Dinamica delle strutture ed ingegneria sismica

Nozioni preliminari

Il terremoto è un moto al suolo accelerato che genera oscillazioni alle masse della struttura. Il sisma induce tre componenti di spostamento:

• Due orizzontali, che generano moti ondulatori;
• Una verticale che genera moti sussultori.

Solo le prime sono molto significative poiché solitamente sono quelle più gravose. L’accelerazione alle masse causa delle forze d’inerzia le quali a loro volta deformano la struttura in alcuni casi danneggiandola. Le forze d’inerzia dunque inducono alle strutture sollecitazioni aggiuntive, rispetto a quelle statiche, e variabili nel tempo. Questa variabilità nel tempo porta di conseguenza a formulare condizioni di equilibrio di tipo dinamico dette anche equazioni del moto.

Nel caso più generale, queste equazioni di equilibrio dipendono, oltre che dallo spostamento u, dalle velocità e dalle accelerazioni, portando così alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali a derivate parziali (rispetto allo spazio e rispetto al tempo) lineari. Una struttura soggetta a un input dinamico cambia forma nel tempo, la sua deformata u varia in funzione del tempo e dello spazio così come la velocità e l’accelerazione, che pertanto verranno indicate rispettivamente così:

u(z, t), u̇(z, t), ü(z, t).

Le forze d’inerzia dovute alla masse saranno date dalla relazione:

f(z, t) = m · ü(z, t)

dalla quale si intuisce subito che la risposta del sistema influenza il carico. Se poi le proprietà dei materiali (massa e rigidezza) non rimangono costanti, ma vengono influenzati dall’input (sisma), allora il sistema di equazioni differenziali a derivate parziali è non lineare, ciò è dovuto principalmente al danneggiamento del materiale durante il moto. Infatti, se il sisma non è lieve, questo indurrà la struttura a rispondere in campo non lineare e quindi di conseguenza la struttura subirà danni. La struttura vedrà degradarsi le proprietà di rigidezza che quindi non saranno più costanti ma varieranno durante il moto. Come si vedrà meglio più avanti, la presenza di equazioni differenziali a derivate parziali è prerogativa anche dei sistemi a parametri distribuiti, cioè elasticità distribuita e massa distribuita, mentre la presenza di più equazioni del moto è dovuta al numero di gradi di libertà del sistema; esse sono tante quante sono i gradi di libertà del sistema.

La soluzione dell’equazione del moto fornisce la storia del tempo degli spostamenti della struttura e quindi anche la storia nel tempo delle sollecitazioni della struttura nell’ipotesi che la struttura non si danneggi durante il moto. Si supponga di avere un edificio a un piano in cemento armato ad una sola campata:

500 500 2 solaio 500 kg/m² 40x80 40x80 I = 40x40 I = 40x40 p I = 40x40 p

Esso si può semplificare, considerando solo un telaio piano per il quale si devono definire le proprietà elastiche (deformative) e di massa della travi e dei pilastri:

qE_I m_t t I = momento d’inerzia del pilastro p I = momento d’inerzia della trave E_I m_p m E_I t p p p m = massa del pilastro p m = massa della trave t E= modulo di Young della trave

Proprietà statiche e dinamiche

Dal punto di vista statico, i gradi di libertà del sistema sono tre, ovvero le due rotazioni ai nodi e la traslazione del traverso. Dal punto di vista dinamico si hanno distribuzioni di forze d’inerzia e quindi si hanno infiniti gradi di libertà. Tuttavia, una semplificazione ulteriore si può fare considerando il traverso della struttura indeformabile, cioè rigido, così facendo il sistema diventa a un solo grado di libertà, sempre in campo statico (ignorando la dipendenza del tempo).

