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ESEMPIO:

 L’H O che scorre da un rubinetto ha forma di un cono rovesciato

2

e non di un cilindro. Perchè?

: le molecole di liquido che

escono dal rubinetto, cadono con

moto rettilineo un iformemente

A 0    

 

acceler

ato la v A v A .

0 1

h Per il principio di continuità:

   

A   

A v A A v A

1 0 0 1 1

   

e

d essendo v A v A

0 1

 

A A

1 0

Dinamica dei fluidi 13

Teorema di Bernoulli (1738)

Si consideri un fluido

L

y ideale che scorre in un

p tub o in moto laminare.

2

v

1 A 2 

In un intervallo di tempo t

p 1 (a) 

y un volume di fluido V

A

1 1 at traversala sezione A

x 1

in entrata ed un identico

v vo lume esce da

l tubo

2

y attr

averso la sezio ne A .

p 2

2 

A Il fluido è incomprimibile

2 y 

2 V entrante attraverso A

(b) 1

deve essere uguale a V

 

x uscent e (assumend o cost.)

.

Dinamica dei fluidi 14

Si consideri la parte di

fluido tratteggiata di cui

L

y si vuole studiare il moto

p passando dalla (a) (b).

2

v

1 A 2

p La parte di fluido che si

1 (a)

y A

1 muove tra i due piani

1 x verticali separati da una

distanza L non cambi a

v

y 2 le sue propriet à durante

p questo process o;

2 A 2 y

2 si è interessati solo a

(b) variazioni che hanno

x luo go alle due estre

mità

di in gresso e us cita.

Dinamica dei fluidi 15

 Il teorema di Bernoulli si dimostra applicando il principio di

conservazione dell’energia meccanica al fluido che scorre nel

tubo tra la configurazione iniziale a) e finale b).  

Il teorema dell'energia cinetica asserisce che: W E

c

Calcoliamo W

le forze che compiono lavoro sul sistema sono:

a) la forza di gravità

;

b) le forze di pressione

.  

a) I

l lavor

o W fatto dalla forza di gravità m g sulla massa

g

m per sollevarla dalla quota y alla quota y è:

1 2

 

        

W mg y mg y y 0

g 2 1

questo W è <0 in quanto g e y hanno versi opposti;

g

m è la massa di fluido tratteggiata.

Dinamica dei fluidi 16

b) Il lavoro W della forza di pressione è in parte compiuto sul

p

sistema (all'ingresso A ) , per spingere il fluido attraverso il

1

tubo, ed i n part e dal sistema (al

l'est r

emi tà di us

cita A ) per

2

spingere il flu

ido fuori dal tub o in pre

s e

nza di p .

2

Il lavoro di una forza di pr

essione p che agisce su un

a

porz

ione di fluido c

ontenut

a i n un tubo di sezione A per

  

spostarla di una distanza x è, e

s sen

do A x = V :

   

       

F x p

A x cos p V

 

il W svolto sul sistema è: W p V

p

1 p

1 1 

  

il W svol

to dal sistema è: W p V

p 2 p 2 2

      

W W W p V p V

p 1 2 1 2

 

   

W p p V

p 2 1

Dinamica dei fluidi 17

Il lavoro totale W compiuto sulla massa m è:

   

       

W W W mg y y p p V

p g 2 1 2 1

 

m m

    

e ricordando che (densità del fluido) V 

V 

m

   

    

W mg y y p p 

2 1 2 1

  

Dal teorema dell'energia cinetica W E , con

c

1 1

     

2 2

E m

v m

v

c 2 1

2 2 

1 1 m

   

         

2 2

m v m v m g y y p p 

2 1 2 1 2 1

2 2 

moltiplicando ambo i membri per :

Dinamica dei fluidi 18

1 1    

  

      

2 2

v v g y y p p

2 1 2 1 2 1

2 2

1 1

   

     

2 2

v g

y p v g

y p

1 1 1 2 2 2

2 2

eliminando gli indici 1 e 2 che si riferiscono a due punti qualsiasi

del fluido 

 p g

y (pressione st atica)

1  

  

2 

p v g

y cost. 1  2

2 v (pressione dina

m

i c

a)

 2

N.B.: vale solo per i fluidi ideali (

incomprimibili, non viscosi,

ir

rotazionali, in moto laminare).

I

l teorema di Bernoulli non è un nuovo principio ma è solo un

modo diverso di esprimere la conservazione dell'energia

meccani ca (

in una forma più adatta ai fluidi )

.

