Dimostrazioni orale fondamenti di meccanica strutturale

FONDAMENTI DI MECCANICA STRUTTURALE

RELAZIONE TRA M_f, T E CARICO DISTRIBUITO

dT/dx = -q

dM_f/dx = T

TENSORE DELLE TENSIONI

Per definire lo stato di tensione in un punto bisogna determinare 6 incognite.

σ_ij = σ_ji

• χ: ∂σ_xx/∂x + ∂σ_yx/∂y + ∂σ_zx/∂z = 0
• γ: ∂σ_xy/∂x + ∂σ_yy/∂y + ∂σ_zy/∂z = 0
• ζ: ∂σ_xz/∂x + ∂σ_yz/∂y + ∂σ_zz/∂z = 0

FONDAMENTI DI MECCANICA STRUTTURALE

RELAZIONE TRA M_f, T E CARICO DISTRIBUITO

                                            q

↑                     t+dt-T+qdx=0 →           →

a)                         M_f+dM_f

                            M_f+dM_f -M_f-Tdx+q ½ dx²

→                 dT                   → dM_f = T

TENSORE DELLE TENSIONI

σ_xx         δσ_xx     δσ_yz     σ_yy     δσ_yy     δσ_xy     σ_zz

r                   δσ_xxdx

z:   (σ_yz       σ_zz+δσ_zzdxdy+   σ_xy+δσ_xydxdy σ_yz+δσ_yzdxdy        σ_xy

σ_xx+δσ_xx dx       σ_zz+         δσ_xydxdy dσ_yz

t  →             x y z

σ_xx         δσ_xxdxdy dz +ε_z dx

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE ATTORNO A:

τ_xy dx dy dz - τ_yx dx dz dy = 0

-τ_zx dx dy dz + τ_yz dz dx dy = 0

_{τyz = τzy}

DEFORMAZIONI

σ_i → ε_i

γ_ij → γ_ij

ADIMENSIONALI, CONGRUENTI E INFINITESIME

(FIBRE NE’ SOVRAPPOSTE NE’ INTERROTTE)

ε_x = - ^∂u⁄_∂x

ε_y = - ^∂v⁄_∂y

γ_xy = 3t g β

γ_yz = ^∂u⁄_∂z + ^∂w⁄_∂y

γ_xz = ^∂u⁄_∂z + ^∂w⁄_∂x

COEFFICIENTE DI POISSON

ε_y = - ^Δh⁄_h = - ^Δa⁄_a = -1) ε_x

La prova è considerata valida se il provino si rompe nel tratto intermedio di lo.

La rottura può essere rispetto al piano o perpendicolare e in base al tipo di rottura si hanno diversi tipi di materiale.

Re_h = Carico elastico superiore

Re_l = Carico di snervamento

Rm = Carico di rottura

Lun. fin. = l_u - l_o % = A%

e = tg α

Acciaio più nobile (meno dolce, meno duttile):

ΔL = 0,12

R_poz = Carico limite di scostamento dalla proporzionalità

Materiale fragile (ghisa):

Flessione

ε_x = ^{dl' - dl} ⁄ _dl = ^y ⁄ _R

dl_n = Rdφ

dl' = (R+y)dφ

dl' - dl_n= (R+y)dφ - Rdφ = y dφ

{ ε_x = ^y ⁄ _R => σ_x = ε · ε_x

∫_A σ_x dA = 0

ε ∫_A ^y⁄_R dA = 0

M_ρ = ∫_A σ_x dA · y = ^ε⁄_R ∫_A y² dA = I_z

M_ρ = ^ε⁄_R I_z

σ_x = ^{M_ρ· y}⁄_Iz

Equazione Differenziale Della Linea Elastica

d²y/dx² = - M_p / EI_z

M_p = E/R I_z -> 1/R = M_p / EI_z

pendenza decrescente

dl = R d

dl = √(dx² + dy²)

dy/dx

(d/dx)(tg) = (1 + tg² ) d²y/dx² = (1 + tg² ) d²y/dl d/dx

1/R = d²y/dx² / [1 + (dy/dx)²]^3/2

-1/R = d²y/dx² -> - M_p = M_l / EI_z

M_p = E/R I_z

Es.

