Fisica medica - dinamica dei fluidi

Volume di fluido che nell'unità di tempo attraversa la sezione A di un tubo

3mS.I.: [ ] [ ] [ ] s^-1 = 2 1R A v L LTV 3cmGauss: s

L'equazione di continuità asserisce che la portata R attraverso un tubo è costante: ( ) = R Av cost. flusso di volume quindi la v di un fluido aumenta al diminuire della sezione A del tubo. L'equazione di continuità vale non solo per i fluidi ideali, ma per qualsiasi fluido reale.

Dinamica dei fluidi 11ρ Se la densità del fluido è costante, l'equazione di continuità diventa: ( ) ρ ρ = = Av Av R cost. flusso di massa 1 1 2 2 mR è la massa di fluido che attraversa la sezione A di un tubo nell'unità di tempo e chiamasi portata di massa o flusso di massa. S.I.: Kg/s [ ] [ ] [ ] ρ - - - = = = 2 1 3 1R A v L LT ML MTm Gauss: gr/s

In generale l'equazione di continuità asserisce che attraverso un tubo,

se non ci sono sorgenti o perdite di fluido, la massa di fluido che attraversa nell'unità di tempo ogni sezione del tubo deve essere costante.

Questo risultato esprime la legge di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi.

ESEMPIO:

L'acqua che scorre da un rubinetto ha forma di un cono rovesciato e non di un cilindro. Perché?: le molecole di liquido che escono dal rubinetto, cadono con moto rettilineo uniformemente accelerato.

Per il principio di continuità:

A₀ * v_A0 = A₁ * v_A1

E essendo v_A0 < v_A1:

A₀ > A₁

Teorema di Bernoulli (1738)

Si consideri un fluido ideale che scorre in un tubo in moto laminare.

In un intervallo di tempo Δt, un volume di fluido ΔV attraversa la sezione A₁ in entrata ed un identico volume esce dal tubo attraverso la sezione A₂.

p₁ + 1/2 ρv₁² + ρgy₁ = p₂ + 1/2 ρv₂² + ρgy₂

Il fluido è

incomprimibile2 y ⏊ V entrante attraverso A(b) 1⏊ deve essere uguale a Vρ =x uscente (assumendo cost.).

Dinamica dei fluidi 14

Si consideri la parte di fluido tratteggiata di cui Ly si vuole studiare il moto passando dalla (a) (b).

2v1 A 2p La parte di fluido che si1 (a)y A1 muove tra i due piani1 x verticali separati da una distanza L non cambia vy 2 le sue proprietà durante questo processo;

2 A 2 y2 si è interessati solo a(b) variazioni che hanno luogo alle due estremità di ingresso e uscita.

Dinamica dei fluidi 15

Il teorema di Bernoulli si dimostra applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica al fluido che scorre nel tubo tra la configurazione iniziale a) e finale b). Δ = Δ

Il teorema dell'energia cinetica asserisce che: W Ec

Calcoliamo W le forze che compiono lavoro sul sistema sono:

a) la forza di gravità;

b) le forze di pressione. ()

Il lavoro W fatto dalla forza di gravità m g sulla massa Δm

Il teorema di Bernoulli non è un nuovo principio ma è solo un modo diverso di esprimere la conservazione dell'energia meccanica (in una forma più adatta ai fluidi). Dinamica dei fluidi 19

CONSIDERAZIONI: Come la statica è un caso particolare della dinamica, così l'idrostatica è un caso particolare della dinamica dei fluidi. Infatti, la legge di Stevino è un caso particolare della equazione di Bernoulli.

Infatti, quando un fluido è in quiete: v₁²/(2ρ) + p₁g y₁ = v₂²/(2ρ) + p₂g y₂ (legge di Stevino)

Applicazioni del teorema di Bernoulli:

a) STENOSI: Si consideri un vaso sanguigno orizzontale e si supponga che in qualche zona la sua sezione si restringa. Ciò si verifica quando, per esempio, sulle pareti

interne si depositano grumi di grasso.

21 S S 21v v1 2 Si supponga che il moto del sangue sia stazionariola portata è costante in tutte le sezioni   R Sv cost. S v S vV 1 1 2 2  ed essendo S S v v1 2 1 2Dinamica dei fluidi 211 1       2 2Equazione di Bernoulli: p gh v p gh v1 1 1 2 2 22 2  ed essendo il tubo orizzontale h h1 21 1   2 2p v p v1 1 2 22 2  poichè v v p p1 2 1 2In S si instaura un processo cumulativo : infatti in S , essendo2 2la p diminuita il deposito di grumi di grasso tende a2crescere, con ulteriore calo di p .2Si può così arrivare all'occlusione del vaso (STENOSI) e quindiall'arresto in esso della circolazione del sangue.Dinamica dei fluidi 22b) ANEURISMAA causa di una perdita di elasticità della parete di un vasosanguigno, si può arrivare al risultato opposto.

pp 2S S1 v 21v 21 Nell'ipotesi di moto stazionario la

portata è costante in ogni sezione (principio di continuità)

R = Sv cost. S v S vV 1 1 2 2

⇒

S S v v1 2 1 2

Dinamica dei fluidi 231 1 ρ ρ ρ ρ+ + = + +2 2

Equazione di Bernoulli: p gh v p gh v1 1 1 2 2 22 2⇒ = ⇒

ed essendo il tubo orizzontale h h1 21 1 ρ ρ+ = +2 2

p v p v1 1 2 22 2> ⇒ >

poiché v v p p1 2 2 1

Quindi in S la pressione è > che in S .2 1

Anche questo processo è cumulativo con conseguente possibilità di rottura del vaso sanguigno (ANEURISMA) quando viene superato il limite di elasticità della parete del vaso ≈ × 5 2(Y 2 10 N/m ). Dinamica dei fluidi 24

c) SPINTA SU DI UN RAZZO

Si consideri un recipiente cilindrico di sezione A, pieno di gas di densità e pressione p. Sia A la superficie del foro di scarico del gas. Si calcoli la velocità v di scarico del gas.

A 0 ρp , , v Ap0 1 1 ρ ρ ρ ρ+ + = + +2 2

Equazione di Bernoulli: p g h v p gh v1

1 1 2 2 22 2  ed essendo il tubo orizzontale h h1 2  1 1 1        2 2 2 2p v p v p p v v1 1 2 2 1 2 2 12 2 2    S ia: p p; p p ; v v; v v1 2 0 1 2 0Dinamica dei fluidi 25   2 p p1      02 2 2 2p p v v v v0 0 02dove v è la velocità del gas all'interno del recipiente e v è quella0di efflusso. 2 2Si è ammesso che v v . Infatti dall'equazione di continuità: