Analisi 2, Prof. Lucio Demeio, Teoremi e dimostrazioni

1. Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili
2. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (1^ord)
3. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (2^ord)
4. Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un'eq. lin. 2^ord
5. Determinante wronskiano e indipendenza
6. Funzione trasformabile essendo integrabile in [0,A]
7. Trasformazione di una derivata
8. Limite per componenti
9. Derivata di un vettore a modulo costante
10. Formule di Frenet-Serret
11. Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi
12. Insiemi chiusi e limiti di successioni
13. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue
14. Teorema di Weierstrass
15. Teorema degli zeri
16. Differenziabilità e gradiente
17. Condizione sufficiente di differenziabilità (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ)
18. Formula del gradiente
19. Teorema del valore medio
20. Teorema di Schwarz
21. Teorema di Fermat
22. Massimi, minimi relativi e punti di sella
23. Condizione sufficiente di differenziabilità (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ^m)
24. Differenziabilità di una funzione composta
25. Funzioni inverse (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝⁿ)

1. Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili
2. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (1^oord.)
3. Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (2^oord.)
4. Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un'eq. lin. 2^oord.
5. Determinante wronskiano e indipendenza
6. Funzione trasformabile essendo integrabile in [0,a]
7. Trasformazione di una derivata
8. Limite per componenti
9. Derivata di un vettore a modulo costante
10. Formule di Frenet-Serret
11. Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi
12. Insiemi chiusi e limiti di successioni
13. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue
14. Teorema di Weierstrass
15. Teorema degli zeri
16. Differenziabilità e gradiente
17. Condizione sufficiente di differenziabilità (f:a⊆ℝⁿ→ℝ)
18. Formula del gradiente
19. Teorema del valore medio
20. Teorema di Schwarz
21. Teorema di Fermat
22. Massimi, minimi relativi e punti di sella
23. Condizione sufficiente di differenziabilità (f:a⊆ℝⁿ→ℝ)
24. Differenziabilità di una funzione composta
25. Funzioni inverse (f:a⊆ℝⁿ→ℝⁿ)

26) FUNZIONE CONTINUA ➔ INTEGRABILE

27) TEOREMA DI RIDUZIONE (PER UN RETTANGOLO)

28) PROPRIETÀ DI ANNULLAMENTO E TEOREMA DELLA MEDIA

29) TEOREMA DI RIDUZIONE (PER DOMINI SEMPLICI)

30) FORMULA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI NEGLI INTEGRALI DOPPI

31) FORMULA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI NEGLI INTEGRALI TRIPLI

32) DERIVAZIONE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE

33) IDENTITÀ DIFFERENZIALI

34) LAVORO DI UN CAMPO CONSERVATIVO LUNGO UNA CURVA REGOLARE ATTRATTI

35) CAMPI CONSERVATIVI

36) CAMPO IRRAZIONALE IN Ω SEMP. CONNESSO ➔ CONSERVATIVO

37) ESISTENZA DI POTENZIALE VETTORE IN UN CAMPO A DIV. NULLA

38) CAMPI A DIV. NULLA UGUALI AL ROTORE DI POTENZIALI VETTORE

39) FORMULA DI GAUSS-GREEN

40) TEOREMA DELLA DIVERGENZA (O DI GAUSS)

41) TEOREMA DEL ROTORE (O DI STOKES)

42) FUNZIONE DERIVABILE IN SENSO COMPLESSO

43) INTEGRALE COMPLESSO

44) TEOREMA INTEGRALE DI CAUCHY

45) FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY

46) FUNZIONE OLOMORFA DERIVABILE INFINITE VOLTE

47) TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

48) FUNZIONE OLOMORFA IN UN INSIEME APERTO E CONNESSO

49) SERIE DI POTENZE CON I NUMERI COMPLESSI

50) SERIE DI TAYLOR DI UNA FUNZIONE OLOMORFA

51) SVILUPPO IN SERIE DI LAURENT

52) TEOREMA DEI RESIDUI

53) LEMMA DI JORDAN

PROBLEMA DI CAUCHY PER UN'EQUAZIONE A VARIABILI SEPARABILI

y' = a(t) b(y) Y(t₀) = y₀

a funzione continua n un intorno I di t₀, e b è una funzione continua n un intorno J di y₀, allora esiste un intorno di t₀ I⊆I e una funzione y∈C¹(I¹) soluzione del problema. se b∈C¹(J) e una funzione continua, allora tale soluzione è unica.

STRUTTURA DELL'INTEGRALE GENERALE DELL'EQUAZIONE LINEARE NON OMOGENEA DEL PRIMO ORDINE

l'integrale generale dell'equazione completa si ottiene aggiungendo, all'integrale generale dell'omogenea una soluzione particolare della completa.

DIMOSTRAZIONE: sia y(t) una qualunque soluzione e ȳ(t) una soluzione particolare:

ȳ' + a(t)ȳ = f(t) y' + a(t)y = f(t)

sottraendo membro a membro: (y - ȳ)'+ a(t)(y - ȳ) = 0la funzione z/y - ȳ y/t è soluzione di z'(t) + a(t)z(t) = 0quindi Y(t) = z(t) + Ȳ(t)

STRUTTURA DELL'INTEGRALE GENERALE DELL'EQUAZIONE LINEARE NON OMOGENEA DEL SECONDO ORDINE

• a) l'insieme delle soluzioni dell'equazi