Dinamica delle strutture ed ingegneria sismica

K F

2 48 3

l

La frequenza del sistema vale:

EI 48 EI

ω = =

2 48

n 3 4

l ml ml ω 2

Così determinata la frequenza determinata è approssimata rispetto a quella esatta (calcolata

appros

nel paragrafo precedente) poiché si è ipotizzato la massa della trave concentrata in mezzeria.

Quindi: 48 EI

ω =

2

( )

1 appros 4

ml

mentre la frequenza esatta si ricordi valere:

EI

ω =

2 97 ,

36

( )

1 esatto 4

ml

Come si può vedere, confrontando le due frequenza trovate, si commette un errore quasi del 50%

ipotizzando la massa concentrata in mezzeria.

Da un’attenta analisi si vede che l’errore commesso è dovuto al fatto che con il metodo di

discretizzazione che prevede la concentrazione della massa in mezzeria le forze d’inerzia essendo

dovute alle masse sono concentrate nella mezzeria (ovvero dove si trova la massa), mentre, come

già visto nel caso delle vibrazioni libere, le forze d’inerzia hanno una distribuzione affine alla forma

sinusoidale. Ebbene questo differenza induce all’errore visto nelle frequenze.

distribuzione delle forze

d’inerzia del sistema esatto

π

x

ω 2

m

F (x)= sin

I 1 L

distribuzione delle forze

d’inerzia del sistema

approssimato π

x

ω 2

(x)= sin

F m

I 1 L 67

Ovviamente se si vuole migliorare il risultato basta distribuire le masse concentrate lungo le trave

attribuendo l’aliquota di massa in base alla zona d’influenza.

zona d’influenza

¼ M

1/8 M ¼ M 1/8 M

¼ M

Si noti come le masse ai vincoli sono minori in quanto ad essi compete una minore zona

d’influenza, inoltre questa scelta è ben giustificata dal fatto che le masse ai vincoli sono coinvolte in

misura minore essendo situate in zone dove il moto è più impedito dai vincoli rispetto alle zone

centrali della trave dove invece le masse sono maggiormente coinvolte.

Ovviamente all’aumentare della discretizzazione si riduce l’errore affinando il modello e al limite

del tendere ad infinito della masse discretizzare si ritorna al sistema esatto o reale.

I programmi strutturali, come il SAP, usano il metodo delle masse concentrate, a tal proposito si

sottolinea l’importanza della modellazione nel codice di calcolo, infatti modellare una trave con una

sola asta può comportare degli errori dovuti al fatto che il SAP concentra le masse ai nodi e quindi

se la trave è costituita da una sola asta le masse risultano essere concentrate ai nodi e quindi l’analisi

non riuscirà a cogliere la flessione della trave pur potendo ancora cogliere correttamente l’effetto

estensionale se previsto. Si noti che nell’eseguire la stima della frequenza della trave con

approssimazione per masse concentrate, si ricava un valore della frequenza approssimato dal basso

rispetto al valore reale.

Il secondo metodo di discretizzazione è il metodo delle funzioni di forma. L’ipotesi di base di

questo metodo è che essendo la trave in vibrazione libere il sistema può assumere infinite deformate

ovvero infiniti gradi di libertà, con le funzioni di forma la deformata si può esprimere come una

sommatoria di N funzioni note; cioè:

N

( ) ( ) ( )

ψ

≅

u x , t x q t

i i

=

1

i m

EI

u(x,t) 68

passando così da un sistema a infiniti gradi di libertà a un sistema a N gradi di libertà:

N

( ) ( ) ( )

ψ

≅

u x , t x q t

i i

∞ gdl =

i 1

( )

ψ

dove x sono le N funzioni note dette funzioni di forma, mentre le q (t) sono dette coordinate

i

i

generalizzate.

Così facendo si restringe il campo di appartenenza della soluzione u(x,t) che è qualunque (come una

serie troncata). ( )

ψ x

Se poi, si immagina che u(x,t) si possa esprimere come un’unica forma allora si passa da un

∞

sistema a gradi di libertà a un sistema a un solo grado si libertà (SDOF) cioè si restringe il campo

di appartenenza della soluzione a un grado di libertà imponendo alla trave di deformarsi con una

sola forma possibile:

N

( ) ( ) ( )

ψ

≅

u x , t x q t

∞ gdl =

1

i SDOF ( )

ψ x

Questo metodo risulta essere molto potente perché se si riesce a trovare una forma con cui

vibra realmente una trave allora non si commettono grossi errori poiché si sta imponendo alla trave

di vibrare secondo la forma esatta. ( )

ψ x si intuisce come la soluzione è dettata dal

Pertanto, data l’importanza della funzione di forma

( )

ψ x

tipo di funzione introdotta su per approssimare la soluzione.