Considerando che le masse siano concentrate al livello del piano e le masse dei pilastri siano trascurabili, accade che sui pilastri non nascono forze d’inerzia perché non ci sono masse e quindi si possono supporre come delle molle per quanto riguarda le loro proprietà elastiche, mentre le forze d’inerzia nascono solo sul traverso. Inoltre, sul traverso grava la massa del solaio e delle travi pari a:

500 × 5,00 × 5,00 × 4 + 0,4 × 0,8 = 2500 × 9,81

bisogna poi tenere conto dell’inerzia dei pilastri della parte simmetrica e quindi ecco giustificato il 2I_p.

Così facendo si è semplificata la struttura tridimensionale in una struttura piana, con enormi vantaggi nello studio della risposta dinamica, seppur con qualche approssimazione. Adesso si indichi con u_g(t) la componente orizzontale, in termini di spostamento, del moto al suolo (il pedice g indica la parola inglese ground). La velocità al suolo sarà data dalla u̇_g(t), mentre l’accelerazione al suolo sarà data da ü_g(t).

La struttura soggetta al sisma avrà un certo moto dovuto al moto al suolo al quale si unisce il moto alla struttura dovuta alle forze d’inerzia. All’istante t=0, la struttura è ferma così come il moto al suolo: u(0)=0 e u_g(0)=0. All’istante generico t, la struttura avrà subito uno spostamento nel suo unico grado di libertà di u_tot pari alla somma dello spostamento al suolo u_g(t) (spostamento rigido della struttura) e lo spostamento del traverso u(t) (spostamento della deformata della struttura):

u_tot(t) = u_g(t) + u(t)

Se la struttura fosse molto rigida lo spostamento totale u_tot(t) sarebbe pari solo a u_g(t).

Forze coinvolte

Le forze coinvolte nell’impalcato a causa dello spostamento sono:

• La forza dovuta alla rigidezza tagliante del pilastro pari ad: F_S = (12 E_I / 3l)u(t) dove la rigidezza tagliante è stata calcolata con i polinomi di Hermitt.
• La forza agente nel traverso dovuto alle forze d’inerzia è pari a: F_I = m · ü(t)

Oppure con una rappresentazione più facile, si possono esprimere tutte le forze elastiche in un’unica forza pari a: f = k · u(t) essendo k la rigidezza di piano e in questo caso pari alla somma delle due rigidezze nei pilastri.

L’equilibrio dinamico, istante per istante, è dato dalla:

f(t) + f_I(t) = 0

Cioè: m · ü_tot(t) + k · u(t) = 0 nella quale sostituendo la u_tot(t) e le sue derivate:

u_tot(t) = u_g(t) + u(t)

u̇_tot(t) = u̇_g(t) + u̇(t)

ü_tot(t) = ü_g(t) + ü(t)

si ottiene:

[m · (ü(t) + ü_g(t)) + k · u(t) = 0]

Questa equazione, che vale istante per istante, è l’equazione dell’equilibrio dinamico (o equazione del moto) per un sistema a un grado di libertà. Il secondo membro, essendo la forzante esterna, è un termine noto. Da questo si deduce che tanto maggiore è l’accelerazione al suolo ü_g(t) tanto più distruttivo sarà il sisma e quindi tanto maggiormente sarà sollecitata la struttura; ecco perché nella pratica ci si riferisce all’accelerazione di picco.

Telai shear type

Un telaio, come quello del paragrafo precedente, per il quale il traverso possa considerarsi rigido rispetto alla rigidezza dei pilastri viene detto del tipo “Shear Type” ovvero telaio a traversi rigidi. Esso viene rappresentato, per un edificio a N piani così:

m_N k_N m_N k_i m_i k_i m₃ k₃ m₂ k₂ m₁ k₁

Dove k è la rigidezza di piano e dal punto di vista dinamico il sistema ha N gradi di libertà con N masse coinvolte durante il sisma.

