Dinamica dei rotori: riassunto degli argomenti richiesti all'esame orale

SISTEMI AD 1 GDL

Mẍ + Hẋ + Kx = f(t)

x_om(t) = Non dipende da f(t)

• x_om(t) = Re{α(ω) e^iωt}, ARMONICA
• x_non(t) = Re{_k=0ⁿ∑ C_k α(ω_k) e^iωt}, PERIODICA

SISTEMI AD N GDL

Mq̈ + Hq̇ + Kq = Q(t)

q∈ℝⁿ

1) OMOGENEA

[M₈ + S_H + K] q_o = 0

S_{i, aith} = -Ż_j(h_a) + √_hnk_v^1/2

Soluzione omogenea e^-ʽ: q_o(t) = _k=1²ⁿ∑q_ok e^S_kt

Modo D: Re{q_o(t)} = Re{q_0k e^S_kt}, VIBRARE

2) NON OMOGENEA

q_o(t) = Re { α(ω) Q_o e^iωt}, ARMONICA

q_non(t) = _k=0^iω∫ Re[_k∑ C_k α(ω_k) e^iωt], PERIODICA

Indice della K-esima armonica

TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE MODALE

q_o = α(ω) Q_o

Soluzione risulta

q_no = α(ω) Q_o = _k=1ⁿ∑ _n⁄_k Q_o⁄_k=2

TRASFORMATA DI LAPLACE

F(s) = ∫₀^∞f(t) e^-st dt

La trasformata manda una funzione f(t) da variabile reale in una funzione complessa di variabile s.

QUESTA SERVE PER TRASFORMARE UN SISTEMA DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI IN UN SISTEMA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE.

LA SOLUZIONE AVRA' LA FORMA SEGUENTE: RISOLOTO NEL DOMINIO DELLA VARIABILE s.

1. REGOLA DI HADAMARD: Sistema lo l frazione e la scomposizione in una somma di frazioni con AMCASSY L'ANTITRASFORMATA

• F(s) = _i=0ⁱ⁺¹∑ _f
• [A_ij] = _n=1ⁿ⁺¹ x I, Σ_ν=0 g₉
• _n=j∑ a_j⁄_bi

2) ANTITRASFORMATA: Posso usarla dato che ho semplificato la frazione.

f(t) = _i=0^s="∫⁄

f(t) = L^-1 {f[s]} = ∑_{Re[r]≠0} ∑_j=0 A_n,jr ^j+1 / e^Re[r]t + ∑_{Re[r]=0} ∑_j=0 G_n,jr e^(w_rt+φ_r) t^j-1

Nei poli reali

La f(t) è la soluzione nel tempo del nostro sistema LTI.

La stabilità è data dall'esponenziale e quindi dalla parte reale dei poli, ovvero:

• Se Re(P_ii) > 0; l’esponenziale va a 0 quindi comanda il polo Re(P_ii) STABILE.
• Se j = 1 (molteplicità unitaria), la potenza va a 0 e quindi comanda Re.
• Se j > 1, la potenza esplode quindi il polo P_ii INSTABILE.

• Se Re(P_nn) = 0; l'esponenziale si esaurisce (0) quindi polo P_ii è ASINTOTICAMENTE STABILE.
• Se Re(P_nn) > 0; l’esponenziale esplode quindi il polo P_ii è INSTABILE.

Applichiamo la trasformata ad un sistema meccanico LTI:

Ẋ = AX + BU (U input matrici costanti)

L(ẋ) L(AX+BU) → S(X(s) - X₀) = AX(s) + BU(s)

La soluzione INS è quindi

X(s) = [SI - A]^-1 X₀ + [SI - A] BU(s) = Q(s) X₀ + b(s) U(s)

Per antitrasformare Q(s) e b(s) devono essere matrici composte da elementi frazionari...

a_n,jr = (-1)^j+1 / det C_n-1

C_n-1 = matrice che si ottiene facendo togliendo di volta in volta la i-esima colonna di A

b(s) = (SI - A) B

X_c(s) = ∑_j=0 a_n,j(s)X_q + ∑_j=01 b(s) U(s)

LIBERA FORZATA

X_c(t) = L^-1 {x_c(s)} = ∑_{Re[r]≠0} {a_q, X_q} X_q + ∑_{Re[r]=0} {b_q, b_n} U_q

Per poter antitrasformare devo verificare che ambie U_g(s) = input sia una funzione razionale fratta.

TEOREMA: Disponendo di una funzione in un range di frequenze si può approssimare con precisione arbitraria.

alla luce di questo quindi anche il prodotto b_ijb_kj(s) è una funzione razionale fratta e quindi possiamo risolvere anche questo problema.

