Dinamica delle strutture ed ingegneria sismica

Risposta a carichi periodici

L'equazione del moto per un sistema smorzato e soggetto a una forzante esterna vale:

ω+ + = i tmu cu ku P e^o

dove:

ω ω ω= +i te cos t i sin t

La risposta può essere divisa nella parte coseno:

(β ω ξβ ω− +2P 1 cos t 2 sin t) =c ou t ( )2k β ξβ 2− +21 2

che è la risposta alla parte reale della forzante, e nella parte seno:

(β ω ξβ ω− −2P 1 sin t 2 cos t) =s ou t ( )2k β ξβ 2− +21 2

che è la parte immaginaria della forzante e che è stazionaria. La risposta complessiva è somma delle due.

In realtà però i carichi armonici sono solo una vasta classe dei reali carichi che possono agire sui sistemi. Tutti però sono caratterizzati dal fatto che all'interno della loro legge si può individuare un periodo tale che:

( ) ( )+ = ∀ = −∞ +∞P t jT P t j ,oP(t) T o t

Le funzioni che dopo un certo periodo di tempo si ripetono sono funzioni periodiche e qualsiasi funzione di questo tipo può essere sviluppata in serie di Fourier:

1∞ ∞( ) ω ω= + +P t a a cos t b sin to m m m m= =m 1 m 1

dove:

ω ω= mm oπ2ω =o T

e i coefficienti a, a e b dipendono dalla funzione in questione. Essi devono essere scelti opportunamente poiché hanno un preciso significato.

Determinazione dei coefficienti

Per determinare a_o si procede integrando ambo i membri della:

∞ ∞( ) ω ω= + +P t a a cos t b sin to m m m m= =m 1 m 1

nella quale si è scambiato di posto il segno di sommatoria con il segno di integrale.

∞ ∞+ + + +( )t T t T t T t Tω ω= + +o o o oP t dt a dt a cos t dt b sin to m m m mt t t t= =m 1 m 1

Si noti che gli integrali (1) e (2) sono nulli perché le funzioni armoniche sono integrate nel loro periodo per cui valgono zero. Pertanto si ottiene:

+ +( )t T t T=o oP t dt a dtot tdalla quale si ricava a :o+ ( )t To P t dt= ta o To

Esso rappresenta il valor medio della funzione P(t) nel periodo:

+ ( )t To P t dt= = tP a o To ω

Per ricavare a_m si moltiplicano ambo membri per “cos t” e si integrano ambo membri, per cui:

∞ ∞+ + + +( )t T t T t T t Tω ω ω ω ω ω= + +o o o oP t cos tdt a cos dt a cos t cos t dt b cos t sin tk o k m k m m k mt t t t= =m m1 1

L'integrale (3) è nullo poiché si tratta di una funzione armonica integrata nel suo periodo mentre l'integrale (4) vale:

+t T ω ω = ∀ ≠o cos t cos tdt 0 m kn kt T+t T ω ω = =o ocos cost tdt m kn k 2t

Mentre l'integrale (5) è nullo per qualsiasi valore di m e k:

+t T ω ω = ∀o sin t cos tdt 0 ,m kn kt

per cui nella:

∞ ∞+ + + +( )t T t T t T t Tω ω ω ω ω ω= + +o o o ocos cos cos cos cos sinP t tdt a dt a t t dt b t tk o k m k m m k mt t t t= =m m1 1( ) ( ) ( )3 4 5

alla fine sopravvive solo l'integrale (4) solo quando m=k per cui si ottiene:

T+ ( )t T ω =o ocosP t tdt ak k 2tdalla quale si ricava a :m2 + ( )t T ω= ⋅o cosa P t t dtm kT to ω

Per ricavare b_m si moltiplicano ambo membri per “sin t” e si integrano ambo membri lungo il periodo. Omettendo i passaggi alla fine si ottiene l'espressione di b_m:

2 + ( )t T ω= ⋅o sinb P t t dtm kT to

Il vantaggio di questo metodo sta nel fatto che una forzante periodica può essere sviluppato in seni e coseni di cui già si conosce la risposta, pertanto la risposta per un sistema soggetto a un carico periodico qualsiasi può essere scritta come:

∞ ∞a( ) ( ) ( )= + +c sou t u t u tm mk = =m m1 1

per cui anche la risposta sarà in serie in cui i termini in seno saranno relativi alla parte di risposta in seno e i termini in coseno saranno relativi alla parte di risposta in coseno sopra visti.

(β ω ξβ ω β ω ξβ ω− + − −2 2∞ ∞1 cos 2 sin 1 sin 2 cosa a t t b t t( ) = + +o m m m m m m m mu t ( ) ( )( ) ( )2 2k k kβ ξβ β ξβ2 2− + − +2 21 2 1 2= =m m1 1m m m m( ) ( )β ω ξβ ω β ω ξβ ω− + − −2 2∞ ∞1 cos 2 sin 1 sin 2 cosa a t t b t t( ) = + +o m m m m m m m mu t ( ) ( )( ) ( )2 2k k kβ ξβ β ξβ2 2− + − +2 21 2 1 2= =m m1 1m m m m( ) ( )c su t u tm m 3dove:

ω ωmβ = =m om ω ωn n

Di solito si ha a che fare con carichi periodici quando c'è la presenza vento, moti ondosi, passaggio di macchine nei viadotti ecc.

