Dinamica dei Rotori

Dinamica dei rotori

Analisi lineare e tempo invariante dei sistemi a 1 DOF

Equazione di moto mẍ + cẋ + kx = f(t)

f(t) è la forzante esterna.

Riscrivo l'espressione come Ẍ + _c/_mẋ + _k/_mx = _f(t)/_m

Definisco poi _c/_m = 2 ξω_n ω_n² = _k/_m

Quindi l'equazione può essere riscritta come Ẍ + 2 ξω_nẋ + ω_n²x = _f(t)/_m

Vedo la soluzione dell'espressione come somma di una soluzione stazionaria e una transitoria.

x(t) = x_st(t) + x_t(t)

La soluzione stazionaria è equiparabile alla soluzione particolare dell'espressione non omogenea.

La transitoria invece è la soluzione generale dell'omogenea associata.

Risolveremo dapprima la soluzione transitoria.

⇒ EQ OMOGENEA Ẍ + 2 ξω_nẋ + ω_n²x = 0

Ho una soluzione del tipo x = x_o e^st ⇒ Quindi x = x_o e^st ẋ = s x_o e^st Ẍ = s² x_o e^st

Sostituisco nell'espressione omogenea sopra e risolvo quindi per s.

Dinamica dei rotori

Analisi lineare e tempo invariante dei sistemi a 1 DOF

Equazione di moto mẍ + cẋ + kx = f(t)

f(t) è la forzante esterna.

Riscrivo l'equazione come ẍ + _c/_m ẋ + _k/_m x = _f(t)/_m

Definiamo poi _c/_m = 2ξω_n ω_n² = _k/_m

Quindi l'equazione può essere riscritta come ẍ + 2ξω_nẋ + ω_n²x = _f(t)/_m

Vedo la soluzione dell'equazione come somma di una soluzione stazionaria e una transitoria.

x(t) = x_st(t) + x_t(t)

La soluzione stazionaria è espressamente della soluzione particolare dell'equazione non omogenea.

La transitoria invece è la soluzione generale dell'omogenea associata.

Ricerchiamo dapprima la soluzione transitoria.

➔ EQ OMOGENEA ẍ + 2ξω_nẋ + ω_n²x = 0

Ho una soluzione del tipo x = x_oe^st ➔ Quindi x = x_oe^st ẋ = sx_oe^st ẍ = s²x_oe^st

Sostituisco nell'equazione omogenea sopra e risolvo quindi per s.

s²x_oe^st + 2sξω_nx_oe^st + ω_n²x_oe^st = 0

s² + 2ξω_ns + ω_n² = 0

-2ξω_n ± √4ξ²ω_n²-4ω_n² ⇒ -2ξω_n± 2ω_n √ξ² - 1 -ξω_n ± ω_n √ξ²-1

Se soluzione per ξ < 0 non le considero dal momento in cui lo smorzamento fisicamente deve essere positivo.

• Se ξ > 1 ⇒ Due soluzioni reali distinte.
• 0 < ξ ≤ 1 ⇒ Due soluzioni complesse coniugate.
• ξ = 1 ⇒ Due soluzioni reali ma coincidenti.

Le soluzioni complesse coniugate mi assicurano che la soluzione generica sia reale ⇒ Infatti sommando le due soluzioni le parti immaginarie si elidono a vicenda.

Le soluzioni transitorie sarebbero perciò la combinazione di tutte le soluzioni:

X_t(t) = x_oe^s₁t + x_oe^s₂t

Soluzione stazionaria

Ricaviamo quindi la soluzione stazionaria.

⇒ EQ. NON OMOGENEA ẍ + 2 ξ ω_nẋ + ω_n² x = _f(t)/_m

Si ipotizza una forzante di tipo armonico.

f(t) = Re [∫₀^∞ e^jωt]

Il sistema è lineare, perciò se forzato in frequenza risponderà una con la stessa frequenza. Si potranno quindi determinare soluzioni del tipo:

(x = Re [X_o e^jwt])

(ẋ = Re [X_o w e^jwt])

(ẍ = Re [-X_o w² e^jwt])

Sostituiamo tutti nell’espressione di partenza.

Re [-X_o w² e^jwt + 2ζ jwn X_o w e^jwt + wn² X_o e^jwt = Re [f_o over m e^jwt]

Semplifico e^jwt nell’ ϕ =0 e Re [ ]

-X_o w² + 2ζ jwn w X_o + wn² X_o = f_o over m

X_o (2ζ jwn w + wn² - w²)