• Det(H)

La stabilità dipende dai poli, ovvero la radice dei coef e H

• 1) STABILE ASINTOTICAMENTE
• Re(P_ii) < 0 e Re(P_ii) < 0
• 2) INSTABILE - Se almeno uno tra Re(P_ii) o Re(P_ii) > 0
• 3) STABILE - Se e solo se tutti i poli Re(P_ii) < 0 e Re(P_ii) < 0 con ∨_k = 1 matrice kv

Per concludere e rendere risolvibile il sistema devo descrivere F_ext e M_ext:

F_A^e = F_A^t + F_ext

F_B^e = F_B^t + F_ext

F_{ext A} = - K_A(A_f - A₀) - C_A(Ė_f - Ė₀)

F_{ext B} = - K_B(B_f - B₀) - C_B(Ḃ_f - Ḃ₀)

M_G^e = M_A^t + M_B^t + M_ext

M_G^e = (A_f - G_f) x F_ext^A

Q_ext(t) è definito come:

• M_G^e = (B_f - G_f) x F_ext^B
• SHIFT x_A

Le equazioni generali per lo studio del moto dei corpi rigidi sono complete!!!

Abbiamo 6 equazioni m 6 incognite (che sono: 6 DOF)

EQ CARD —> VIBRAZIONI DEL SISTEMA L.T.I

Perciò uso 2 ipotesi che garantiscono il disaccoppiamento tra la dinamica flessionale, torsionale e assiale.

1) Considerare solo 4 DOF flessionali:

G =

(Ω)

^Ω

(1)

G_Ω

2) Studiando il problema, con piccoli spostamenti. In questo modo considero in solo i termini di ordine 0 ed 1 ignorando qualunque altro termine di ordine superiore.

significa linearizzare il problema

Nel sistema di 6 equazioni considero solo la 1_e, 4_e, 5_e. Sistemando il sistema risulta:

M_ë + _Ω(G + C)^q + Kq = Q_ext

Dove:

M =

[ m 0 0 ]

[ 0 I_p ]

G =

[ 0 0 0 ]

[ 0 0 I_p ]

I matrici W e C sono dovute ai cuscini; la matrice C è la matrice smorzamento.

La K è la matrice rigidezza: le matrici C sono asimmetriche a meno che non siano simmetriche le matrici due cuscini (cuscini simmetrici) e non sia simmetrico il rotore rigido.

Inoltre solo la parte simmetrica della matrice smorzamento C = C_r + C_A produce effettivamente un effetto smorzante a livello fisico e quindi a livello di smorzamento modale.

Essendo il rotore rigido quando non vengono presenti rigidezza strutturale e smorzamento modale, solo i cuscini contribuiscono alla rigidezza e allo smorzamento del sistema.

Nel caso di moto libero —> Q_ext =

[ 0 ]

[ 0 ]

ROTORI ELASTICI - VIBRAZIONI FLESSIONALI

Ipotesi:

1. TRAVI SNELLE
2. TRAVI A SEZIONE PIANA
3. ELASTICITÀ LINEARE
4. PICCOLI SPOSTAMENTI
5. DOF FLESSIONALI

Per descrivere:

• Nodo K-esimo: \( q_k = \begin{bmatrix} y_{Nk} \\ \varphi_{Nk} \\ y_{Vk} \\ \varphi_{Vk} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^4 \)
• Elemento e-esimo: \( q_e = \begin{bmatrix} y_{1e} \\ \varphi_{1e} \\ y_{2e} \\ \varphi_{2e} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^4 \)

Vettore delle variabili LAGRANGIANE del sistema: \( q = \begin{bmatrix} q_1 \\ q_2 \\ \vdots \\ q_k \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^X \)

MATRICI DI CONNESSIONE

Sono matrici che, a partire dal vettore delle variabili LAGRANGIANE, estrarre il vettore delle variabili nodali \( q_k \)

1. \( q_{fk} = J_k \cdot q \)
2. \( q_e = H_e \cdot q \)

L'equazione du moto alla quale si arriverà è la semplificazione della LAGRANGIANA

\[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \left( \frac{\partial L}{\partial q} \right)^T = Q_nc \]

\( L = T - V \)

Per descriverla si deve descrivere:

• \( T = \sum T_{ax} + \sum T_{ea} \)
• \( V = \sum V_{el} \)

\( Q_{nc} \)

Elementi concentrati:

\( T_{dx} = \frac{1}{2} \dot{q}_k^T M_k \dot{q}_k - \Omega^2 q_k^T A_k q_k + \left( \frac{1}{2} I_{p,r} \right) \Omega \)

Componenti elastici:

(TRAVE DI EULERO BERNOULLI)

\( q_e(z,t) = N(ez) \cdot q(t) \)

L'APPROSSIMAZIONE FEM CI CONSENTE DI DIVIDERE IL DOMINIO IN DUE DOMINI DISTINTI:

• Uno in \( z \)
• Uno in \( t \)

PASSIAMO COSÌ DA EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI AD EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE.

Prima di procedere al calcolo della \( V_e \) e \( T_{ei} \), alle ipotesi iniziali se ne...