Dinamica delle strutture ed ingegneria sismica

N N N

( )

}

l l

′ ′

ψ ψ ψ

⋅

N dx m x u dx

- + =0

q

i j i j g

0 0

= = =

i 1 j 1 j 1

Il termine:

N ψ ψ

i j

=

i 1

che compare al primo integrale può essere espresso nella seguente forma matriciale:

[ ]

ψ ij 17

per cui il primo integrale dell’equazione del moto si può esprimere, esplicitando la sommatoria,

come forma matriciale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

m x x x dx m x x x dx m x x x dx m x x x dx

1 1 1 2 1 i 1 N

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

m x x x dx m x x x dx m x x x dx m x x x dx

i 1 i 2 i i i N

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

m x x x dx m x x x dx m x x x dx

N 1 N 2 N N

0 0 0

che in notazione compatta diventa:

( ) ( ) ( )

l ψ ψ

=

*

m m x x x dx

ij i j

0 *

m

dove viene detta matrice di massa generalizzata.

ij

Questo discorso si estende a tutti quei termini che hanno la doppia sommatoria e quindi si possono

esprimere in forma matriciale; ovvero il termine che compare nel secondo integrale può essere

espresso nella seguente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′

2

EI x x dx EI x x x dx EI x x x dx EI x x x dx

1 1 2 1 1

i N

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′

2

EI x x x dx EI x x x dx EI x x dx EI x x x dx

1 2

i i i i N

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l

ψ ψ ψ ψ ψ

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ 2

EI x x x dx EI x x x dx EI x x dx

1 2

N N N

0 0 0

e in componenti:

( ) ( ) ( )

l ′

′ ′

′

ψ ψ

=

*

K EI x x x dx

ij i j

0 *

K viene detto matrice di rigidezza generalizzata (associata a quella forma).

dove ij

Analogo discorso vale per i termini dentro il terzo integrale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

2 x dx x x dx x x dx x x dx

1 1 2 1 i 1 N

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

2

x x dx x x dx x dx x x dx

i i i i N

1 2

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l

′ ′ ′ ′ ′

ψ ψ ψ ψ ψ 2

x x dx x x dx x dx

N 1 N 2 N

0 0 0

che può essere scritto in termini di componenti:

( ) ( )

l ′ ′

ψ ψ

=

*

K N x x dx

,

G ij i j

0 18

* *

K K

è detta matrice di rigidezza geometrica generalizzata. Essa viene solitamente indicata con

,

G ij G

per indicare che è stata normalizzata rispetto a N.

Infine per quanto riguarda il termine nell’ultimo integrale si introduce il vettore di carico

equivalente P :

eq,j

( ) ( ) ( )

l ψ

=

P m x x u t dx

,

eq j j g

0

( ) ( ) ( )

l ψ

m x x u t dx

1 g

0 ( ) ( ) ( )

l ψ

m x x u t dx

2 g

0 ( ) ( ) ( )

l ψ

m x x u t dx

i g

0 ( ) ( ) ( )

l ψ

m x x u t dx

N g

0

Alla fine l’equazione del moto espressa con il principio di Hamilton si può esprimere nella seguente

forma indiciale:

[ ]

+ − =

* * *

m q K K q P i=1,…,N J=1,….,N

, ,

ij i ij G ij i eq j

o nella seguente forma compatta:

[ ]

+ − =

* * *

m q K K q P eq

G

Questa scrittura è formalmente simile alla scrittura:

+ =

m

u K u P eq

e cioè all’equazione del moto ottenuta per sistemi a più gradi di libertà nel caso di discretizzazione

per masse, dove u rappresentano le incognite geometriche (una espressione analoga si era ottenuta

per i telai shear type a più gradi di libertà).

L’espressione ottenuta invece per discretizzazione per funzioni di forma:

[ ]

+ − =

* * *

m q K K q P eq

G [ ]

−

* *

K K

presenta il termine che ha particolare importanza. Infatti i valori di N che fanno

G

[ ]

−

* *

K K

annullare individuano delle condizioni di carico per cui non si ha più rigidezza

G

flessionale e il sistema si instabilizza. Tali valori di N corrispondo al valore di N critico per quel

sistema.

Questo tipo di instabilità è di tipo globale e non locale poiché coinvolge tutto il sistema e non la

singola asta e si studia attraverso un problema di autovalori e autovettori dell’espressione

[ ]

−

* *

K K .