Esempio di sviluppo in serie

A titolo di esercizio si consideri lo sviluppo in serie dell'onda quadra:

T< < oP ...0 to( ) 2=P t T− < <oP .... t To o2P(t)P o 3TT oTo 2T2o2 o t-P o

In questo caso particolare la medio del carico lungo il periodo è nullo per cui:

= 0a o

Mentre:

{ }2 2+ + +( )t T t T t Tω ω ω= ⋅ = ⋅ − =o o ocos cos cosa P t t dt P m t dt P m tdtm k o o o oT Tt t to oπ π2P P2 2[ ] [ ] { }ω ωω ω− = − =o o 0 0 0sin m t sin m to oπo oω ω0T m T mωo o o oo{ }2 2+ + +( )t T t T t Tω ω ω= ⋅ = ⋅ − =o o osin sin sinb P t t dt P m t dt P m tdtm k o o o oT Tt t to oπ π2 ωP P2 2[ ] [ ] [ ] [ ]{ }ω ωω ω π π π− − − = − − − − + =o o ocos cos cos cos 0 cos 2 cosm t m t m m mo oπo oω π ω0 2T m mωo o oo 4P { }π π− + =o 1 2 cos cos 2m mπm

Per vedere come si comporta conviene studiare in grafico del coseno:

π π2 π20 π32

Occorre distinguere i casi in cui “m” è pari e i casi in cui “m” è dispari; infatti:

• 4P P[ ]• = + + =o o1 2 1se m è dispari b m π πm mP
• [ ]• = − + =ose m è pari 1 2 1 0b m π

a e b rappresentano il contenuto in frequenza della funzione, infatti riportando in un diagramma m ω si vede che il loro contenuto è discreto e sono tutti multipli in scala i loro valori in funzione di ω di mano a mano decrescenti all’aumentare del periodo.

o am b m 4 Poπ 4 Poπ3 4 Poπ5ω ωω 2 3 ωω 54o oo oo 5

Si noti come da un certo punto in poi il loro contributo diventa trascurabile per cui alcuni termini si possono elidere. serie costruita con un termine P(t) serie costruita con un due termini P o 3TT oTo 2T2o2 o t-P o.

Sistemi non-lineari soggetti a moto al suolo

Sia un sistema a un solo grado di libertà soggetto a un moto al suolo u_g(t):

Il sistema avente massa m, rigidezza k e smorzamento c, ha la seguente equazione del moto:

( )+ + = −m u cu ku m u tg

Si suppone che il moto al suolo sia dovuto a un terremoto che ha probabilità di occorrenza, durante la vita della struttura, alta; il che significa che il terremoto è di forte intensità e quindi l’input al suolo si presenta con elevate accelerazioni, velocità e spostamenti tali da poter danneggiare la struttura. A seguito del danneggiamento, la struttura presenterà reattività non più del tipo elastico attraverso la relazione:

6=f ku

ma attraverso un legge non lineare che esprime la forza reattiva f come funzione dello spostamento e della velocità u :

( )=f f u u,s s u

Il motivo per cui si ritiene che la forza reattiva del sistema possa dipendere da e da u deriva dal modello assunto per simulare il comportamento che oltrepassa il limite elastico e che è quello elasto-plastico. In questo modello, il termine u indica se nella fase plastica si è nella fase di carico o di scarico:

( ),f u u> 0u < 0u u

In questi casi l’equazione del moto diventa:

( ) ( )+ + = −,m u cu f u u m u tr g

Il sistema del genere non risponderà più linearmente e la risposta sarà del tipo:

fr ue non più del tipo:

L’area racchiusa in un ciclo è l’energia dissipata per isteresi dal sistema.

Il sistema è dunque non lineare e si può risolvere assumendo un certo modello che descrive il legame costitutivo (cioè la legge di carico e scarico).

All’interno del modello assunto si fa l’ipotesi approssimativa che per piccoli spostamenti, o per meglio dire per piccoli passi di tempo, il legame si posso considerare lineare.

Cioè, l’approssimazione consiste nel fatto che all’interno del passo di tempo il sistema si comporta linearmente. Ovviamente, più piccoli sono i passi, più accurata è l’analisi.

Si procede dunque con analisi al passo, detta anche analisi passo-passo o step by step oppure non-linearari.

Una tale tecnica è ampiamente usata in vari tipi di analisi, sia essi di tipo statico che dinamico, in questo ultimo caso consistono nella risoluzione dell’equazione del moto immaginando che le proprietà del sistema si mantengono costanti all’interno del passo.