Si consideri, per semplicità, un edificio ha due piani e quindi a due gradi di libertà rappresentati dalle traslazioni ai traversi nei rispettivi piani u₁(t) e u₂(t).

u_g(t) m₂ k₂ u₂(t) m₁ k₁

Nel passaggio da un sistema a un solo grado di libertà a un sistema a più gradi di libertà la forma delle equazioni del moto sostanzialmente non cambiano se non che nell’ultimo caso si ha a che fare con matrici e vettori. Nel caso in esame si definisce:

• Il vettore degli spostamenti totali u_tot:

u_tot(t) = u(t) + u_g(t)

• Il vettore delle accelerazioni totali u_tot:

u_tot(t) = u(t) + u_g(t)

• Il vettore spostamenti di deformazione del sistema u:

u(t)

La soluzione dell’equazione del moto per questo sistema si studia considerando l’equilibrio dinamico impalcato per impalcato. Iniziando dal piano superiore: u₂(t)

Trascurando le forze dissipative, le forze coinvolte all’impalcato 2 sono le forze d’inerzia e le forze elastiche ai pilastri dell’impalcato 2 e quindi l’equazione all’equilibrio dinamico del 2° piano porge:

[m₂ ü₂(t) - k₂(u₂(t) - u₁(t)) = 0]

Allo stesso modo, all’impalcato 1 si ha: u₂(t)

In questo caso si ottiene l’equazione di equilibrio dinamico all’istante generico t:

[m₁ ü₁(t) - k₁u₁(t) - k₂(u₂(t) - u₁(t)) = 0]

Le due equazioni di equilibrio appena ottenute per i due traversi sono equazioni differenziali accoppiate nelle incognite u₁(t) e u₂(t).

È più conveniente scrivere questo sistema sotto forma matriciale:

[m₁ü₁(t) - (k₁ + k₂)u₁(t) + k₂u₂(t)]

[m₂ü₂(t) + k₂(u₂(t) - u₁(t))]

dove, essendo u_g(t) l’input, e quindi un dato noto, è stato portato a secondo membro.

In forma compatta diventa:

[M · ü(t) + K · u(t) = - M · 1 · u_g(t)]

dove:

• M è la matrice di massa;
• K è la matrice di rigidezza;
• 1 è il vettore pseudo-statico.

Per capire quali sono gli elementi da inserire nelle matrici di massa e di rigidezza, tali da ottenere il sistema di equazioni differenziali accoppiate, si esaminano queste ultime ricavate precedentemente attraverso l’equilibrio. Infatti, nella matrice di massa:

[m₁ 0]

[0 m₂]

notando l’equazione del moto del primo impalcato:

[m₁ ü₁(t) - k₁u₁(t) - k₂(u₂(t) - u₁(t)) = 0]

si vede che compare solo m₁ e non m₂, ecco spiegata dunque la prima riga della matrice di massa, mentre notando l’equazione del moto del secondo impalcato:

[m₂ ü₂(t) + k₂(u₂(t) - u₁(t)) = 0]

si vede che compare m₂ e non m₁ e quindi si deduce la seconda riga della matrice di massa. Allo stesso modo si può fare per la matrice di rigidezza:

[k₁ + k₂ - k₂]

[- k₂ k₂]

dal confronto delle equazioni del moto dei due impalcati si vede come nell’equazione del moto del primo impalcato, il termine k₁ + k₂ sia associato al primo piano tramite l’incognita u₁(t) mentre il termine -k₂ sia relativo al secondo piano per mezzo della u₂(t); si ricava dunque la prima riga della matrice di rigidezza. Ragionando allo stesso modo, tramite l’equazione del moto del secondo piano si ricava la seconda riga.

Risulta così completamente definita l’equazione del moto del telaio shear type a due gradi di libertà. Si noti come la:

[M · ü(t) + K · u(t) = - M · 1 · u_g(t)]

sia formalmente identica all’equazione differenziale del moto con la sola differenza che nel caso di sistemi a più gradi di libertà vengono coinvolti matrici e vettori.

