Appunti dinamica dei rotori unifi

Dinamina dei rotori

Ripasso numeri complessi

Un numero complesso S può essere espresso sia in forma cartesiana che polare. S = Re(s) + j Im(s)

Un numero complesso è espresso in forma algebrica nella forma: z = a + jb con a, b ∈ R a = Re(z)   b = Im(z)

Un numero complesso può essere anche espresso nella forma polare con: S = σ + jω = ρe^jφ dove φ = √Σ_zω_z e φ = arctg(ω/σ)

Un numero complesso generico può essere scritto come modulo per e j ed es: S_z = e^-jφ|S|

Nell'ambito delle n - si prende riferimento ai numeri complessi per dispersione delle sonole formulazioni di Eulero: e^jwt = cos(ωt) + j sen(ωt)

In generale, per rappresentare una generica funzione mnemonica conviene esprimere punto nel dominio dei forni delle le operazioni tre numeri complessi.

Prendo scossa per simplece.

Meccanica delle vibrazioni

• Sistem 1 Dof (degree of freedom):

Quando si parla di sistemi 1 Dof si parla di sistemi lineari tempo invariante. La dinamica di questi sistemi può essere descritta mediante equazioni differenziali del 2° ordine.

L'equazione di governo di questo sistema è la seguente: Mẍ + Cẋ + Kx = f(t)

Facilmente è possibile esprimerla in forma adimensionale ponendo e dividendo per m si ricava: _ωn= ^k/_mẍ + ^c/_mẋ + ^k/_mx = ^f(t)/_m

dove ^k/_m = ω_n² frequenza propria o naturale del sistema ẍ + ^c/_mẋ + ω_n²x = ^f(t)/_m

Introducendo il fattore di smorzamento: Z = ^C/m/_2ωn si ricava: ẍ + 2ω_nZẋ + ω_n²x = ^f(t)/_m = g(t)

È un'importante teorema che ci dice che la soluzione di questa equazione è data da 2 parti: X(t) = X_TR(t) + X_ST(t)

X_TR(t) = soluzione generale dell'omogenea associata X_ST(t) = soluzione particolare della non-omogenea

Per ricavare il vettore d'ordine è necessario risolvere prima la relazione generale e successivamente quella particolare.

lm generale: X_st(t) = è una funzione forzata, ovvero è permanente e rimane nel tempo. Questa è prodotta dalle forzante ξ(t); X_st(t) è prodotto delle condizioni iniziali.

Determinazione della Relazione Transitoria

Per determinare la relazione transitoria devo andare a risolvere l'equazione omogenea associata. [NOTA: L'equazione omogenea associata si ricava eliminando i termini a 2° membro.]

\(\ddot{X} + 2\omega_n \zeta \dot{X} + \omega_n^2 X = \frac{f(t)}{m}\) → \(\ddot{X} + 2\omega_n \zeta \dot{X} + \omega_n^2 X = 0\)

Da relazione dell'equazione omogenea associata ha la seguente forma: \(X(t) = ae^{s_1t} + \bar{a}e^{s_2t}\)

Dove a e \(\bar{a}\) sono due incognite (di pone eliminare e portate dalle condizioni iniziali). Se al S₂ non rinne le radici dell'omogenea associata. Poiché è valido il "Teorema di esistenza ed unicità", questo ci dice che una motiviazione con ridisegno l'equazione differenziale è la risoluzione dell'equazione differenziale.

Per questo motivo posso procedere a cono e il'opinione una relazione dell'equazioni è ne questo è giustericato l'allerto è il "modo relasio. Prova con una relazione di \(\frac{f(t)}{m}\) e supponiamo che: \(X = e^{st}\),

Porno riscolato le derivate o \(\frac{\pi}{\rho}\) raccolle: \(X = e^{st}\), \(\dot{X} = se^{st}\) → \(\ddot{X} = s^2e^{st}\)

Fortutinato nell'omogeneo associato ricava: \(s^2e^{st} + 2\omega_n \zeta se^{st} + \omega_n^2 e^{st} = 0\)

Divido tutto per \(e^{st}\) e ricalco il polinomio caratteristico associato dell'equazione: 3S² + 2sω_ns + ω_n² = 0

Risolvendo il polinomio si trovano le radici: Δ = 4s²ω_n² - 4ω_n = 4ω_n²(3ξ²-1)

Si ha: S_n1 = \(\frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}\) = \(\frac{-2sω_n \pm \sqrt{4ω_n(3ξ²-1)}}{2}\)

S_n2 = -3ω_n ± ω_n√3ξ²-1 = ω_n(-3 ± √3ξ²-1)

Ritrovo infine le radici del polinomio.