G

In generale l’equazione del moto si presenta come: 19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l ( )

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

m x x x dx m x x x dx m x x x dx m x x x dx q t

i N

1 1 1 2 1 1 1

0 0 0 0 ( )

q t +

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

m x x x dx m x x x dx m x x x dx m x x x dx

i i i i i N

1 2

0 0 0 0 ( )

q t

i ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ q t

m x x x dx m x x x dx m x x x dx N

N N N N

1 2

0 0 0 ( )

q t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l 1

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

2

EI x x dx EI x x x dx EI x x x dx EI x x x dx ( )

i N

1 1 2 1 1 q t

0 0 0 0 2 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

2

EI x x x dx EI x x x dx EI x x dx EI x x x dx ( )

i i i i N

1 2

0 0 0 0 q t

i ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l q t

′

′ ′

′ ′

′ ′

′ ′

′

ψ ψ ψ ψ ψ 2

EI x x x dx EI x x x dx EI x x dx N

N N N

1 2

0 0 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l l

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( )

q t

2 l

x dx x x dx x x dx x x dx ψ

m x x u t dx

1

1 1 2 1 i 1 N 1 g

0 0 0 0 ( ) 0

q t ( ) ( ) ( )

l ψ

2 m x x u t dx

N =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l

l l l 2 g

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 0

2

x x dx x x dx x dx x x dx

i i i i N

1 2

0 0 0 0 ( )

q t ( ) ( ) ( )

l ψ

m x x u t dx

i i g

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

l l l 0

ψ ψ ψ ψ ψ

′ ′ ′ ′ ′ q t

2

x x dx x x dx x dx ( ) ( ) ( )

l ψ

N m x x u t dx

N

N 1 N 2

0 0 0 N g

0

Se di queste equazioni del moto si prende solo la parte statica, facendo sparire le forze d’inerzia il

moto al suolo, si può trovare il carico critico cioè quel valore di N per cui si annulla la rigidezza

flessionale risolvendo un problema di autovalori e autovettori.

Se invece di operare con N gradi di libertà si opera on un solo grado si libertà la:

[ ]

− =

* *

K NK 0

G

si riduce a:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

l l

′

′ ′

′

ψ ψ 2

− =

EI x x dx N x dx 0

0 0

ovvero: [ ]

( ) ( )

l ′

′

ψ

EI x x dx

= 0

N CR [ ]

( )

l ψ ′ 2

x dx

0

che è simile al rapporto di Rayleigh e con la quale si può fare la verifica all’instabilità locale delle

aste (particolarmente nel caso di aste a sezione variabile). Questo carico critico associato a una sola

forma è ovviamente un metodo approssimato.

Quando invece si considerano N forme il problema da risolvere diventa un problema di autovalori e

autovettori:

[ ]

* − =

*

K N K q 0

G

Questo conduce a un sistema di ordine N e pertanto restituisce N carichi critici a cui corrispondono

N forme d’instabilità. Il più piccolo valore di N è quello che conduce per primo la struttura a

instabilità per cui è il valore critico. All’aumentare delle forme di discretizzazione si ottiene una

20

stima del carico critico più accurata. Considerando infinite forme di discretizzazione si ottiene il

valore esatto di N .

CR

4. Proprietà di massa nei sistemi a un numero finito di gdl

Considerando solo sistemi lineari in cui le proprietà di massa e rigidezza rimangono invariati, cioè

le forze sismiche non causano danneggiamenti, si vogliono trovare le proprietà di massa di un

sistema a un numero finito di gradi di libertà. Considerando per il momento la discretizzazione del

sistema per masse concentrate, si prenda come riferimento il seguente telaio soggetto a un moto al

( )

u t

suolo con accelerazione :

g 500

500 40x60

40x60

350 ( )

I = 40x40 I = 40x40

u t

p p

g I = 40x40

p

Le masse agenti su di esso sono date da: 2

• peso proprio del solaio = 400 kg/m ; 2

• peso proprio carichi permanenti =100 kg/m ;

2

• carico variabile (neve) =100 kg/m ;

In caso sismico si considera solo dell’ultimo carico un’aliquota poiché si suppone che neve e sisma

2

non capitano allo stesso momento, per cui il carico variabile (neve) vale 30 kg/m .

Il carico totale all’impalcato vale:

P.T = 530 kg/m .

2

La struttura è simmetrica per cui se ne può studiare solo met&ag