Dinamica dei Rotori - Teoria

Dinámica dei rotori

Richiami di meccanica delle vibrazioni

Consideriamo la meccanica vibrazionale a 4 dof parlando di sistemi lineari tempo invarianti caratterizzati dalle seguenti equazioni:

m ẍ + c ẋ + k x = f_(t)

x = x₀ e x₀, x₀ = l_f=0

ω_n = ^√k/_m pulsazione naturale dei sistema

ζ = c/2m ω_n smorzamento in coppia del sistema

La soluzione di queste equazioni differenziale è data da una soluzione transitoria generale dell'omogenea associata e una soluzione permanente o stazionaria (e particolare delle non omogenea).

x_0,p (t) = x_t(t) ≠ x_p(t)

C.I| x_(t=0) = x₀ | ẋ_(t=0) = ẋ₀

Partiamo dalla soluzione tensilive:

ẋ + 2 ζ ω_n ẋ + ω_n x = 0

Di che le soluzioni è di tipo esponenziale:

X_1,2 = s²+ con s parametro complesso

(s² + 2 ζ ω_n ẋ + ω_n2) = 0

X₁₁(t) = α ̇e^stS(s)v. Questione di test e ci sono se si sostituiciele che se ricordiamo di inserire i due coeff. segnati α, α_a che si trovano delle condizioni iniziali.

Tre casi possibili in base al segno dello smorzamento

Se |z| > 1

x_0,t (t) = ae^st + a_t^e-st - sistema instabile. Dato che gli esponenzieli sono reali se i coeff. sono positivi, le soluzioni x¹_t diverge mentre se coeff. sono entrambi negativi converge a zero.

Se |z| = 1

X₁₁(t) = (α + α_t)e^st. Il comportamento è uguale a quello di prima.

Se |z| < 1

s_1,2 = - z ω_n ± i ω_n^{1 - z2} = - z ω_n ± i ω_2π

x^t₀ (t) = α^e + a^{2 e2} - quest'ultima è data da una parte reale ed una immaginaria:

f = Re(αt) + i Im(α) - In questo caso sì, e sono immaginari e posso, mentre la pulsazione presume euer come quelli che il sistema vibresemina?

Dinamica dei rotori

Richiami di meccanica delle vibrazioni

Consideriamo la meccanica vibrazionale parlando di sistemi lineari tempo invarianti caratterizzati dalle seguenti equazioni:

mẍ + č ẋ_d + k x = f(t)

w_n = √ k/m _pulsazione naturale del sistema

z̈ + 2 z w_n ẋ + w²n x = f(t)/ml = c/m _smorzamento al corpo del sistema

La soluzione di questa equazione differenziale è data da una soluzione transitoria (generale dell'omogenea associata) e una soluzione permanente o stazionaria (= particolare della non omogenea).

X_0j = X_tr(t) + X_st(t)        E.I( x(0) = x₀ )( ẋ(0) = ẋ₀ )

Soluzione transiente

Partiamo dalla soluzione transiente:

ẍ + 2 z w_n ẋ + w_n² x = 0_2.6

che ha soluzioni di tipo esponenziale:

X_tr = e^st con _s paramentro complesso

(s² + 2 z w_n s + w_n²) = 0_{c. di λ}

(x_tr(i)(t) = a_i e^st_{valore del list. di y1}

S’impone la soluzione di test e si sostituisce se s₁ che s₂ ricavandone da inserire i due coeff. ignoti a₁ e a₂ che si trovano dalle condizioni iniziali.

Tre casi possibili in base al segno dello smorzamento

Se |z| X_tr(t) = ae^{−ž t} + a̅ e^{ž t} - sistema instabile. Dato che gli esponenziali sono reali, se i coeff. sono positivi le soluzioni x_{tr la} diverge mentre se coeff. sono entrambi negativi converge a zero.

Se |ž| = 1

X_tr(t) = (a + a̅ t) e^{ç t}. Il comportamento è uguale al primo.

Se |z| s_1,2 = − ž w_n + i w_n √^{1 − ž2} ⇔ − ž w_n + iw_n a = e^{(− ž w_n + jw_n)t} & ac = e^{(− ž w_n − jw_n)t}

Questo vale a dato da due parti reali ed una immaginaria:

a = Re(a) + i Im(a)

In questo caso sì, ci sono immaginari e posso definire la pulsazione proprio come.