Appunti completi di Dinamica dei sistemi

Dinamica dei Sistemi

DS.1

Dinamica dei Sistemi

DS.1

Introduzione: Dinamica e Cinematica Corpi rigidi

P = x(t) i + y(t) j

P = |P| e^iθ

con |P| = √(x²(t) + y²(t))θ = arctg y(t) x(t)

• d/dt
• V = ẋ(t) i + ẏ(t) j

• d/dt
• a = ẍ(t) i + ÿ(t) j

P = |P| e^iθ

• d/dt
• V = Ṗ e^iθ + P iθ e^iθ
• = Ṗ e^iθ + P θ e^i(θ+π/2)

• d/dt
• a = Ṗ e^iθ + Ṗ iθ e^iθ + P iθ e^iθ + P i θ e^iθ
• + P iθ e^iθ
• + P θ² e^iθ

Corpo rigido

• la distanza tra i punti appartenenti a un corpo rigido non cambia mai

Atto di moto traslatorio

• tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità
• il corpo non cambia orienta

Atto di moto rotatorio

• almeno un punto (anche non interno al corpo) ha velocità nulla. Tutti gli altri punti percorrono un arco di circonferenza come traiettoria

Atto di moto rototraslatorio

• nessun punto ha velocità nulla.
• in ogni istante è possibile trasformarlo in un moto rotatorio individuando il centro di istantanea rotazione

la rotazione polare fornisce un'équipe anche visiva, tra velocità e traiettoria del punto P

Re = A + AB = A + AB e^iθ

d/dt V_B = V_A + AB ^. i ^. e^iθ (velocità del punto B che rispetto al punto A)

V₀ = V_A + ω ∧ AB (i ∧ ω velocità angolare)

Teo di Rivals per le velocita

Q₀ = Q_A + AB ^. i ^. θ^¨ i e^iθ + AB i² e^iθ

θ^¨ = ω Accellerazione angolare

Q₀ = Q_A + ωQ ∧ AB + ω ∧ ω ∧ AB

Teo di Rivals per le accelerazioni

V₀ = V_A + ω ∧ AB → se A = CIR allora V_A = 0 → V_B = ω ∧ AB = ω ∧ (B - CIR) (in generale Θ_A ≠ 0)

VINCOLI

INCASTRO (3 GDV)

CARRELLO (1 GDV)

PATTINO (2 GDV)

CERNIERA (2 GDV)

(le forze di vincolo (fai da mantenere di punto fermo in una direzione) ma devono essere per forza l'una oppo l'altra)

PROBLEMI di STATICA

• presenza di vincoli tali da rimuovere i 3 g.d.l. al sistema
• è presente un vincolo ridondante, che non ha effetti nel sistema e non deve essere tenuto in considerazione

Calcolare quanto valgono le reazioni vincolari quali forze mantengono il corpo fisso a Terra

• ∑F_x = 0 (equivalente potrei utilizzare)
  • 2F + N₂ = 0
  • N₂ = -2F
• ∑F_y = 0
  • F - N₁ = 0
  • N₁ = F
• ∑M = 0
  • C + F L/2 = 0
  • C = -F L/2

Principio di D'Alembert

posso studiare la dinamica allo stesso modo di come studio la statica tenendo però tenendo conto anche delle forze d'inerzia (approccio differente da quello utilizzato a meccanica razionale dove si utilizzava l'energia del sistema)

x y

Forza d'Inerzia

mū¨x = ẋ·   = -mu¨q 

∑F_j + mūa = 0

Equazione di equilibrio dinamico

"Il contributo delle forze esterne applicate è opposto a quello delle forze d'inerzia del sistema"

x_i, ẋ, ẍ

F_o, muk ẍ

F_o noto e costante

Calcolare lo spostamento dopo s sec.  ?x(t+5s)

• ∑F_x = 0 → F_o - mūẍ = 0 → ẍ = F_o/m
• Prenedendo il p.to in come la costante di riferimento
• ẋ = (F_o/m)t + c₁ x(0) = 0
  • ẋ(t) = (F_o/m)t
  • x(t) = ∫ẋ dt = (F_o/m)t

V_o = θ_oR

Fo [Fo] = cost.

? = θ(t)

Fo⊥ alla traiettoria

mi aspetto due accelerazioni:

a_c = θ̇²R

a = θ̈R

ΣF⟂ = 0

F⟂ = mθ̈R ⇒ θ̈ = F_o / mR

θ̇(t = o ) = V_o / R

θ̇(t) = ∫θ̈ dt

θ = (F_o / mR) t + C² = ^o

Estendiamo il discorso fatto nel principio di d'Alembert al

corpo rigido:

dF_In = dmQ

forza d'inerzia infinintesima

la distribuzione di forze ha effetto anche

sulla rotazione del corpo, non solo sulla traslazione

Asta cernierata in A (m,L)

P ≡ __denota lineare

ρ = m / L

dm = ρ dx = m / L dx

Accelerazione tangenziale __ a = θ̈ x t

___ dF_In,T = - dm θ̈ x t = -μ x θ̈ x dx x t

Accelerazione centripeta Ac = θ̇²X μ

dF_In,C = - dm θ̇² x μ = - mθ̇²x dx μ

Σ forze d'inerzia F_In,T