Dinamica dei fluidi ideali e viscosi

Dinamica dei fluidi

Tubo di flusso e fluido ideale

Tubo di flusso: Traiettoria nello spazio di una particella: linea. Insieme di traiettorie delle particelle: flusso.

Fluido ideale: valgono tutte le densità costante - anche se non è sempre valido, è una approssimazione. Non viscoso → Non ci sono forze di attrito tra particelle e particelle stesse.

Flusso stazionario: grandezze fisiche non dipendono dal tempo.

Flusso laminare: traiettorie non hanno punti in comune.

Flusso irrotazionale: particella non si interseca con se stessa. Non ci sono vortici.

Approcci di studio

Studiare la cinematica dei fluidi:

• Approccio lagrangiano: studio moto di tutte le particelle. Complicato!
• Approccio euleriano: studio delle velocità nei vari punti del fluido. Usato da noi!

Equazione di continuità

Il fluido che scorre nel condotto che si allarga o restringe si basa sulla portata: (principio di conservazione della massa). Quantità di massa che attraversa il tubo in un certo lasso di tempo.

Portata massica. È possibile avere anche la portata volumica.

Nota: Nei tubi/condotti più stretti la velocità è maggiore perché l'aria attraversa di minore.

mA/Δt = m₁/Δt → V₁/Δt = V₂/Δt

Se una sezione viene attraversata da una certa quantità di materiale allora tutte le altre sezioni devono attraversarle della stessa quantità.

Esempio: V₁ = 3 m/s, A₁ = 5 cm², A₂ = 2 cm².

A₁V₁ = A₂V₂ = prodotto costante

v₂ = ^A₁v₁/_A2 → velocità finale

Nota: Se l'area aumenta la velocità rallenta perché sono inversamente proporzionali.

Esempi e note

A₂v₂ = A₂v₂πc₁²v₁ → π₂v₂v₂ = (^c₁/_c2)²v₁

Esempio: Ciò che entra è uguale a ciò che esce

A₁v₁ = A₂v₂ + A₃v₃

A₁v₁ + A₄v₄ + A₂v₂ = A₃v₃ + A₅v₅

Vale per il sistema cliffatico delle piante.

Portata volumica e massica

Portata volumica: _V/_Δt [_V/_Δt] = [^m3/_S]

Portata massica: _m/_Δt [_m/_Δt] = [^Kg/_S]

Teorema di Bernoulli

Un fluido ideale in un tubo di flusso. Qui cambia anche l'altezza del tubo oltre alla grandezza (A) del condotto e alla velocità.

Se prendo due sezioni qualsiasi: la somma delle pressioni in quelle sezioni con ½ ρv² e ρ gγ ottengo una somma costante in ogni sezione: Conservazione della energia:

P₁ + ½ ρ V² + ρ g γ = costante

Cioè: P₁ + ½ ρ₁ v₁² + ρ₁ g γ₁ = P₂ + ½ ρ₂ v₂² + ρ₂ g γ₂

pressione, termine cinetico, termine posizione

Effetto Venturi

P₁, P₂, V₂, A₂, V₃

P₁ + ½ ρ₁ v₁² = P₂ + ½ ρ₂ v₂²

{h è la stessa → ρ gh = 0, A₁ ≠ A₂, v₂ = v₁, ρ₂ cP₁}

[A₁ < A₂, V₂ < V₁, P₂ < P₁]

velocità diminuisce, pressione aumenta. Area diminuisce, velocità aumenta, pressione diminuisce.

Nota: Effetto Venturi vale per fluidi ideali → Se apro il finestrino troppo, l'aria non entra più: ci fermo ma esce (?). Allo stesso modo, quando apro solo il finestrino non si ha più l'effetto Venturi perché il moto delle particelle diventa rotazionale e non si ha più un fluido ideale.

Curiosità

L'aereo vola perché sopra l'ala la velocità è maggiore e la pressione è minore rispetto al sotto. Effetto dovuto alla forma delle ali.

Viscosità e attrito

Cosa succede se l'approssimazione di assenza di viscosità venisse eliminata:

F_attr = η dv/dy

A coeff. di viscosità diminuisce all'aumentare della temperatura

Spazi tra voli

Profili tra fluido ideale e fluido viscoso:

MIN MAX MIN profilo parabolico

V(r) = (P₁ - P₂) (R² - r²) / 4η

Se consideriamo il tubo diviso in tante piume coaxiali con le proprie velocità.

