Dinamica dei Rotori - Teoria

Dinamica dei Rotori

Richiami di Meccanica delle Vibrazioni

Consideriamo la meccanica vibrazionale 1 d.o.f. parlando di sistemi lineari tempo invariant e caratterizzati dalle seguenti equazioni

m x¨ + c x˙ + k x = f(t)

ω_n = √(k/m)

z = c/(2m ω_n)

c: soluzione di quest' eq differenziale è data da una soluzione transitoria (generale dell'omogenea associata) ed una soluzione permanente o stazionaria (particolare della non omogenea)

• x = x_tr(t) + x_st(t)

Sia α₁₂ = -z ω_n ± ω_n √z² - 1

• Se |z| > 1

• x_tr(t) = ae^αt + a' e^α't

• Se |z| = 1

• x_tr(t) = (a + a't)e^αt

• Se |z| < 1

• α₁₂ = -z ω_n ± j ω_d = -z ω_n ± j ω_n √1 - z²
• ω_d = ω_n √1 - z²
• x_tr(t) = a e^{-z ω_n t} cos ω_d t

Per la teoria di Eulero della parte immaginaria so che posso scrivere

Sostituendo vari termini nella equazione dell'omogeneo ottengo una forma che evidenzia un comportamento oscillante.

x₁(t,z)=z e^s₁t Re[a₁ cos(ω₀t] - Im[a₁ sin(ω₀t)]

x₂(t,z)=z e^s₂t cos(ω₀t - φ₀) e^ω_nt

Dato che sono nulle le condizioni in cui [9.5.11] vedo che se z è positivo l'equazione oscilla e si smorza. Se z è negativo l'equazione oscilla ed esplode mentre se z è nullo ho oscillatore costante.

Consideriamo adesso le soluzione stazionarie che sorgono quando una forza dinamica è applicata al sistema in esame. Consideriamo solo forze armoniche e periodiche in quanto sono quelle classiche che sorgono nelle dinamiche dei sollevi inoltre le periodiche possono essere scomposte in una somma di armoniche tramite l'analisi di Fourier.

Forza armonica (forzante oscillante ad una frequenza ω specificata)

Siamo interessati ad una qualunque soluzione delle

x₀ + z & xuml; & xuml; + ωx₀²r g₀ cos(ω₀t)] = Re{g₀ e^iω₀t}

Per il sistema lineari l'analisi ci dice che si forza il sistema con una forzante armonica ad una certa frequenza u il sistema risponde in modo armonico con stessa frequenza u del forzante.

x_st = Re{g₀ e^iω₀t}=

x_st = Re {[-ω²+2ζ ω₀iω & omega; a₁ e^iωt Re{ g₀ e^iω₀t}

x₀ = (-ω²+z g₀ ω₀iω - &omega a₁ = a/ωω₀

Ho definito (x₀ come una funzione complessa a variabile reale. Si chiama ACCETTANZA ed è la funzione di trasferimento del sistema.

Per la ricerca della soluzione transitoria posso considerare alcuni casi particolari per completezza.

Si può annullare la matrice di smorzamento H nella sua parte simmetrica S ed in

quella asimmetrica A; prime è legata fenomeni smorzanti mentre l’iltre è legata

agli effetti giroscoplci.

Nel primo caso posso considerare H matrice simmetrica e la soluzione è uguale al caso generale

mentre nel caso in cui H matrice asimmetrica mi si annullano gli smorzamenti (η̂=0) e quindi

valutiamo gli autovalori; nel terzo caso si annullo quando H=0; il sistema quindi vibra senza

smorzamento (η̂=0) riconducendo al secondo caso

Vediamo il caso in cui il sistema è degustizabile tramite un adeguato cambio di variabili.

ẍ+Ｋη̂=q̂=0

λ=s_i, q̇=0.

Per il cambio di variabile considero la matrice modola Q totalmente propiante i modi autovettori ỹ_o

e studio il sistema rispetto alle variabili modolo q̇=Q^{T (q̇)(')na}

η̂=Qȳ̂

Faccio il cambio di variabile sostituendo nell’eq di moto e moltiplico ogni termine per Q^T da sinistra

ottenendo:

Q^Tแȳ̂+Q^TKQȳ̂=0

Lo scopo adesso è studiare la matrice Q^TMΩ e Q^TKQ imponendo il caso particolare di Η=0.

Q^TMΩȳ̂+Q^TKQȳ̂=0

si suppone autovalori distinti S_i

usando aigianti positive

③̂+Käȳ̂=0

-₂ωȳ̂M+Kđq=0

∀j。

Poiché vale V_j, posso scrivere ₂x eqeiceo per un generico i ed un generico j. Successivamente

moltiplico da sinistra per q̇^T.

sottopgiò poi le due eqeazioni

-{ω_j²M+K}q̇_ij^

q̇_ij=0

-{ω_i²M+K}

q̇_jix_ji=0

=q