Dinamica dei fluidi 19

CONSIDERAZ

IONI :

Come la statica è un caso particolare della dinamica, così

l'idrostatica è un caso particolare della dinamica dei fluidi.

Infatti, la legge di Stevino è un caso particola

re del

la equazione

di Berno

ulli.   

Infatti, quando un fluido è in quiete: v v 0

1 2

 

   

p g y p g y

1 1 2 2

 

  

p p g y y (legge di Stevi no)

2 1 2 1

1 1

 

    

2 2

S e y y p v p v

1 2 1 1 2 2

2 2

(

tubo orizzontal

e

) la pressione risulta minore dove

la v aumenta e vicever

s a

.

Dinamica dei fluidi 20

Applicazioni del teorema di Bernoulli

a) STENOSI

 Si consideri un vaso sanguigno orizzontale e si supponga che in

qualche zona la sua sezione si restringa. Ciò si verifica quando,

per esempio, sulle pareti interne si depositano grumi di grasso.

p p 2

1 S S 2

1

v v

1 2 

Si supponga che il moto del sangue sia stazionario

la portata è costante in tutte le sezio

ni

   

R Sv cost. S v S v

V 1 1 2 2

  

ed essend

o S S v v

1 2 1 2

Dinamica dei fluidi 21

1 1

   

    

2 2

Equazione di Bernoulli: p g

h v p g

h v

1 1 1 2 2 2

2 2

  

e

d essendo il tubo orizzontale h h

1 2

1 1

 

  

2 2

p v p v

1 1 2 2

2 2

  

poichè v v p p

1 2 1 2

In S si instaura un processo cumulativo : infatti in S , essendo

2 2

la p diminuita il deposito di grumi di grasso tende a

2

crescere, con ulteriore calo di p .

2

Si può così arrivare all'occlusione del vaso (STENO

SI) e quindi

all'arresto in esso della circolazione del sangu

e.

Dinamica dei fluidi 22

b) ANEURISMA

A causa di una perdita di elasticità della parete di un vaso

sanguigno, si può arrivare al risultato opposto.

p

p 2

S S

1 v 2

1

v 2

1 

Nell'ipotesi di moto stazionario la portata è costante in ogni

sezione (principio di contin

uità

)

   

R Sv cost. S v S v

V 1 1 2 2

  

e

d essendo S S v v

1 2 1 2

Dinamica dei fluidi 23

1 1

   

    

2 2

Equazi one di Bernoulli: p g

h v p g

h v

1 1 1 2 2 2

2 2

  

ed essendo il tubo orizzontale h h

1 2

1 1

 

  

2 2

p v p v

1 1 2 2

2 2

  

poich

è v v p p

1 2 2 1

Quindi in S la pressione è > che in S .

2 1

Anche questo processo è cumulativo con conseguente possibile

rottura de

l vaso sanguigno (ANEURI

SMA

) quando viene

s uperato il limite di elasticità della parete del vaso

  5 2

(Y 2 10 N/m ). Dinamica dei fluidi 24

c) SPINTA SU DI UN RAZZO

Si consideri un recipiente cilindrico di sezione A, pieno di gas

di densità e pressione p. Sia A la superficie del foro di

0

scarico del gas. Si calcoli la velocità v di scarico del gas.

0

A 0 

p , , v A

p

0 1 1

   

    

2 2

Equazione di Bernoulli: p g h v p g

h v

1 1 1 2 2 2

2 2

  

ed essendo il tubo orizzontale h h

1 2  

1 1 1

  

      

2 2 2 2

p v p v p p v v

1 1 2 2 1 2 2 1

2 2 2

    

S ia: p p

; p p ; v v; v v

1 2 0 1 2 0

Dinamica dei fluidi 25

 

  2 p p

1 

     

0

2 2 2 2

p p v v v v

0 0 0

2

dove v è la velocità del gas al

l'interno del recip iente e v è quella

0

di eff

luss

o

. 

2 2

Si è ammesso che v v . Infa

tti dall'equazione di continuità:

0 A v

   0 0

Av A v v

0 0 A

     

2 2

e se A A v v v v

0 0 0

 

2 p p

 0

v 

0 Dinamica dei fluidi 26


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32

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457.24 KB

AUTORE

kalamaj

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica Medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (a ciclo unico - 6 anni)
SSD:
Università: Foggia - Unifg
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Capozzi Vito.

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