Dinamica dei sistemi aziendali

DINAMICA DEI SISTEMI AZIENDALI

a.a. 2019/2020

docente: Roberto D’Ercole

roberto.dercole@unimib.it

SCUOLA DI ECONOMIA E STATISTICA

Dipartimento di Statistica e metodi Quantitativi

Università di Milano-Bicocca

Ricerca operativa e modellizzazione

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Esempio: il modello di crescita secondo Malthus

3 ◦ data una popolazione che evolve isolata e i cui unici

Problema:

fattori di evoluzione sono fertilità e mortalità, vogliamo trovare la

sua legge di variazione nel tempo.

Indichiamo con

il numero di individui presenti al tempo

N(t) t;

il numero di nuovi nati per individuo nell’unità di tempo;

λ il numero di morti per individuo nell’unità di tempo.

µ

In un intervallo di tempo di durata il numero di nuovi nati e di

h

morti saranno rispettivamente e pertanto la

λhN(t) µhN(t),

variazione del numero di individui in un tempo sarà

h

+ =

N(t h) N(t) λhN(t) µhN(t)

− −

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Ricerca operativa e modellizzazione

Dividendo ambo i membri della precedente equazione per si

h,

ricava +

N(t h) N(t)

− = (λ µ)N(t).

−

h

Assumiamo che la precedente sia valida per ogni intervallo di tempo

passando al limite in ambedue i membri per 0, otteniamo

h; h →

dN(t) = (λ µ)N(t)

−

dt

del primo ordine che descrive la variazione

equazione differenziale

della popolazione in esame. Il parametro si dice potenziale

λ µ

−

biologico.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Ricerca operativa e modellizzazione

Esempio: l’evoluzione di un deposito monetario

4 ◦ se un capitale iniziale viene depositato all’istante

Problema: C

0 in un conto corrente bancario, vogliamo esprimere

=

t

l’ammontare del capitale nel tempo, assumendo che il suo valore

verrà incrementato grazie ai tassi d’interesse pagati dalla banca.

Questa volta impostiamo un modello a misurando il

tempi discreti,

tempo in anni.

Indichiamo con (oppure ) la che esprime

variabile di stato

x(t) x t

l’ammontare del capitale nel deposito bancario durante l’anno t.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Ricerca operativa e modellizzazione

Sia inoltre il tasso d’interesse annuale applicato nel periodo

(t)

r

1). Assumendo che non ci siano altri fattori che possano

[t, +

t

influenzare l’andamento di nel tempo, allora l’ammontare del

x(t)

capitale depositato deve verificare la seguente equazione alle

differenze finite 1)

+ = (1 + (t))x(t)

x(t r t N

∈

con la condizione sul capitale iniziale investito: 0.

=

x(0) C >

In questo corso non studieremo i modelli basati su equazioni

differenziali o alle differenze finite perché esulano dai nostri scopi,

oltre a richiedere nozioni matematiche più approfondite.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Ricerca operativa e modellizzazione

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DINAMICA DEI SISTEMI AZIENDALI

a.a. 2019/2020

docente: Roberto D’Ercole

roberto.dercole@unimib.it

SCUOLA DI ECONOMIA E STATISTICA

Dipartimento di Statistica e metodi Quantitativi

Università di Milano-Bicocca

Programmazione lineare - I parte

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Obiettivi formativi

I Il modello di ottimizzazione lineare

I Alcuni esempi e casi di studio

I Geometria di un problema di PL; risoluzione grafica

I Risoluzione algebrica di un problema di PL

I Risoluzione mediante il foglio di Excel (Risolutore)

I Il metodo del simplesso

I Teoria della dualità

I Analisi di sensitività

I Alcuni modelli di programmazione lineare

I Cenni sulla programmazione lineare intera

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Riferimenti bibliografici

Stefani, Torriero, Zambruno, Elementi di Matematica Finanziaria e

cenni di Programmazione Lineare, ed. Giappichelli (2007).

Carcano, Elementi di programmazione lineare, ed. Datanova (2002)

(consigliato per gli esercizi).

D’Ercole, Stefani, Modelli matematici per le decisioni aziendali, Ed.

Esculapio (2008).

Bellenzier, Grassi, Stefani, Torriero, Metodi quantitativi per il

Management, ed. Esculapio (2012).

