Dinamica dei Rotori

Dinamica dei Rotori

Analisi Lineare e tempo invariante dei sistemi a 1DOF

Equazione di moto

m ẍ + c ẋ + k x = f(t)

f(t) è la forzante esterna

Riscrivo l'equazione come

ẍ + _c/_m ẋ + _k/_m x = _f(t)/_m

Definisco poi

• _c/_m = 2ξ ω_n
• ω_n² = _k/_m

Quindi l'equazione può essere riscritta come

ẍ + 2ξ ω_n ẋ + ω_n² x = _f(t)/_m

Vedo la soluzione dell'equazione come somma di una soluzione stazionaria e una transitoria

x(t) = x_st(t) + x_t(t)

La soluzione stazionaria è equivalente alla soluzione particolare dell'equazione non omogenea

La transitoria invece è la soluzione generale dell'omogenea associata

Risolviamo dapprima la soluzione transitoria

EQ OMOGENEA ẍ + 2ξ ω_n ẋ + ω_n² x = 0

Hp una soluzione del tipo x = x_o e^st ⇒ Quindi

• x = x_o e^st
• ẋ = s x_o e^st
• ẍ = s² x_o e^st

Sostituisco nell'equazione omogenea sopra e risolvo quindi per s

s²x_oe^st + 2ζω_ns x_oe^st + ω_n²x_oe^st = 0

s² + 2ζω_ns + ω_n² = 0

-2ζω_n ± √(4ζ²ω_n² - ω_n²)₂ ⇒ D

-2ζω_n ± 2ω_n√ζ²-1

s_1,2 - ζω_n ± jω_n√1 - ζ²

Le soluzioni per ζ < 0 non le considero dal momento in cui lo smorzamento fisicamente deve essere positivo.

Se

• ζ > 1 ⇒ due soluzioni REALI Distinte
• 0 < ζ ≤1 ⇒ due soluzioni complesse coniugate
• ζ = 1 ⇒ due soluzioni REALI ma coincidenti

Le soluzioni complesse coniugate ma ovunque se le soluzioni generali se reale ⇒ Infatti sommando le vs soluzioni le parti immaginarie si elidono a vicenda.

La soluzione transitoria sarà perciò la combinazione di tutte le soluzioni

x_t(t) = X_oe^s₁t + X̄_oe^s₂t

Ricaviamo quindi la soluzione STAZIONARIA

EQ. NON

OMOGENEA

ẍ + 2ζω_nẋ + ω_n²x = f(t)_m

Si ipotizza una forzante di tipo armonico

f(t) = Re[∫₀^t e^jωt]

Il sistema è lineare, perciò se forzato frequenza coincide con la stessa frequenza. Si potranno quindi soluzione del tipo

{V}=V_oe^st

{V}=SV_oe^st

{A}SV_oe^st+BVe^st=0

[A+Β]V_o=0

det[A+Β]=0

Dunque

V_i=1:----2Ν

Σ{S}_i=3{im}

V_i=V^¯_im

u_i=Û_im

Se ξ_i ≠ 1

5) Teorema del valore finale

lim f(t) = lim sF(s)

t→∞ s→0

6) Teorema del valore iniziale

lim f(t) = lim sF(s)

t→0⁺ s→∞

7) Teorema di convoluzione nel tempo

∫₀^t f₁(τ)f₂(t-τ)dτ Convoluzione di due funzioni

L {f₁⊗f₂} = F₁(s)·F₂(s)

Le trasformate di Laplace si moltiplicano

8) Teorema di convoluzione in s

[∫ f₁(t)f₂(t)] = 1 ∫_b=-j∞^b=j∞ F₁(s-s')F₂(s')ds'

2πj

Trasformata del prodotto di due funzioni

9) Teorema del ritardo in s

L {f(t)e^αt} = F(s-α)

Casi particolari della trasformata di Laplace

L{e^αt} = 1

s-α

L{sin(ωt)} = ω

s²+ω²

L{cos(ωt)} = s

s²+ω²

L{k} = k

s

L{t^m} = m!

s^m+1 m = numero intero positivo

L{t^me^αt} = m!

(s-α)^m+1

L{sin(ωt) e^αt} = ω

(s-α)²+ω²

L{cos(ωt) e^αt} = s-α

(s-α)²+ω²

Qualunque segnale finito può essere rappresentato con una funzione normale fatta di sole potature

Si mette in forma normale fatta

ed è l'effetto dell'input

stabile

Oscillato

non stabile

Scrivendo una moltiplicazione vediamo quali sono le

Combinazioni per avere i poli stabili:

STABILE se tutti i poli hanno o se tutti i poli hanno con

ASINTOTICAMENTE STABILI se tutti i poli hanno

INSTABILE se almeno un polo ha

Oppure se almeno un polso

legato alla funzione che si hanno nel passare al dominio del tempo.

5) Coniugazione

h(t) = ẟf(t) => H(ε) = F(-ε)      se f ∈ R => F(ε) = F(-ε)

6)

ẟ'('f(t)) => I'(f(t)) = i2πE f(ε)

La Trasformata di Fourier tramuta un operatore differenziale in uno algebrico

7) Teorema di Parseval

|∫f(t)|² dt = ∫|F(ε)|² dε

Mi indica la distribuzione di energia trasmessa del segnale

8) Legame tra Fourier e Laplace (Thm di equivalenza)

{     f(t)     t≥0

Hp. funzione con patto

{ 0     t