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DINAMICA DEI ROTORI (A. A. 2016/17)

PROGRAMMA DEL CORSO

  1. Richiami di Meccanica delle Vibrazioni
    1. Sistemi ad 1 DOF
    2. Sistemi ad N DOF
    3. Richiami sulla trasformata di Laplace e sulla stabilità dei sistemi lineari
    4. Richiami sulla serie e sulla trasformata di Fourier
  2. Vibrazioni laterali: risposta libera
    1. Modelli semplici di rotori rigidi e classificazione dei modi
    2. Modelli complessi di rotori elastici
      1. Dischi e alberi
      2. Cuscinetti
      3. Fondazione e basamento
      4. Assemblaggio delle equazioni, risposta libera e classificazione dei modi
  3. Vibrazioni laterali: risposta forzata
    1. Modelli semplici di rotori rigidi
    2. Modelli complessi di rotori elastici
    3. Calcolo delle velocità critiche
  4. Vibrazioni torsionali
    1. Modelli a parametri concentrati
    2. Modelli FEM
  5. Vibrazioni assiali
    1. Modelli a parametri concentrati
    2. Modelli FEM
  6. Modelli FEM 3D di rotori flessibili
  1. Bilanciamento
    1. Rotori rigidi
    2. Rotori flessibili
  2. Strumenti di misura
    1. Spostamento ed orbite
    2. Velocità
    3. Accelerazione
  3. Norme API
    1. Rotordinamica
    2. Turbine
    3. Compressori
  4. Seminari GE
  5. Visita ai Laboratori GE

Bibliografia

  • Dynamics of Rotating Machines, Michael I. Friswell and John E. T. Penny, Cambridge Aerospace Series, 2010.
  • Rotating machinery vibration, M. L. Adams, Marcel Dekker Ed., 2001.
  • Dara W. Childs, Turbomachinery Rotordynamics with Case Studies, Mintel Spring Ed., 2013.
  • Agnieszka Muszynska, Rotordynamics, CRC Press, 2005.
  • Michel Lalanne and Guy Ferraris, Rotordynamics Prediction in Engineering, Wiley, 1998.
  • Giancarlo Genta. Dynamics of Rotating Systems, Springer, 2005.
  • http://www.api.org/
  • Giancarlo Genta, Vibration Dynamics and Control, Springer, 2009.
  • D. J. Ewans, Modal testing, Research Studies Press, 2000.
  • C. M. Harris, Shock and Vibration Handbook, Mc Graw-Hill, 2009.
  • Bolzern, Scattolini e Schiavoni, Fondamenti di controlli automatici, Mc Graw-Hill Italia, 2008.
  • G. Marro, Controlli automatici, Zanichelli, 2004.

Albro:

x(t) = Σₙ xₙ(t)

con xₙ(t) = Re [CₙEjωₙt]

Analogamente al caso precedente:

x(t) = Re [x(ω)Ctejωt]

xst(t) = Σm=0∞ xm(t)

Forzante qualunque

Metodo I - Moltiplicatori di Lagrange:

x₁(t), x₂(t) i 2 sol. moltriplicativa dell'omogenea associata

Pongo xst(t) = C1(t) x₁ + C2(t)x₂

| x₁ | | C'₁ | | 0 | | + | dt/dt | x₂ | | C'₂ | |

→ Riscrivo C'₁, C'₂ → INTEGRO → C₁, C₂

Metodo II → Teorema di Duhamel

xst(t) = ∫0t {f(τ)h(t+τ)dτ

h(t) = -1/μisp e-3t/μ sin ω0t

Def: (Autovalore destro e sinistro)

Gli autovalori reali e i possiamo concludere

det ( Msx + Hs - kI ) = 0 equivalente a det ( Asx + B ) = 0

Possono essere desunti in:

  • f ( Msx + Hs - kI ) VR = 0 Autovalore Destro
  • VRT ( Md T Hs T + kI ) = 0 Autovalore Sinistro

Ricorda che Hermitico = Trasposto del Coniugato

Se H e K non sono Simmetriche calcoliamo gli Autovalori da destra o da sinistra non vi è lo stesso cosa.