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Dal punto di vista matematico, un problema di ottimizzazione

consiste nel massimizzare o minimizzare funzioni lineari

lineare

definite su poliedri convessi.

A partire dal secolo scorso, i modelli di ottimizzazione lineare sono

stati sviluppati e implementati in ambito aziendale, nelle scienze

economiche, nella pubblica amministrazione, nell’agricoltura, in

campo scientifico; ricordiamo, come esempi, la pianificazione della

produzione, la logistica e l’allocazione delle risorse, il marketing,

l’analisi finanziaria, l’allocazione del personale.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Primo caso di studio: mix produttivo per un pastificio

Un pastificio vuole ottimizzare la produzione dei due prodotti

principali: i fusilli (F ) e gli spaghetti (S). Più precisamente, si

vuole elaborare il piano ottimale di produzione relativo a uno

specifico orizzonte temporale, pari a settimana di lavoro.

Il ciclo produttivo consta di tre fasi essenziali per l’allocazione

ottimale delle (limitate) risorse disponibili:

- la macinazione delle semole;

- la produzione dei due tipi di pasta;

- il confezionamento della pasta.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Ogni quintale di questo formato di pasta richiede 1 ora per

Fusilli.

la fase di macinazione, 4 ore per la produzione e 2 ore per il

confezionamento.

Per un quintale sono richiesti 1 ora per la macinazione,

Spaghetti.

2 ore per la produzione e 4 ore per il confezionamento.

La disponibilità di capacità produttiva nell’orizzonte di 1 settimana

lavorativa è pari a 40 ore per la macinazione, 132 ore per la

produzione e 140 ore per il confezionamento.

e e

Il margine lordo unitario è 24 per quintale di fusilli e 18 per

quintale di spaghetti.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

La seguente tabella schematizza i dati del problema

fase capacità (h) fusilli (h/q) spaghetti (h/q)

macinazione 40 1 1

produzione 132 4 2

confezionamento 140 2 4

margine (e/q) 24 18

L’obiettivo dell’azienda è ricavare un piano di produzione,

rappresentato dal mix dei due prodotti da collocare sul mercato,

che nel rispetto dei limiti di

massimizzi il margine lordo totale,

capacità delle risorse disponibili.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Costruzione di un modello per il mix produttivo ottimale che

rappresenti il processo decisionale Nello specifico caso in esame

1) Scelta delle variabili decisionali.

le decisioni consistono nel volume di produzione da attivare per

entrambi i tipi di pasta, quindi scegliamo = quintali di pasta da

F

produrre nel formato fusilli e = quintali di pasta da produrre nel

S

formato spaghetti.

2) Definizione della funzione obiettivo da massimizzare.

Detto il margine lordo del mix produttivo si può scrivere

z (F , S),

24F 18S.

z = +

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

3) Definizione dei vincoli relativi all’utilizzo delle risorse e

Possiamo aiutarci con i dati riportati

alla capacità produttiva.

nella prima colonna della tabella precedente.

- Per la fase di macinazione si ha una disponibilità massima di 40

· ·

ore, quindi 1 1 40 (cioè si assume che la realizzazione del

F + S 6

mix produttivo comporti un assorbimento proporzionale e

(F , S)

additivo, quindi lineare, della capacità di macinazione);

- per la fase di produzione: 4F 2S 132 e

+ 6

- per la fase di confezionamento: 2F 4S 140.

+ 6

Aggiungiamo gli ovvi vincoli di non negatività: 0, 0.

F S

> >

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Riassumendo, il problema del mix di produzione ottimale è descritto

dal modello 24F 18S

max + 40

s. a F + S 6

4F 2S 132

+ 6

2F 4S 140

+ 6

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F , S >

F

in forma matriciale, 24 18 s.a

max [ ] S

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1 1 40

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   

2 4 140

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Secondo caso di studio: la dieta ottimale per cani

Un’azienda produttrice di cibo per cani utilizza due componenti,

orzo (X ) e mais (M), da miscelare in proporzioni opportune per

ottenere il prodotto alimentare finito. Ciascuna componente

fornisce un diverso contributo in termini nutritivi.

Ogni mangime deve contenere una quantità minima di fibre,

vitamine, grassi e proteine, pari rispettivamente a 200, 120, 360 e

400 grammi.

Ogni kg contiene 100 g di fibre, 20 g di vitamine, 20 g di

Orzo.

grassi e 20 g di proteine.