Qui verrà usato il metodo della forzante lineare nel passo che consiste fondamentalmente nel voler determinare lo spostamento al tempo t + Δt noti le condizioni al tempo t. Allo stesso modo si vorranno determinare velocità ed accelerazione al tempo t + Δt note le condizioni al tempo t.

Oggetto dell’analisi sarà dunque determinare:

• u(t + Δt)
• v(t + Δt)
• a(t + Δt)

Si procede considerando il loro sviluppo in serie di Taylor:

Δt t( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt + + +u t t u t u t Δt u t u t Ru2 6

2( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt + +u t t u t u t Δt u t R u

() ( ) ( )+ Δt = + Δt +u t t u t u t Δt Ru 8

Dove il termine R_u indica il resto della serie.

In queste espressioni risulta essere noto tutto quello che accade al tempo t, ovvero u(t), v(t) e a(t), mentre interessa sapere i valori al tempo t + Δt.

Si fa dunque l’ipotesi semplificativa sulla variabilità dell’accelerazione nel passo (accelerazione relativa), che consiste nel supporre che essa vari linearmente nel passo. Questo significa che la sua derivata sarà costante e pertanto il resto nullo. Quindi si può eliminare l’incognita R_u dovuta al resto:

Δt t( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt + +u t t u t u t Δt u t u t2 6

2( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt +u t t u t u t Δt u t

() ( ) ( )+ Δt = + Δt +u t t u t u t Δt

Dall’ultima di queste espressioni si ricava:

() ( )+ Δt -u t t u t

() =u t Δt Δt

Dove il termine al numeratore è l’incremento di accelerazione nel passo e viene assunto pari a Δa(t):

() ( ) ( )Δa t = + Δt -u t u t

Allo stesso modo si possono definire l’incremento di velocità e l’incremento di spostamento Δu(t) nel passo:

() ( ) ( )Δv t = + Δt -u t u t

() ( ) ( )Δu t = + Δt -u t u t

Con tale posizione la:

() ( )+ Δt -u t t u t

() =u t Δt

diventa: Δa(t)

() =u t Δt

e la:

Δt t( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt + +u t t u t u t Δt u t u t2 6

si può scrivere in termini d’incremento, portando il termine u(t) a primo membro e sostituendo l’espressione di appena ricavata in termini di incremento di accelerazione:

() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Δt = + Δt + + Δt + + Δt Δt Δt Δt Δt2 3 2 2=∆ =∆ + + ∆u t u t t u t u t t u t u t

Mentre la:

Δt( ) ( ) ( ) ( )+ Δt = + Δt +u t t u t u t Δt u t 2

diventa allo stesso modo:

() Δt Δt Δt2 2t u t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( )=∆ = ∆ + = ∆ + = ∆ + ∆u t u t t u t u t t u t t u t

Le due espressioni:

Δt( ) ( ) ( ) ( )=∆ = ∆ + + ∆u t u t t u t u t

Δt( ) ( )∆ = ∆ + ∆u t u t t u t

formano un sistema di due equazioni nelle tre incognite:

• Δu(t)
• Δv(t)
• Δa(t)

L’equazione mancante per risolvere il sistema viene presa sfruttando l’equazioni di equilibrio nel passo:

( )f u u= ⋅T u u t

dove viene descritta come una matrice di rigidezza tangente nel passo ovvero nel punto in corrispondenza di t o t + Δt.

Una tale equazione si traduce in un’equazione di equilibrio.

Si calcola dunque la soluzione nell’intervallo al tempo t:

( ) ( ) ( ) ( )+ + = −Tmu cu K u t , u t u t mu tg

Si ribadisce il fatto che al tempo t la rigidezza è tangente alla curva nel punto considerato:

La K_T è la pendenza della curva nel punto del modello assunto. Il modello assunto è il legame costitutivo, ovvero una curva che rappresenta il comportamento della struttura come la push-over.

Mentre al tempo t + Δt l’equazione di equilibrio all’interno dello stesso passo è:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ∆ + + ∆ + + ∆ = − + ∆Tmu t t cu t t K u t , u t u t t mu t tg T

Si faccia attenzione al fatto che l’aggiornamento di K_T è discreto e non continuo pertanto in questa ultima espressione dell’equilibrio K_T è uguale a quella scritta all’interno dell’equazione di equilibrio nel passo al tempo t. L’aggiornamento di K_T secondo la pendenza della curva avverrà al passo successivo. La matrice di rigidezza si aggiorna al passo.

A questo punto per ottenere l’espressione dell’equazione di equilibrio scritta in termini incrementali basta sottrarre membro a membro le due equazioni di equilibrio relative al tempo t e al tempo t + Δt appena scritte:

( ) ( ) ( )∆ + ∆ + ∆ = − ∆Tm u c u K u t , u t u m u t g

nella quale si è posto:

() ( )∆ = + ∆ −u t u t t u tg g g

e che è un dato del problema.

Adesso il sistema è costituito dalle seguenti tre equazioni:

• Δt( ) ( ) ( ) ( )∆ = ∆ + + ∆u t u t t u t u t
• Δt( ) ( )∆ = ∆ + ∆u t u t t u t