R_o = 0

R_v = P

M_v = P · L

M_p + M_v - R_v · x = 0

M_p = P_x - P_L = P(x - L) = -P(L-x)

d²y/d²x = P(L-x) / EI_z

dy = - P(L-x)² / 2EI_z + A

y(x) = + p(L-x)³ / 6EI⊇ + Ax + B

CC: x = 0 → y = 0

d_y/d_x = 0

       → γ = Y_max Y_x=L = pL³ / 2EI⊇

TORSIONE

τ = c · t/r   → τ = c · r · dθ/dz

M_t = ∫^a τ_d d_r rd_l = ∫_a G · r dA · r =  

= (dθ/dz) ∫₀ r² dA = (dθ/dz) G 2πR⁴ / 4 = πR⁴ / 2

= (dθ/dz) C_Ip

M_t = τ / C_Ip  → τ = M_t r / C_Ip  → θ = M_t r / C_Ip

RICIPROCITÀ TENSIONI TANGENZIALI:

τ_xz d_zd_yd_x - τ_zx d_xd_yd_z = 0

τ_xz = τ_zx

RICIPROCITÀ TENSIONI TANGENZIALI (TAGLIO):

τ_yx b_d = τ_σb_d

τ_xy = τ_yx

Taglio nelle varie sezioni

Assi centrali di inerzia

I_x = ^bh3/₁₂ = I_maxI_y = ^hb3/₁₂ = I_minI_xy = 0

Si definiscono assi centrali di inerzia quegli assi baricentrici che consentono di avere momento d'inerzia massimo e momento d'inerzia minimo.Se gli assi sono centrali d'inerzia il momento centrifugo è nullo.

x_α = x cosα + y senαy_α = -x senα + y cosα

I_xyα = 0 → tg2α = ^2I_xy/_{Iy - Ix}

Flessione deviata

M_z = M_x cosαM_z = M_y senα → tgα = ^M_y/_Mx

σ_x = ^M_z/_Iz × y - ^M_y/_Iz × h = 0

si cerca il piano neutro

σ_x = ^M_y/_Iz - ^M_z/_Iz

tg β = ^y/_z = ^I_z/_Iytg β = tg α ^I_z/_Iy(I_z > I_y) → β > α)

Caso particolare: b << h

I_z > I_yI_z/I_y → ∞ → β = π/2

Caso particolare: sezione circolare piena

M_z = M_y senα → tg2α = 0I_x = I_y = I_z → tg2α = tg2α

σ_max = ^M_x/_Id × ^D/₂

Tetraedro di Cauchy

6 incognite

\( \tau_{ij} = \tau_{ji} \)

ACB   cosnₓ = COB

ACB   cosn_y = AOB

ACB   cosn_z = AOB

cosn_z = ν

\( σ_x \) COB + \( τ_{yx} \) AOC + \( τ_{zx} \) AOB = Pₓ ACB

\( τ_{xy} \) COB + \( σ_y \) AOC + \( τ_{zy} \) AOB = P_y ACB

\( τ_{xz} \) COB + \( τ_{yz} \) AOC + \( σ_z \) AOB = P_z ACB

P = σ

σ_x μ + \( τ_{zx} \) ν = \( σ_x \)

τ_yz λ + σ_y μ + \( τ_{zy} \) ν = \( σ

τ_yz μ + σ_z ν = \( σ_z \)

Δ = det

I₁ = σ_x + σ_y + σ_z

σ₁ > σ₂ > σ₃

σ₁λ = P₁

σ₂μ = P₂

σ₃ν = P₃

P₁/_σ1 (P₂/_σ2 (P₃/_σ3) = 1

λ² + μ² + ν² = 1

Cerchi di Mohr

C (σ_x + σ_y/₂, 0) , R = √((σ_y - σ_x/₂)² + τ_xy²)

tg(2α)₀ : σ_x - σ_y/₂ = τ_xy ⇒ tg(2α) = 2τ_xy/σ_x - σ_y

ESEMPIO: Trave in trazione

σ₁ = σ_x ž² = x²

σ_z = 0

σ₁ = σ_x

Ipotesi di rottura

• Galileo

σ_l1, σ_l2, σ_l3

σ_Eg = σ_l1

σ_Ef = σ_l1

σ₁, σ₂, σ₃

σ_Eg = √((^{σ2 + τ2}/₂))

• TRESCA (TENSIONE TANGENZIALE MASSIMA, METALLI DURI)

σ₁, σ₃ ≠ 0 | σ = 0, τ ≠ 0 | σ ≠ 0, τ = 0

σ_eq = σ₁ - σ₃

σ_eq = √σ² + 4τ²

σ_eq = σ

σ_eq = 2τ

σ_eq = τ_max = ^{σ₁ - σ₃} / ₂

• VON MISES (ENERGIA DI MASSIMA DISTORSIONE, MATERIALI DUTTILI)

σ₁, σ₂, σ₃

σ ≠ 0, τ ≠ 0 | σ ≠ 0, τ = 0 | σ = 0, τ ≠ 0

σ_eq = ¹ / _√2 √(σ₁ - σ₂)² + (σ₁ - σ₃)² + (σ₂ - σ₃)²

σ_eq = √σ² + 3τ²

σ_eq = σ

σ_eq = √3τ

TEOREMA DI CLAPEYRON

Le = ¹ / ₂ F · s

l_e = ¹ / ₂ M · Δθ

TEOREMA DI BETTI

Le₁ = ¹ / ₂ F₁ P₁ + ¹ / ₂ F₂ P₂ + F₁ P₂

Le₂ - Le₁ = F₁ P₂ - F₂ P₁

IL LAVORO MUTUO È NULLO QUANDO LE 2 ENERGIE SONO DISACCOPPIATE

• MAXWELL

E₁ = ρ l(x = ^L / ₂)