Effetti dei fluidi ideali e viscosità

• η = 0: Pressione uguale
• η > 0: Pressione diminuisce

P = ρgh + P₀

P₀ > h₁ > P_K h_K < da una misura li altre misura le pressione nel tubo

Legge di Hagen-Poiseuille

Q = π R⁴ (P₁ - P₂) / 8η

Se voglio che l'acqua esca alla stessa velocità la ideale, la viscoso

Moto fluido viscoso

Se oggetto non si muove → no attrito

F_att = -β_v

direzione opposta alla velocità coefficiente dipende da viscosità

F_att = - η k l_v

dipende dalla forma dell'oggetto lunghezza in sfere è raggio (r) dipende da dimensione oggetto

Legge di Stokes

Vale quando oggetto si muove abbastanza piano altrimenti interviene la turbolenza

F_H = - 6η π r_v l_c {dato: 6π = k τ = l}

Velocità limite e sedimentazione

Quando corpo è immerso in fluido e si muove verso il basso (cade/sciende), raggiunge una velocità limite:

V_L = 2 (Pc - Pf) g² dipendente da rapporto di densità verticale e dovuto alla gravità densità minore fluido può avvenire verso l'alto e verso il basso densità maggiore fluidodensità acqua oppure di diversicentrifugazione

Processo di sedimentazione corpi solidi che hanno dimensioni e densità diverse può avvenire anche per particelle solide

Nota: sedimentazione è molto lenta e non si riescono a distinguere le particelle piccole che ricadono per questo; utilizza la centrifugazione

Contà

Trova tempi più brevi delle sedim.

Fc >> Fp, Fe

Per cui possono essere trascurate:

Fc = ρc V ω² r

Ma nel fluido in rotazione aumenta velocità aumenta la fretta e quindi la pressione apparentemente qui >>> cade una sopra simile quella si scirica

Fc = ρf V ω² r (settimo orizzontale)

Misura del comportamento turbolento di un fluido e il numero di Reynolds

Numero adimensionale calcolabile come:

MR = (2vR_F)/η

MR < 1000 → laminare

MR > 1000 → turbolento

Più è viscoso meno ha possibilità di diventare turbolento.

Fenomeni superficiali

Cosa succede sulla superficie libera di un fluido?

Pressione superficiale (tensione sup.)

Atrite da mole → di aria sopra mentre sotto non risente di nulla, F_t ≠ 0

A) risente delle forze delle molecole intorno, F_t è nulla. F_t è pressione superficiale o tensione superficiale. (Im C)

Forze di equilibrio

F di equilibrio = L due perché sono due le superfici considerare tens. sup. ⋅P = F_tot perimetro forza di trazione delle molecole [N/m]

FP > F_tot → goccia si stacca

FP = F_tot → goccia non si stacca forza peso m⋅g = t⋅Ø = 2πR sostituto m⋅g = 2πR [] = [N/m] = forza / superficie

Sostanze tensioattive

Diminuiscono tensione specifica es sapone. Se la superficie si espande dovuto alle operazioni di una porta:

L = 2ΔS → lavoro unitario di espansione [L] = [N⋅m⋅g] = l / 2ΔS

Legge di Laplace

(pressione contrattile) Per superf. curva: Per goccia sferica Pc = 4γ/R per lamina sferica

Tensione su superfice curve: Data la superf. curva si crea una forza aggiuntiva detta forza contrattile e una pressione.

Pc = 2γ/R

È diverso se superf. è curva verso l’alto o verso il basso.

Più superf. è curva più è grande la pressione.

Pi - Pe = Pc = ΔP = 2γ/R Valore di equilibrio tra pressione interiore e pressione esterna → Max differenza

Nota: Tensione superf. piccola → più facile espandere Lamine Sott

Forze superficiali

F₁ = γ₁ dl F₂ = γ₂ dl F₃ = γ₃ dl

In equilibrio: F_tot = 0 γ₁ dl - γ₂ dl - γ₃ dl = 0

cos = (γ₁ - γ₃) / γ₂

Nota Bene: arccos(cos) (da 0 a 90° - "bagna la superficie") > 90° - "non bagna" Se cresce, riduce bagnabilità.

Fenomeni di capillarità

2 2 > 90° (non bagna la parete) Innanzamento: Sup. del fluido nel tubino e concava verso netto quando il liquido bagna le parete. Si genera pressione contrattile (cap.) e tens. sup.