL’ONDA TRANSITORIA:Tale valore risulta circa il 20% del valore della stazionaria, quindi non trascurabile3. la risposta totale sarà:Osservazioni:• la risposta stazionaria e la transitoria sono in fase con il carico.• Parte stazionaria è amplificata dal coefficiente di amplificazione• Parte transitoria è amplificata da β * coeff. di amplificazioneCaso ξ = 0.1 - In questo caso confondo la risposta totale con la sola parte

stazionaria:Mattia Mazzon - Anno 2021/22 77

Ottengo un valore circa uguale alla sola parte stazionaria in caso non smorzato.

Nel caso di ξ=0.2 l’effetto si amplifica e quindi tale valore tende ancora di + a 0.8.

Sostituendo nella formula il valore di s(t) con i valori di ρ e ρ ottengo tale valore per F :STAZ TRA BASE

Conclusioni

Il fatto che la forza scaricata alla base nel caso non smorzato sia maggiore del caso non smorzato è uneffetto fittizio, perché nella prima formula in s(t) si tiene conto anche della parte transitoria, mentre nellaseconda…. La formula che deriva dalla trasmissività è rappresentata solo dal coeff di amplificazionedinamico

Se infatti confondo nel 1° caso la risposta totale con la sola parte stazionaria il risultato finale risulta 520 kN

I 2 valori risultano uguali perché il valore di smorzamento è molto piccolo, più aumento il valore dismorzamento maggiore diventa la forza massima.

Mattia

Mazzon - Anno 2021/22 78

Esercizio 3 – OSCILLATORE ELEMENTARE NON SMORZATO

Caratteristiche del sistema:

• M = 1000 kg
• 5K = 8 * 10 N/m
• Oscillatore soggetto ad una forza a gradino con ampiezza e valore massimo p = 5000 N

Richieste del problema:

1. Determinare ω (pulsazione naturale), T (periodo), f (frequenza ciclica)
2. Determinare la Legge oraria della risposta
3. Individuare gli istanti temporali in cui la velocità v = 0 e la risposta è massima

Procedimento:

1. Determino la frequenza circolare, periodo e frequenza ciclica
2. Determinazione della legge oraria del moto

Tenendo conto del CARICO IMPULSIVO A GRADINO avrò:

FASE 1 per valori di

FASE 2 – VIBRAZIONI LIBERE per valori di

In particolare avendo già il valore di T = 0.22 e ricordando allora se il valore di massimo si trova in FASE 1.

Esplicitando ω nella formula di T e sostituendo il risultato trovato nell'ultima espressione ottengo:

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 79

Esercizio - Oscillatore Semplice Elastico

Caratteristiche del sistema

• L = 3 m (lunghezza barra priva di peso)
• D = 0.5 m (diametro del disco)
• 4Kϕ = 4 * 10 Nm (molla rotazionale di rigidezza)
• M = 1000 kg (massa del disco)
• P(t) = p0 carico impulsivo a gradino con t1= 0.1 s

Richieste del problema

1. Determino le equazione del moto (di equilibrio dinamico), nell'ipotesi di piccole oscillazioni ϕ = sen ϕ (intorno alla posizione di equilibrio). Siamo nel caso di vibrazioni libere non smorzate, in cui devoipotizzare una configurazione di equilibrio diversa da quella iniziale per non avere lo stato banale.
2. Determino dove si verifica la risposta massima

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 80

Mattia Mazzon - Anno 2021/22 81

ISOLAMENTO DELLE VIBRAZIONI O SISTEMI VIBRANTI

Lo studio dell'isolamento delle vibrazioni viene

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1. Per elencare i due principali casi, possiamo utilizzare il tag <ol> per creare una lista ordinata:

         <ol>
           <li>apparecchiature (macchinari) generano forze oscillatorie tali da portare a vibrazioni pericolose per la struttura di supporto</li>
           <li>caso opposto al primo, ovvero ho delle strumentazioni sensibili che sono poggiate su strutture che vibrano in maniera rilevante (esempio caso sismico: una struttura posta su un terreno in vibrazione prodotta dall'onda sismica)</li>
         </ol>
       

2. Per evidenziare il caso 1, possiamo utilizzare il tag <p> per creare un paragrafo e il tag <strong> per rendere il testo in grassetto:

         <p>Caso 1 - Macchinari producono vibrazioni pericolose per la struttura</p>
       

3. Per descrivere la tipologia di macchina, possiamo utilizzare il tag <p> per creare un paragrafo:

         <p>Tipologia di macchina: Macchina rotante che produce una forza verticale oscillatoria p(t) del tipo:</p>
       

4. Per descrivere la struttura di supporto, possiamo utilizzare il tag <p> per creare un paragrafo:

         <p>Struttura di supporto: 1 SDOF</p>
       

5. Per descrivere l'obiettivo, possiamo utilizzare il tag <p> per creare un paragrafo:

         <p>Obiettivo: identificare la forza che si esplica alla base</p>