Ogni kg contiene 10 g di fibre, 10 g di vitamine, 50 g di

Mais.

grassi e 100 di proteine.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

e/kg e/kg

Il costo dei componenti è 22 per l’orzo e 26 per il mais.

I dati del problema sono schematizzati nella seguente tabella

elementi requisito min (g) orzo (g) mais (g)

fibre 200 100 10

vitamine 120 20 10

grassi 360 20 50

proteine 400 20 100

costo (e/kg) 22 26

L’obiettivo dell’azienda consiste nel trovare la quantità ottimale dei

due componenti da miscelare nella produzione del mangime, in

modo da però sempre

minimizzare il costo totale della miscela,

nel rispetto dei requisiti nutrizionali minimi richiesti.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Costruzione di un modello per la miscelazione ottimale che

rappresenti il processo decisionale

1) Scelta delle variabili decisionali.

= quantità di orzo da miscelare, espressa in kg;

X = quantità di mais da miscelare, espressa in kg.

M Detto

2) Definizione della funzione obiettivo da minimizzare.

il costo totale corrispondente alla miscela si può scrivere

z (X , M),

22X 26M.

z = +

3) Definizione dei vincoli sui requisiti nutrizionali minimi

Leggendo i dati riportati nella tabella, è immediato

richiesti.

ottenere le seguenti limitazioni

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

- per le fibre: 100X 10M 200;

+ >

- per le vitamine: 20X 10M 120;

+ >

- per i grassi: 20X 50M 360;

+ >

- per le proteine: 20X 100M 400 e

+ >

- vincoli di non negatività: 0, 0.

X M

> >

Riassumendo, il problema della miscelazione ottimale è descritto dal

modello 22X 26M

min +

100X 10M 200

s. a + >

20X 10M 120

+ >

20X 50M 360

+ >

20X 100M 400

+ >

0

X , M >

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Formalizzazione di un modello di programmazione lineare

chiara definizione degli obiettivi

1) Identificazione del problema:

del processo decisionale e dei vincoli da rispettare.

corrispondenti alle

2) Definizione delle variabili decisionali,

scelte quantitative che il processo decisionale comporta.

attraverso una funzione lineare

3) Formalizzazione dell’obiettivo,

delle variabili di decisione, con coefficienti ricavati opportunamente

da una specifica base di dati del problema di riferimento.

i quali sono un

4) Formalizzazione dei vincoli del problema,

insieme di equazioni o disequazioni lineari nelle variabili decisionali

che definiscono, dal punto di vista logico, fisico e procedurale, se

una decisione è ammissibile oppure no.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

n m

→

Una funzione si dice se vale la seguente

R R lineare

F :

relazione: n

∀ ∈ ∀ ∈

x, y R R

F (αx + βy) = αF (x) + βF (y) , α, β

Teorema (di caratterizzazione):

n m

→

Una funzione è lineare se e solo se può essere espressa

R R

nella forma per un’opportuna matrice di dimensioni

Ax

F (x) =

× detta appunto matrice rappresentativa.

m n,

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Consideriamo il seguente problema di massimizzazione: (1)

max c x + c x + . . . + c x

1 1 2 2 n n

s. a a x + a x + . . . + a x b

6

11 1 12 2 1n 1

n

a x + a x + . . . + a x b

6

21 1 22 2 2n 2

n

....................

a x + a x + . . . + a x b

6

1 2

m1 m2 mn n m

0

x , x , . . . , x >

1 2 n

Se le dimensioni e sono molto grandi, è più opportuno

n m

riformularlo in termini matriciali, sia per avere una forma compatta

sia per poter applicare più agevolmente i metodi dell’algebra

lineare. A tal fine poniamo

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

 

a . . . a

11 1n T

A x

... ... ...

= , = [x . . . x ] ,

1 n

 

a . . . a

m1 mn

T T

c b

= [c c . . . c ] , = [b b . . . b ]

1 2 1 2

n m

gli elementi della matrice esprimono le relazioni tra prodotti (o

A

risultati) e le risorse impiegate, il vettore (colonna) raccoglie le

x

variabili decisionali del problema, il vettore è formato dai

c

coefficienti della funzione obiettivo, infine il vettore è formato dai

b

termini noti dei vincoli.

Dinamica dei Sistemi Aziendali 2019/2020 Programmazione lineare

Pertanto il può riscriversi come<