Generalizzando l’equazione del moto per un telaio shear type a N gradi di libertà (quindi N piani) con m₁, m₂, ..., m_N masse associate ai vari impalcati e k₁, k₂, ..., k_N rigidezza di piano, si ha:

[M · ü(t) + K · u(t) = - M · 1 · u_g(t)]

Si noti che:

• Poiché ogni piano coinvolge solo la propria massa e ogni massa è concentrata ai gradi di libertà, la matrice di massa è diagonale;
• Nella matrice di rigidezza ogni impalcato risente della rigidezza dell’impalcato immediatamente sopra e dell’impalcato immediatamente sotto. In particolare una matrice così formata viene detta matrice tridiagonale simmetrica e tale proprietà vale solo per telai shear type;
• Una matrice diagonale (massa) per un vettore unitario restituisce un vettore di sole masse;
• Tanto più alta è la massa strutturale e tanto più alta è l’accelerazione al suolo allora tanto maggiormente sarà sollecitato il sistema.

Sistemi a un grado di libertà SDOF

Con molta approssimazione un edificio si può approssimare come un sistema a un solo grado di libertà (così come prevede la norma per le analisi non lineari), in cui una parte si può approssimare la massa, in una parte si può approssimare l’elasticità e in un’altra parte lo smorzamento. Nella maggior parte dei casi il modello può essere rappresentato nei seguenti modi:

• c · u(t)
• k
• m
• P(t)
• m
• k · c
• P(t)
• m
• c · k

Nei quali l’effetto dello smorzamento viene rappresentato dalla costante di dissipazione viscosa c tale che moltiplicata per la velocità del sistema si ottiene la forza di smorzamento. Lo spostamento u(t) si inizializza a zero nella condizione di riposo della molla in un punto qualsiasi della massa poiché questa ultima è rappresentata da un corpo rigido.

Per tutti questi modi di rappresentare lo stesso sistema deve sempre valere, istante per istante, il seguente equilibrio:

f_I + f_D + f_S = 0

dove:

• f_I = m · ü(t)
• f_D = c · u̇(t)
• f_S = k · u(t)

Il pedice d deriva dall’inglese “dumping” che significa smorzamento.

Poiché m, c e k sono costanti allora il sistema è lineare poiché essi non variano a seguito dell’input. Supponendo di applicare al sistema a un solo grado di libertà un carico esterno (pulsante) dipendente anch’esso dal tempo si ha che l’equazione del moto si scrive:

f_I + f_D + f_S = P(t)

Esplicitando i termini si ottiene:

m · ü(t) + c · u̇(t) + k · u(t) = P(t)

Questa equazione è fondamentale poiché è l’equazione del moto di un sistema a un grado di libertà forzato, viscosamente smorzato soggetto a una forzante, detto anche più semplicemente SDOF (single degree of freedom). Essa è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea (per la presenza della forzante) a coefficienti costanti (poiché le proprietà m e k non variano durante il moto; ecco perché è un’equazione lineare). Si noti che il termine “forzato” sta ad indicare la presenza di una forzante esterna e che il termine “viscosamente smorzato” è dovuto al fatto che le proprietà viscose del sistema sono rappresentate da un coefficiente di smorzamento.

SDOF in vibrazioni libere

Si consideri un SDOF senza smorzamento e senza forzante esterna. Per correttezza si dovrebbe dire che una forzante esterna c’è inizialmente stata tale da disturbare il sistema in modo da mandarlo in oscillazioni liberi, oppure il sistema è stato perturbato tramite l’imposizioni di condizioni iniziali, come uno spostamento iniziale u₀. Infatti, le oscillazioni libere del sistema si attivano o perché è soggetto a condizioni iniziali o perché è stato soggetto a vibrazioni forzate e poi la forzante che ha impresso tali vibrazioni cessa di esistere.

Assumendo l’imposizione di uno spostamento iniziale u₀, l’equazione del moto di un SDOF in vibrazioni libere non smorzate e senza forzante esterna si riduce a:

m · ü(t) + k · u(t) = 0

Questa è l’equazione del moto per un SDOF in vibrazioni libere.