Dinamica dei sistemi

DINAMICA dei SISTEMI

CENTRO di MASSA definito in m₁ e m₂ dai vettori r₁ r₂

C_CM = ^{m₁r₁ + m₂r₂} / _m1+m2

C_CM = ^{N ∑ m_i r_i} / _{N ∑ mi}

DERIVANDO l'ESPRESSIONE del r_CM trovo la VELOCITÀ del c_CM

d/dt r_CM = ^{m₁dr₁/dt + m₂dr₂/dt} / _m1+m2 = ^{m₁v₁ + m₂v₂} / _m1+m2

V_CM = ^{(m₁ + m₂)} V_CM = ṗ₁ + ṗ₂

M V_CM = ṗ_tot

DERIVANDO V_CM trovo l'ACCELERAZIONE del c_CM

ȧ_CM = dV_CM / dt = (m₁ + m₂) ȧ_CM = m₁ȧ₁ + m₂ȧ₂

M ȧ_CM = m₁ȧ₁ + m₂ȧ₂

(m₁ + m₂) a_CM = m₁a₁ + m₂a₂

M a_CM = m₁a₁ + m₂a₂

F_E = forze esterne

mi avvalgo della legge di Newton

• F₁ + F₂ = m₁a₁ + m₂a₂
• F_E + F₁₂ = m₁a₁ + m₂a₂

sommando le due eq.

Ṙ_E = (m₁ + m₂) a_CM

Ṙ_E = M a_CM      "Il centro di massa si muove come se fosse sottoposto solo a R delle forze ext."

I° EO CARDINALE della D.d.S.

Ṙ_i = M (a_CM)

Le forze interne non possono modificare la posizione del c_CM perché la loro R = 0

m₁v₁ = m₂v₂

DINAMICA dei SISTEMI

CENTRO di MASSA definito in m₁ e m₂ dai vettori r̄₁ r̄₂

_CM = ^{m₁r̄₁ + m₂r̄₂}/_m1+m2

C̄_CM = ^{∑N m_i r̄_i}/_{∑N mi}

DERIVANDO l'ESPRESSIONE del r̄_CM TROVO la VELOCITÀ del c_M

v̄_CM = d r̄_CM/dt = ^{m₁d r̄₁/dt + m₂d r̄₂/dt}/_m1+m2 = ^{m₁v̄₁ + m₂v̄₂}/_m1+m2

(m₁ + m₂) v̄_CM = p̄₁ + p̄₂

M v̄_CM = p̄_tot

DERIVANDO v̄_CM TROVO l'ACCELERAZIONE del c_M

a_CM = d v̄_CM/dt = ^{m₁a₁ + m₂a₂}/_m1+m2

(m₁ + m₂) a_CM = m₁a₁ + m₂a₂

M ā_CM = m₁a₁ + m₂a₂

II' EQ CARDINALE della D.d.S.

R̄_ext = M (ā_CM)

le forze interne non possono modificare la posizione del c_M perché la loro R̄ = 0

m₁v̄₁ = m₂v̄₂

LA PRIMA LEGGE DELLA DINAMICA DEI SISTEMI

R_i = M_i  dv/dt = d/dt(mv) = dP_tot/dt

R_e = dP_tot/dt

EQUAZIONE DI BASE DELLA DINAMICA DEI SISTEMI

parliamo di P_tot e non di P_m perché non è fisicamente corretto parlare di quantità di moto del centro di massa

Questo ci dà una LEGGE della CONSERVAZIONE della QUANTITÀ di MOTO

Se R_e è nulla oppure se il sistema è isolato P_tot = costante

FORZE IMPULSIVE

Forze impulsive = F che agiscono in un Δt piccolissimo

F̅ = Δp/Δt

∫F * dt = ∫dp → |Ι| = |Δp| = |p_f - p_i|

Ι = F̅ * Δt

Ι = ∫F * dt = F(t₁-t₀) = F̅ * Δt

|Ι| se F cost

UNITÀ DI MISURA N s

nei fenomeni di urto si considerano solamente le FORZE IMPULSIVE, perché determinano la variazione della quantità di moto

in misura maggiore rispetto alle altre forze (vedi grafico)

