Dimostrazioni Meccanica Applicata alle Macchine

Vogliamo calcolare la coppia frenante Cf affinché la massa

P/g si fermi in un uno spazio Δh, inoltre vogliamo

sceere l'energia dissipata del freno per arrestare la massa.

equilibrio alla rotazione attorno a O

Cf + I du/dt + T d/2 - P d/2 = 0

Per l'equilibrio della massa T=P - ρ dV/dt

Cf + I du/dt + (P/ρ dV/dt + P d/2)/2 = 0

V = ωd => v = 2V => αdω = 2 dV/dt

Cf + 2I/α dV/dt + P/ρ dV/dt - P d/2 = 0

Cf + (2I/α + P/ρ) dV/dt = P d/2 =

dV/dt = (P d/2 - Cf)/ (2I/α + P/ρ)

- α Vt = - dx = - ∫(P d/2 - Cf)/(2I/α + P/ρ

∫V dt => dt = dx/V

Vogliamo calcolare la coppia frenante Cf affinché la massa P/g si fermi in un uno spazio Δh, inoltre vogliamo conoscere l’energia dissipata dal freno per arrestare la massa.

Equilibrio alla rotazione attorno a O

Cf + I _dω/_dt + T/2 - P_d/2 = 0

Per l’equilibrio della massa T = P_d = ρ g V/_dt

Cf + I _dω/_dt + (P_d/ρ _dV/_dt + P_d/2)/2 = 0

V = ω d => ω = V/d => _dω = ₂d_V/_{d dt}

Cf + 2I _dV/_{d dt} + P_{d dV}/_{ρ d dt}/2 = 0

=>

=> Cf _dV/_dt + (2I/_dt + P_d/ρ _dV/2) = 0

=> Cf _dV = _{-2 I/dV - Pd/pV}||

=> _dx = _{ω dV dt} = _-VdV/dt

=> _dt = _dx/V

dv = -(Cf - pd/2) / (2I/dt + Pd/2g) =>

∫V dv = ∫(Cf - pd/2) / (2I/dt + Pd/2g)

Condizioni iniziali:

V(t=0) = Vo e x=0

V(t=t')=0 e x=Δh

∫Vo⁰ VdV = Vo²/2

=>(Cf - pd/2) / (2I/dt + Pd/2g) Δh =>

Pd/2 = p d Δh

Cf = Pd/2 + Vo²d/4gΔh

Pd V_o²

- Lf + Pd Δh = - ΔE

Lf = Pd Δh + Pu²/2

V=ωd => ω=V/2d

L_f = Pd_s + V²/2g P/α 4I/αl

energia dissipata dal freno

Distribuzione delle Pressioni:

All'inizio, quando il disco è nuovo possiamo ipotizzare che la pressione si mantenga costante lungo tutta la superficie di contatto.

Dopo un certo tempo si nota consumo di materiale al diametro esterno. Ciò si spiega introducendo una nuova ipotesi: il consumo del materiale e il lavoro compiuto delle forze d'attrito siano proporzionali.

dV = dS dA

volume di materiale asportato

dL_f = fp dA V dt = fpwr dA dt

H_e: dL_f = K dv

K dv = fp dA wr dt = K dS dt = fp wr dS dt

K dS = fp wr dt

dS/dt = fp wr/K

consumo all'unità di tempo

dS/dt dipende solo da pressione p e raggio r.

In precedenza abbiamo supposto che all'inizio la pressione fosse costante (cosø A), il consumo allora sarà proporzionale dici±pl raggio "re e crescer dello stem

caso B => la pressione non sarà più costante in tutti i punti ma verrà in modo inversamente proporzionale al raggio re => avremo la distribuzione di pressione del caso B

Poiché l'accostamento in dischi erigido e lungo la direzione radiale allora dopo un certo tempo il consuno e il materialeuniforme su tutti i punti di contatto del materiale d'attrito.

_dS / _dt = _KrP_{t f}P = K_dS/dt = K fwr = _r =FP

le pressione sono inversamente proporzionale al raggio re

FRENI A TAMBURO

Ipotesi di Reyé

dS/dt = ρw_m

w = cost => ρ = K.(ds/dt) = k / (ds/dt)

dS/dt = K

Il consumo di ds/dt dipende dal tipo di accostamento.

L'angolo β identifica la retta di accostamento.

s. = s₀ cos (θ - β)

ρ = ρ₀ cos (θ - β) => è distribuzione di pressione

O è la direzione della risultante delle forze normali

In e piccoli questa avrà componente nulla lungo la

direzione normale alla retta O

∫_{- d/2}^{+ d/2} a ρ n₀ s₀ sen (θ - β) = 0 => a ρ cos (θ - β) sen (θ - β) = 0

∫_{- d/2}^{+ d/2} => a ρ_T ∫ cos (θ - β) sen (θ - β) dθ = 0

∫_{- d/2}^{+ d/2}

cos (θ - β) sen (θ - β) dθ = 0

cos (θ - β) = cos θ cos β + sen θ sen β

sen (θ - β) = sen θ cos β - cos θ sen β

∫_{- d/2}^{+ d/2} (cos θ cos β + sen θ sen β) (sen θ cos β - cos θ sen β) dθ = 0

∫_{- d/2}^{+ d/2} (cos θ cos β sen θ cos β + sen θ sen β sen θ cos β - cos² θ sen β cos θ

sen β cos ² θ sen β - cos θ sen β sen θ) dθ = 0

= &int