Dinamica delle Strutture - Fondamenti di sismica, introduzione ai sistemi continui ed esercizi d'esame risolti

Name: Dinamica delle Strutture - Fondamenti di sismica, introduzione ai sistemi continui ed esercizi d'esame risolti
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Vendo appunti ed esercizi svolti di Dinamica delle Strutture per l'esame del prof Andrea Nobili, utili sia a comprendere al meglio la materia che a gettare le basi per gli argomenti di Sismica. …

Esame Dinamica delle Strutture

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Nobili Andrea

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2016-2017

128 pagine

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Estratto del documento

Settore: ICAR/08 – Dinamica delle strutture

Teoria e esercizi UNIMORE

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Filippo Ribes

Settore: ICAR/08 – Dinamica delle strutture
Teoria e esercizi UNIMORE
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Filippo Ribes

Autore degli appunti

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Andrea Nobili. Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF ig: fil_ribes

Teoria

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Ripasso di geometria

Richiami

Considero un sistema algebrico lineare \( Ax = b \) con:

A = matrice dei coefficienti;
x = vettore delle incognite;
b = vettore dei termini noti.

Trattiamo spesso il Teorema della matrice inversa: Sia A una matrice quadrata di ordine n, essa è invertibile ⇔ det(A) ≠ 0, ovvero \( A A^{-1} = I_n \). È importante che la matrice sia quadrata, altrimenti non sarebbe invertibile a priori.

Trattando di sistemi di primo e sappiamo che ammette una sola soluzione: \( x = A^{-1} b \). \( A^{-1} \) non sempre esiste. Avremo spesso — che forse un sistema lineare omogeneo, avendo det b = 0 molte soluzioni, se no c'è quindi ci troveremo in una situazione che ci impone molte soluzioni. Questa è una caso ma non approvati sono molto banali. Tipico caso, al contrario che vogliamo che A sia singolare. Quindi:

Se det(A) ≠ 0 → A = regolare
Se det(A) = 0 → A = singolare

Un altro importante teorema da ricordare è il Teorema di Binet. Siano A e B due matrici quadrate di dimensioni n, vale la seguente relazione: det(AB) = det(A) det(B). Quindi posso scrivere che det(\( A^{-1} \)) = ¹⁄_det(A) ma se det(A) = 0 → \( A^{-1} \) → il sistema non ammetterà più una sola soluzione come visto all'inizio ma infinite. C'era una soluzione per x + x_o: \( A(x + x_o) = A^{-1} (b + x_o) = x; x = x_o + 0 = 0 + 5x_1 + x_2 \) è una soluzione ma anche \( x_1 \lambda + x_2 \lambda \forall \lambda \in \mathbb{R} \) e x ≠ 0.

Conclusione: visto che x ≠ 0, si annullera sempre per \(\lambda \ne 0\).

Problema degli autovettori

Sia \( (A - \lambda I) u = 0 \) con u ≠ 0, \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\) con \(\lambda\) autovalore, u autovettore. Si può anche scrivere così \( (A - I) u = 0 \) sist. omog. C'informava se \( (A - I) \) ha o meno tante soluzioni e non una sola. Spesso associamo a \(\lambda\) la frequenza degli edifici infatti vibrano con frequenze proprie. Se accade che det \( (A - I) = 0 \) mi dice che \(\lambda\) è ad almeno un matrice 3 x 3, allora un polinomio di gr. ordina 3, quindi 3 soluzioni. Tengo Tr questi \(\lambda\) che ottengo sono tutte reale. Una volta trovati li devo rimettere in \( (A - I) u = 0 \) sulla matrice in tal caso io 3 x 3 da 3 equazioni che annullano \( (A - I) \) ora meno io 2 perché una è più alta unitaria.

Se trovo che \(\lambda = 0\) ottengo che A è una matrice singolare.

Concetto di forma bilineare e forma quadratica

Una forma bilineare associata alla matrice A può essere scritta: B(a1, a2) = a⁺ Aa¹ dove il punto sta ad indicare un prodotto scalare dei ma quindi una riscrizione un numero x che prima vista numeri sia i ma e chi in b (doppia triplicano etc., fanno lo stesso e nella forma del segno). Come caso particolare se in forma quadratica. Stavolta stabi truccia parte doppie triplica etc... allora a destra del segno otteniamo di quadruplicata. Diretta al cubo etc...

Vediamo un esempio:

\( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)

se \( \begin{bmatrix} A & \cdots \\ \cdots & A \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \)

se \(\left[ x, y \right]; \begin{bmatrix} z \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ z \end{bmatrix} = 1 \)

\([x,y ]. [2, z] =[2x + 2y] = z = xy + z^2 = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \)

\(\rightarrow \) cerchio di raggio \(\frac{1}{N^2} \)

La forma quadratica sarà la generalizzazione dell’energia cinetica che è sempre positiva.

Vogliamo vedere se...

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