7. Rapporto di Rayleigh

Si prenda in considerazione la solita trave appoggiata-appoggiata e si impone ad essa di deformasi

secondo un’unica forma:

N

( ) ( ) ( )

ψ

≅

u x , t x q t

∞ gdl =

i 1 SDOF

Per stimare la frequenza si può fare la seguente considerazione energetica a partire del semplice

sistema massa-molla non smorzato 69

u(t)

k m

soggetto alle seguenti condizioni iniziali:

( ) =

u 0 u o

( ) =

u 0 u o

Si è visto che la sua risposta è data dalla:

( ) ω ω

= +

u t A cos t B sin t

n n

e la sua velocità:

( ) ω ω ω ω

= − +

u t A sin t B cos t

n n n n

per le quali imponendo le condizioni al contorno di determinano le costanti arbitrarie:

=

u A

o u

ω =

= o

B

u B

o n ω n

Pertanto la soluzione diventa in definitiva:

u

( ) ω ω

= + o

u t u cos t sin t

o n n

ω n ω

Questa è somma di due armoniche alla stessa frequenza e pertanto si possono esprimere nel

n

ω

piano complesso come vettori ruotanti alla velocità .

n 70

ω n

Im u o

ω n

0 B

A Re

ω t θ

n

u o ω n

OA

Il segmento è la componente del vettore u lungo l’asse delle ascisse e vale:

o

ω

=

OA u cos t

o n u o

OB

mentre il segmento è la componente del vettore lungo l’asse delle ascisse e vale:

ω n

u ω

= o

OB sin t

n

ω n

Attraverso questa rappresentazione si può vedere come la somma di due armoniche può vedersi

come la somma di due vettori:

u

( ) ( )

ω ω ρ ω θ

= + = +

o

u t u cos t sin t cos

o n n nt

ω n

ρ

dove è l’ampiezza del vettore e vale:

2

u

ρ = +

2 o

u o ω n

θ

e è la fase ovvero la differenza di angolo tra u e il vettore somma e vale:

o

u

θ = ω

u o n

pertanto le due forme

u

( ) ω ω

= + o

cos sin

u t u t t

o n n

ω n

( ) ( )

ρ ω θ

= +

u t cos t

n

sono equivalenti. 71

Inoltre è ininfluente, quando si ha a che fare con una armonica esprimerla tramite la funzione seno o

coseno più o meno una fase.

( ) ( )

ρ ω θ

= +

u t cos t

n

( ) ( )

ρ ω ϕ

= +

u t sin t

n ϕ

θ

dove la fase o dipende dal modo con cui si vuole esprimere la risposta, il che equivale a

traslare l’origine dei tempi.

Tramite questa rappresentazione dei vettori ruotanti si vede subito come la risposta di un oscillatore

ω

SDOF non smorzato in vibrazioni libere è un’armonica alla frequenza .

n

In un sistema del genere la sua energia cinetica è data da:

1

= 2

T m

u

2

mentre la sua energia potenziale è associata alla sola energia potenziale elastica della molle e vale:

1

= 2

U ku

2

L’energia totale E è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale:

tot

( ) ( )

= +

E T t U t

tot

e poiché il sistema è conservativo perché non dissipa energia, non essendovi presenti forze non

conservative quali attriti e forze di smorzamento, allora l’energia totale del sistema si conserva, cioè

rimane costante sempre:

=

E cos t

tot

Esaminando la risposta in un grafico: 72

instanti in cui l’energia potenziale

è massima (nel sistema c’è solo

energia potenziale) E = U

tot max

la pendenza iniziale della instanti in cui l’energia cinetica è

curva è data dalla velocità massima (nel sistema c’è solo

iniziale energia cinetica) E =T

tot max

Si vede che ci sono punti il cui l’energia potenziale è massima e punti in cui l’energia cinetica è

nulla, e siccome l’energia totale deve essere sempre costante poiché il sistema è conservativo, allora

si ha che l’energia potenziale massima e l’energia cinetica massima sono uguali:

=

T U

max max

Esprimendo tali quantità con la nuova notazione dei vettori ruotanti:

( ) ( )

ρ ω θ

= +

u t cos t

n

( ) ( )

ρω ω θ

= − +

u t sin t

n n

si ottiene:

1 ( )

ρ ω ω θ

= +

2 2 2

T m sin t

n n

2

1 ( )

ρ ω θ

= +

2 2

U k cos t

n

2

I massimi di queste energie si ottengono quando seno e coseno assumono valore unitario:

1 ρ ω

= =

2 2

T m E

max n tot

2

1 ρ

= =

2

U k E

max tot

2

Uguagliando

1 1 k

ρ ω ρ ω =

2 2 2 2

m = k

n n

2 2 m 73

si ricava l’espressione della frequenza:

k

ω =

2

n m

Si è dunque trovato un altro modo per ricavare la frequenza di un sistema conservativo

semplicemente uguagliando i massimi dell’energie.

Con riferimento al caso della trave appoggiate appoggiata questo metodo dell’uguaglianza dei

massimi dell’energia consente ancora di determinare la frequenza di vibrazione della trave, e viene

metodo di Rayleigh

detto .

Considerando un elementino di massa infinitesimo della trave dm:

dm dm = mdx

per esso l’energia cinetica in termini infinitesimi vale:

1 [ ]

( ) 2

=

dT dm u x , t

2

e integrando per tutta la lunghezza della trave si ha:

1 [ ]

( )

l 2

=