Analisi 2, Prof. Lucio Demeio, Teoremi e dimostrazioni

1. Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili
2. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (1^ord.)
3. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (2^ord.)
4. Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un'eq. lin. 2^ord.
5. Determinante wronskiano e indipendenza
6. Funzione trasformabile essendo integrabile in _{[0, A]}
7. Trasformazione di una derivata
8. Limite per componenti
9. Derivata di un vettore a modulo costante
10. Formule di Frenet-Serret
11. Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi
12. Insiemi chiusi e limiti di successioni
13. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue
14. Teorema di Weierstrass
15. Teorema degli zeri
16. Differenziabilità e gradiente
17. Condizione sufficiente di differenziabilità (f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ)
18. Formula del gradiente
19. Teorema del valore medio
20. Teorema di Schwarz
21. Teorema di Fermat
22. Massimi, minimi relativi e punti di sella
23. Condizione sufficiente di differenziabilità (f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ^m)
24. Differenziabilità di una funzione composta
25. Funzioni inverse (f: A ⊆ ℝⁿ → ℝⁿ)

26) Funzione continua → integrabile

27) Teorema di riduzione (per un rettangolo)

28) Proprietà di annullamento e teorema della media

29) Teorema di riduzione (per domini semplici)

30) Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi

31) Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli

32) Derivazione sotto il segno di integrale

33) Identità differenziali

34) Lavoro di un campo conservativo lungo una curva regolare attrattiva

35) Campi conservativi

36) Campo irrotazionale in Ω semp. connesso → conservativo

37) Esistenza di potenziale vettore in un campo a div. nulla

38) Campi a div. nulla uguali al rotore di potenziali vettore.

39) Formula di Gauss-Green

40) Teorema della divergenza (o di Gauss)

41) Teorema del rotore (o di Stokes)

42) Funzione derivabile in senso complesso

43) Integrale complesso

44) Teorema integrale di Cauchy

45) Formula integrale di Cauchy

46) Funzione olomorfa derivabile infinite volte

47) Teorema fondamentale del calcolo integrale

48) Funzione olomorfa in un insieme aperto e connesso

49) Serie di potenze con i numeri complessi

50) Serie di Taylor di una funzione olomorfa

51) Sviluppo in serie di Laurent

52) Teorema dei residui

53) Lemma di Jordan

Funzione trasformabile essendo integrabile in un intervallo

e che cresce esponenzialmente per x → +∞?

Se per x abbastanza grande si può scrivere |f(x)| ≤ Me^αx con M ed α positivi allora f è trasformabile esiste nel semipiano complesso Re p > α ed inoltre

Trasformazione di una derivata

Sia f derivabile con derivata continua a tratti in [0,+∞). Sia inoltre f trasformabile nel semipiano Re p > α allora f' è trasformabile nel semipiano Re p > max {α,0} e vale la formula

Dimostrazione:

Sia f(x) ≤ Me^αx e f' continua si ha:

Integrando per parti:

(Se Re p > max {α,0} e^-pT f(T) ≥ 0)

Se esistono le derivate di f di ordine superiore e sono trasformabili si ha:

Limite per componenti

Siano v(t) = (v₁(t), v₂(t), ..., v_m(t)) con v_i: I → ℝ i=1,2,...,m e sia allora per t → t₀:

v(t) → l se e solo se v_i(t) → l_i per ogni i = 1,2,...,m.

In altre parole il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente in simboli:

t → t₀, (v₁(t), v₂(t), ..., v_m(t)) = (l₁, l₂, ..., l_m)

Dimostrazione:

Allora se v(t) → l la prima disuguaglianza implica che v_i(t) → l_i per ogni i = 1,2,...,m (teorema del confronto) viceversa se v_i(τ) ≠

per ogni j = 1,2,...,m allora la sommatoria tende a zero, quindi v(t) → l.

Teorema di Schwarz

Sia f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ con A aperto. Supponiamo che (per certi indici i, j ∈ {1, 2, ..., n}) le derivate seconde miste ∂²f/_∂xi∂xj = ∂²f/_∂xj∂xi esistano in un intorno di un punto x_o e siano entrambe continue in x_o. Allora esse coincidono in x_o. Una funzione che ha tutte le derivate parziali seconde continue in un aperto A si dice di classe C²(A).

Dimostrazione:

Sia x_o = (x_o, y_o) almeno in un intorno di x_o la funzione f è definita, esistono le derivate seconde miste di f e le derivate parziali prime. Scegliamo un quadrato [x_o - s, x_o + s] x [y_o, y_o + s] contenuto in questo intorno e consideriamo la seguente quantità:

Q = f(x_o + h, y_o + k) - f(x_o + h, y_o) - f(x_o, y_o + k) + f(x_o, y_o) con |h| ≤ |k| ≤ s

Consideriamo la funzione di una variabile U(e) = f(x_o + t, y_o + k) - f(x_o, t) Notiamo che Q = U(y_o + tk) - U(y_o) . Applicando il teorema di Lagrange a U otteniamo

Q = U(y_o + tk) - U(y_o) = kU'(y_o + s_ky_k) = k ∂f/_∂y(x_o + t, y_o + s_ky_k) - ∂f/_∂y(x_o, y_o + s_ky_k)

Applicando il teorema di Lagrange alla funzione v(s): f(s, y_o + s_ky_k) Q = k h █ ∂f/_∂y(x_o + s_kh, y_o + s_ky_k) - ∂f/_∂y(x_o, y_o) █

Ripetiamo ora lo stesso discorso ma con:

Q = w(x_o + th) - w(x_o) con w(e) = f(t, y_o+k) - f(t, y_o)

con gli stessi passaggi si ha:

Q = h w'(x_o + s₃h) = h █ ∂f/_∂x(x_o + s₃h, y_o + k) - ∂f/_∂x(x_o + s₃h, y_o) █ = █ ∂²f/_∂x² (x_o + s₃h, y_o + δ_k) █

Uguagliando le due espressioni di Q e semplificando hk, abbiamo:

∂²f/_∂x∂y(x_o + s_ih, y_o + δ_k) = ∂²f/_∂y∂x(x_o + s₃h, y_o + δ_k)

Facciamo ora tendere h, k a zero, si ha:

∂²f/_∂x∂y(x_o, y_o) = ∂²f/_∂y∂x(x_o, y_o)

Quindi per la continuità delle derivate seconde miste, otteniamo

∂²f/_∂x∂y(x_o, y_o) = ∂²f/_∂y∂x(x_o, y_o) che è la tesi.