Vale ovviamente anche che:

  • ( Asx + B ) VR = 0 Autovalore Destro
  • VTL ( Asx + B )T = 0 Autovalore Sinistro

Def.: Autovettore Normalizzato:

vTRC H vRC = 1     VRT A VR = 1

vTLC M vLC = 1     VTLC A VLC = 1

  • VLC - ( μLC μLC )
  • VRC - ( VRC
  • $ VRC ) $ VRC )
  • Se VRLT = VRc in base a regole di definizione degli autovettori

Poiché è possibile scomporre qualsiasi funzione periodica fratta come visto

sopra, devo soltanto l'unicità di una serie molto specifica di

causistiche.

Infatti, poiché la trasformata è lineare posso intervambiarla pezzo a

pezzo;

Se pi ∉ ℝ → ω = jzi | pi = Ai /((s - pi))mi    |    = Ai /((ω - jz )mi)

ωmi e pi

Se pi ∉ ℝ allora esiste anche pi    → Le radici complete sono sempre

a coppie.

Allora, se le prendo entrambe:

f = Aci e-αt / ((s - x - jω)k)-1 / ((s - x + jω)k) = [ Cik ejθ + Bik ] / [(s - x )1- 4 ω ]k] =

= eαt Cik cos(ωt - θik tik - 1)

Cik, Bik, qik, θik ∈ ℝ

K è pari-aule molteplicità dal polo pi.

pi = xi + jω

Passo adesso Classificazione Poli:

Re(pi) < 0 → Polo stabile Della soluzione di [ j-1 ( Aik/((s-j)pi) ) ] vista

superi, se x&large;& 0 l'esponenziale negativo tendi a

zero per t → ∞

Re(pi) > 0 → Polo instabile. L'esponenziale fa tende a ∞ la sol. per

t → ∞

Re(pi) = 0 → Se ci = 1 → c n- ± 1 n- ± 1 → La soluzione oscilla

se ci ≠ 1 → la soluzione può essere instabile

Applico la trasformata ad un sistema lineare.

Mq̈ + Hq̇ + Kq = f(t)      g = Fourier Transf. → Q

∫f(t) e-jωt dt = ωQ(ω)

Sostituo:

jwMQ(ω) = H(jω)Q(ω) + KQ(ω) = F(ω)

(-μHṧ + ω2µ + K)Q = F

Se torno poi nel dominio del tempo:

g(t) = ∫-∞∞ Q e jwt dt

Anche la trasformata possiede il cosiddetto spettro;

F(ω) = caratteristica da nullo e fina– A differenza delle serie di Fourier qui si altera uno spettro continuo nel dominio delle frequenze

Il sistema può essere ulteriormente semplificato se si è disposti ad accettare un certo grado di semplificazione (Approssimazione)

1) Il corpo e il Rotore ha ha 4 DOF, non 6 :

Rotore un rotore a velocità n attorno al suo asse = Moto di laminato

2) Il corpo ha principalmente moto di rivoluzione attorno all’asse z

μ,ν piccoli

δ,ψ piccoli

Approssimo espressioni contenenti tali quantità al 1° ordine

Con queste ipotesi le equazioni che descrivono il sistema possono essere riscritte come segue: (posizionare un piano bianchera adi un centro)

smorzamenti (Es: Ecq composito solo dalle macchine K)

μ ̇+q ν

m(I ̈) + (Kyz + Kxz) M( ̈) - ( 2κbx + b K yz) ψ=0

mν ̇

Idd δ + IpΩ1 ( ̣) f1+ Mc( ̇7 ) ωa=u + (w vz b p)

Id δ + IpΩ δ ̇

m(I ̈)

Pongo:

Kxz=Kx=Kx=Kxt ; bk=x alkx=Kyx

Kyy1= Kyy2= Kyzt ; =-(akyy1-akyy2) = 0

Kxdz Kxzb1Kyb2d=Kxp1 ; Kxd_ah_zb2 K ̇2=Kyxa

Def:

M = [ m                         ]

G = [ ]

K = [ 0 Kyz 0 Kyi   0 Kyx C_0    0 Kyi 0 Kyxl ]

Dettagli
Publisher
France_Papi
A.A. 2016-2017
107 pagine
9 download
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/13 Meccanica applicata alle macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher France_Papi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica dei Rotori e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Firenze o del prof Meli Enrico.