Appunti dinamica dei rotori unifi

DINAMICA dei ROTORI

ANNO ACCADEMICO 2018/2019

NENCIONI

LEANDRO

7033849

DINAMICA dei ROTORI

ANNO ACCADEMICO 2018/2019

NENCIONILEANDRO7038849

Dinamina dei rotori:

1. Ripasso numeri complessi

Un numero complesso S può essere espresso sia in forma cartesiana che polare.

S = Re(s) + j Im(s)

Un numero complesso è espresso in forma algebrica in ni presenta nella forma:

z = a + j b con a,b ∈ R

a = Re(z)   b = Im(z)

Un numero complesso può essere anche espresso nella forma polare con:

S = σ + j ω = ρe^jφ dove φ = √Σ_zω_z e φ = arctg(ω/σ)

S_z = e^-jφ|S|

Nell'ambito delle n - si prende riferimento ai numeri complessi per dispersione delle... sono

le formulazioni di Eulero:

e^jwt = cos(ωt) + j sen(ωt)

In generale per rappresentare una generica funzione mnemonica...

... conviene esprimere punto nel dominio dei forni delle le operazioni tre numeri complessi.prendo scossa per simplece.

Meccanica delle vibrazioni :

2) Sistem 1 Dof (degree of freedom):

Quando si parla di sistemi 1 Dof si parla di sistemi lineari tempo invariante. La dinamica di questi sistemi può essere descritta mediante equazioni differenziali del 2° ordine.

L'equazione di governo questo sistema è la seguente :

Mẍ + Cẋ + Kx = f(t)

Facilmente è possibile esprimerla in forma adimensionale ponendo portando e dividere m si ricava :

_ωn= ^k/_m

ẍ + ^c/_mẋ + ^k/_mx = ^f(t)/_m

dove ^k/_m = ω_n² frequenza propria o naturale del sistema

ẍ + ^c/_mẋ + ω_n²x = ^f(t)/_m

Introducendo il fattore di smorzamento : Z = ^C/m/_2ωn si ricava :

ẍ + 2ω_nZẋ + ω_n²x = ^f(t)/_m = g(t)

E' un'importante teorema che ci dice che la soluzione di questa equazione è data da 2 parti :

X(t) = X_TR(t) + X_ST(t)

• X_TR(t) = soluzione generale dell'omogenea associata
• X_ST(t) = soluzione particolare della non-omogenea

per ricavare il vettore d'ordine è risolvere prima la relazione generale è successivamente quella particolare.

lm generale:

{Xst(t) = è una funzione forzata, ovvero è permamente e rimane nel tempo. Questa è prodotta dalle forzante ξ(t);

{Xst(t) e è prodotto delle condizioni iniziali;

Determinazione della Relazione Transitoria: Per determinare la relazione transitoria devo andare a risolvere l'equazione omogenea associata.

[NOTA: L'equazione omogenea associata si ricava eliminando i termini a 2º membro.]

\(\ddot{X} + 2\omega_n \zeta \dot{X} + \omega_n^2 X = \frac{f(t)}{m}\) → \(\ddot{X} + 2\omega_n \zeta \dot{X} + \omega_n^2 X = 0\)

Da relazione dell'equazione omogenea associata ha la seguente forma:

\(X(t) = ae^{s_1t} + \bar{a}e^{s_2t}\)

dove a ad \(\bar{a}\) sono due incognite (di pone eliminare e portate dalle condizioni iniziali).

Se al S₂ non rinne le radici dell'omogenea associata. Poichè è valido il "Teorema di esistenza ed unicità", questo ci ditè che una motiviazione con ridiseing li l''equazione differenziale è la risoluzione dell'equazione differenziale. Per questo motivo posso procedere a cono e il'opinione una relazione dell'equazioni è ne questo è giustericato l'allerto é il "modo relasio. Prova con una relazione di \(\frac{f(t)}{m}\) e supponmo che:

\(X = e^{st}\), porno riscolato le derivate o \(\frac{\pi}{\rho}\) raccolle:

\(X = e^{st}\), \(\dot{X} = se^{st}\) → \(\ddot{X} = s^2e^{st}\)

Fortutinato nell'omogeneo associato ricava:

\(s^2e^{st} + 2\omega_n \zeta se^{st} + \omega_n^2 e^{st} = 0\)

dividuo tutto per \(e^{st}\) e ricalco il condiviteto polinomio caratteritistico ancociato dell'equazione:

3

S² + 2sω_ns + ω_n² = 0

Risolvendo il polinomio si trovano le radici:

Δ = 4s²ω_n² - 4ω_n = 4ω_n²(3ξ²-1)

Si ha:

S_n1 = \(\frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}\) = \(\frac{-2sω_n \pm \sqrt{4ω_n(3ξ²-1)}}{2}\)

S_n2 = -3ω_n ± ω_n√3ξ²-1 = ω_n(-3 ± √3ξ²-1)

Ritrovo infine le radici del polinomio