AREA SOTTESA = VARIAZIONE della QUANTITÀ DI MOTO

AREA SOTTESA = Δp

URTO

URTO = Fenomeno nel quale interagiscono FORZE INTERNE di tipo IMPULSIVO

Durante l’URTO tra corpi PUNTIFORMI non vincolati si possono considerare i corpi “ISOLATI”

P_tot = COSTANTE

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

m₁v₁² + m₂v₂² = m₁v₁'² + m₂v₂'²

3# TIPOLOGIE di URTI

1. URTO ELASTICO

Prot. E_cin COSTANTI

Prot. E_cin

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

m₁v₁² + m₂v₂² = m₁v₁'² + m₂v₂'²

2. a) URTO ANELASTICO

Prot. costante c'è una perdita di E_cin x attrito

2. b) URTO TOTALMENTE ANELASTICO

P non costante + 1 corpo solo dopo l'urto

4. L'URTO ELASTICO

Cons P Cons E_cin

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

m₁v₁² + m₂v₂² = m₁v₁'² + m₂v₂'²

Semplifico qui 1/2

Porto a SX tutto ciò che riguardava v₁

m₁(v₁ - v₁') = m₂(v₂ - v₂')

m₁(v₁² - v₁'²) = m₂(v₂'² - v₂'²)

dividiamo II / II

(v₁ - v₁') = (v₂ + v₂')

v₁' = v₂ + v₂ - v₂

v₁ - v₂ = v₂ + v₂ - v₂

v₁ = 2m₁v₁ + (m₁ + m₂)v₂ + v₂ (m₁ + m₂) - v₁ (m₁ + m₂)

v₂ = m₁v₁ + 2m₂v₂ + m₂v₁

m₁ + m₂

Moto del Pendolo

Se t = 0, v = 0, θ=θ₀

θ(t) = θ₀ cos (ω₀t)

Se t = 0

θ(t) = θ₀ sin (ω₀t)

ω = ω₀cos(ω₀t)

v₀ = -l ω₀θ₀

v₀ = -l dθ/dt (t = 0)

ω₀ = √(g/l)

Pulsazione

θ₀ = ½ π, non sono piccole oscillazioni → Uso Conservazione Energia (In)

EtotA = EtotC

mgl = ½ mv₀²

v₀ = √2gl

EtotA = EtotC

mgl = mgl (1-cosθ) + ½ mvⱼ²

2gl = 2gl - 2glcosθ + vⱼ²

vⱼ² = 2glcosθ

vⱼ = √(2glcosθ)

Velocità in funzione dell'θ

Calcolo della Tensione

T - P₁ = ma_r

T - mgcosθ = m·v²/l

Uso Newton

T(θ) = mgcosθ + m· 2gcosθ

T(θ) = mgcosθ + 2mgcosθ

T(θ) = 3mgcosθ

T(θ) = 3mg

T dipende dall'angolo di partenza

V₀ in B, mL

l - Lcos(θ)

l(1 - cosθ)

_i = _f

E_TOT = E_TOT

1/2 mvo² = mgL(1 - cosθ_MAX)

1 - cosθ_MAX = vo² / 2gL

cosθ_MAX = vo² / 2gL

θ_MAX = arcos(1 - vo² / 2gL)

P in moto in un piano xy

y_i(x) = A sin(kx)

x(t) = V₀t

V(t) = ?

V(t) = √v_x² + v_y²

v_x = dx/dt = v₀

v_y = dy/dt = (A sin(k v₀t))'

v_y = kv₀A cos(kv₀t)

V(t) = √vo² + (k² vo² A² cos²(kv₀t))

Grafico dell'energia

m = 2kg

x = 0

v₀ = 3 m/s

v in x = 1, 3, 5, 7, 8, 9

Utilizziamo il fatto che

Lavoro = area sottesa

Lavoro = variazione E_CIN

L_0→1 = 4J

= E_C1 - E_C0 . 1/2 m (v₁² - v₀²) quindi 2L = m (v₁² - v₀²)

v₁ = √9 + 2/2 = √10 m/s

L_0→3 = 5/2 L = 1/2 m (v₃² - v₀²)

v₃² = v₀² + 2L/m

v₃ = √9 + 10/2 = √14 m/s