E₂ = ρ l(x = L)

E₂ = ρ l(x = ^L / ₂) + ^∂v / _∂x(^l / ₂)

ENERGIA ELASTICA

Φ = Φ_v + Φ_d → COMPONENTE DEVIATORICA (ENERGIA DI DISTORSIONE)

• Φ_v ↓ COMPONENTE STATICA
• CAMBIA SOLO IL VOLUME DELL'OGGETTO MA NON LA FORMA
• Φ_d ↑ NON CAMBIA IL VOLUME MA CAMBIA LA FORMA
• Φ_d^max ROMPE L'OGGETTO

TENSIONI E DEFORMAZIONI PRINCIPALI

⟦ε⟧

• ε₁
• ε₂
• ε₃

= 1/E ⟦1 -ν -ν⟧ ⟦σ₁⟧

⟦-ν 1 -ν⟧ ⟦σ₂⟧

⟦-ν -ν 1⟧ ⟦σ₃⟧

ε₁ = 1/E (σ₁ + σ₂ ν + σ₃ ν)

ε₂ = 1/E (σ₁ ν + σ₂ + σ₃ ν)

ε₃ = 1/E (σ₁ ν + σ₂ ν + σ₃)

Ⲫ3D = 1/2

σ₁ε₁ + λσ₁(ε₁ + ε₂ + ε₃) + σ₂ε₂ + λσ₂(ε₁ + ε₂ + ε₃) + σ₃ε₃ + λσ₃(ε₁ + ε₂ + ε₃)

= 1/2 (σ₁ε₁ + σ₂ε₂ + σ₃ε₃)

+ (σ₁ + σ₂ + σ₃)

⟨ε₁ + ε₂ + ε₃⟩

= ELEMENTO

Ⲫ = 1/2E⟦ (σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2ν[σ₁σ₂ + σ₁σ₃ + σ₂σ₃]) ⟧

⟪ A + 2B⟫

=1/2E⟨A - 2νB⟫

= Ⲫmax3D - Ⲫmax1D

εσ₁,σ₂,σ₃ εσ₁,0,0

Ⲫ" = Ⲫ" - 1/2E { A - 2νB }

Hp: σm = 0⟹σ₁ + σ₂ + σ₃ = 0

σ₁ + σ₂ + σ₃ = σ₁ + σ₂ + σ₃

= 1/2E ( (σ₁ + σ₂ + σ₃/3)² 3 - [σ₁(σ₁ + σ₂ + σ₃/3) + 2(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₁σ₃) ])

= 1/3E { (1 - 2ν)[σ₁² + σ₂² + σ₃²] + 2 (σ₁σ₂ + σ₃σ₂ + σ₁σ₃) }

Ⲫmax" = Ⲫ" = Φ - Ⲫ = 1/2E [A - 2νB - 1/3(1-2ν) [A + 2B] ]

= 1/2E [ A - 2νB - 1/3A - 2/3B]

= 0

⟩= 1/2E ( (A + B) { A - 2νB }⟩

= 1/2E {1/2E (σ₁² + σ₂² + σ₃²) - (σ₂σ₃ + σ③σ₁ + σ₁σ₂)⟩

• Ⲫmax = 1/3E⟨(1 + ν)σεσmax²

H⭳⟹σεσ⟩= 1/⟨(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²⟩

LEGAME TRA TENSIONI E DEFORMAZIONI IN UN SOLIDO

• Ex = εx = (σx/ε)

Instabilità Elastica

P_CR = π² E I_z / Ī_z

Lunghezza libera di inflessione

A parità di sezione, più snella è la trave e minore è il carico critico

M_p + P (δ - γ) = 0

d²y/dx² = -M_p / EI_z

-EI_z (d²y/dx²) + Pδ - Pγ = 0

d²y/dx² + P/EI_z γ = P/EI_z δ

γ = δ

γ = A cos √(P/EI_z) x + B sen √(P/EI_z) x + δ

γ = A cos √(P/EI_z) x + B sen √(P/EI_z) x + δ

y(x = 0) = 0 ⇒ A + δ = 0 ⇒ A = -δ

y'(x = 0) = 0 ⇒ B = 0

γ = -δ cos √(P/EI_z) x + δ

x = L ⇒ γ = δ

δ = -δ cos √(P/EI_z) L + δ

δ - δ = -δ cos √(P/EI_z) L

cos(√(P/EI_z) L) = 0

√(P/EI_z) L = π/2 + nπ

(√(P/EI_z) L = π/2 + 2nπ

n = 0, 1, 2, ...

P_CR = π²/4 EI_z/L² = π² E I_z/L₀²

L₀ =

• 2L
• L
• L/2