Dimostrazioni Meccanica Applicata alle Macchine

FRENI

Vogliamo calcolare la coppia frenante Cf affinché la massa p/g si fermi in uno spazio △h; inoltre vogliamo conoscere l'energia dissipata dal freno per arrestare la massa.

equilibrio alla rotazione attorno a o

Cf + I _dω/_dt + T _d/2 - Pd/2 = 0

Per l'equilibrio della massa: T = p/g_dV/_dt

Cf + I _dω/_dt + (_p/_gdV/_dt ^d/₂ + Pd/2) = 0

V = ωd => _dV/_d = 2V/d dω = 2_dV/_dt

Cf + 2I _dV/_dt + (_p/_gdV/_dt + Pd/2) = 0

=> Cf = _p/_gdV/_dt - (2I/_dt + Pd/_d 2_p)

=> dV/_dt = -(_pAdd x Cf)/(2I/_dt + 2_p)

x = Vt => _dx = t_V ^ʃdV_dt => _dt = _dx/_V

dV

_V^dV = - (Cf - _Pd^2I + Pd)

Condizioni iniziali

V(t=0) = V_o e x=0

V(t=t+) = 0 e x=Δh

^V_o2 = (Cf - _Pd) / (2I ^t + _Pd) Δh = _{Vo I}}

⇒ Cf = _Pd + _Vo² + (P)_ΔI9)

L'energia dissipata dal freno può essere calcolata considerando il brano dell'energia cinetica, considerando il lavoro compiuto dalla forza e coppie seguite sul sistema. Deve essere pari alle variazioni di energia cinetica. Sicché il lavoro della forza di attrito è negativo, posso scrivere:

-L_f + PΔh = ΔE

-L_f + PΔh = ^V_o2 - ^Iω2

L_f = - PΔh + ^PV_o2 + ^Iω

V^ω=_αω⇒V^IV

alcool V^ω = PΔh + ^PV2 + ^4I

(1) ^α+2/2∫_-α/2sen³θ cosθ (cosβ cosγ - senβ senγ) dθ + senθ ∫_α/2sen²θ senγ cosβ dθ =

= ^α+2/2∫_α/2sen³θ senβ cosγ - cos²θ senγ cosβ dθ =

(2) senθ

cosβ cosγ - senβ senγ dθ + ∫_-α/2sen²θ senγ cosβ dθ =

- ^α/2∫_α/2cosβ senγ cosβ dθ = 0

(3)

cos (-α) = cos α

= -¹/₄ cos(β + γ) (cosα + cosα)

= 0

(2)

cosθ cosβ + senβ

cosγ

- senβ cosγ - senγ

senγ dθ = senβ cosγ ∫_α/2sen²dθ =

cosθ cosβ = cosβ - senγ θ = cosγ θ - senγ θ = 1 - cos^θ

= _{1 - cos^θ}/²

= ^α+2/2∫_-α/2senβ cosγ ∫_α/2(1 - cos2θ) dθ

FRENI A NASTRO

T₁ / T₂ = e^fβ

C_f = T₁ * d/2 - T₂ * d/2 = (T₁ - T₂) a/2

T₁ = T₂e^fβ => C_f = (T₂ e^fβ - T₂) d/2 = T₂ d/2 (e^fβ-1)

equilibrio della leva intorno a O :

• - F * a + T₂ * c = 0 => T₂ = F * a / c
• => C_f = F * a / c * d/2 (e^fβ-1) = a * d * F / 2 * c (e^fβ-1)

C_f = a * d * F / 2 * c (e^fβ-1)

cop pie frenante per una rotazione del tamburo oraria.

equilibrio lungo la direzione radiale di un elemento infinitesimo :

... - T * dθ - (T + dT) * rdθ * μb = p * b * r * dθ

sen θ = tg φ cos α ⇒

cos θ =

cos^2 θ =

⇒ cos θ =

1 - cos θ =

⇒ cos θ (1 +

=

=

= cos α

= cos α (1 + tg^2 φ cos^2 α)

= cos α

2 =

1 + tg^2 φ cos^2 α =

cos^2 α

= (1 +

=

cos α

cos φ

= cos α

=

(1 - sen^2 φ

= 1 - sen^2 φ cos^2 α

γ =

t

cos α

2

= cos^2

cos φ = cos φ'

γ =

γ^2 =

=

Innesti

C_m = Coppia motrice costante

C_x = C_o + Kw₂² Coppia resistente

C_f = Coppia trasmessa per attrito delle frizioni

• C_m - C_f = I₁ ^dw₁/_dt
• C_f - C_x = I₂ ^dw₂/_dt = C_f - (C_o + Kw₂²) = I₂ ^dw₂/_dt

• C_m - C_f = I₁ ^dw₁/_dt

w₁ = w₀ - (C_f - C_m)t/_I1

w_i = w₀ - (C_f - C_m)t/_I1

Variazione della velocità del motore in funzione del tempo durante l'innesto

• Cf - Cx = I2 dw2/dt = Cf - Co - K2w22
• Cf - Co = Kw22 + I2 dw2/dt
• (Cf - Co) - K2w2 = I2 dw2/dt => dt = -I2/(Cf - Co) - Kw22 dw2

Lubrificazione

Equazioni di Reynolds

equilibrio di un elemento di fluido

equilibrio della trazione lungo x:

p(x) dy dz = [p(x+dx) dy dz + z(y+dy) dx dz - z(y) dx dz] = 0

In generale vale la seguente relazione:

f(x+dx) - f(x) = df/dx dx

=> possiamo scrivere [-p(x+dx) dy dz] + [p(x) dy dz] =

1. = -∂p/∂x dy dz dx
2. = -∂z/∂y dx dy dz

=> -∂p/∂x dy dz dx - ∂z/∂y dx dy dz = > ∂p/∂x = ∂z/∂y

Considerando l'ipotesi di fluido Newtoniano anche la portanza si mantiene costante lungo x si ricava:

Hp. fluido Newtoniano ∂²v/∂y² = μ ∂v/∂y

Hp. ρ = cost lungo x <=> ∂p/∂x = dρ/dx

dρ/dx = ∂z/∂y - μ ∂²v/∂y²

p_m = c₁μVα ^{1 - h₂}

h₁^*

c₂b₁⁶

h₁^* = h₁h₂ = h₁h₂ (a c₂ + b c₂ + a c₁ + b c₁)

c³ + b c₃²

_p= c₆b₁₃

h_t- h₂(a c₂ + b c₁) (a c₂ + b c_c1)

p_m = c₄μVα ^{1 -}h₂^{1 - h₁*}

h_t = h₁h₂ (c_a + 2_bc) ^{(a c₂ + b c_c2)} valore massimo della pressione

valore dell'altezza _1^* nel vuoto

PATTINO PIANO CON IMMISSIONE FORZATA

equazione di Reynolds: dp = c_a^μV

d^{a1 - h₁3μV 1- h₁ (1 - h₁*)}

h₂Vα (b ²)

2

V^{apq - h₁}

q = 2 h₁b₂^* c₂ = velo _9^h1

V_mo V_t

mib2c1* 0 b

per il primo tratto, dx 12μVα

dp_{- 12μVα}

dx h³

tratto dp - 12μVα dx 3

per il tercolo dx

h₁c₂

p_m/α - p_m/b

Abbiamo tre incognite: p_m, q₁, q₂

Considerando che q = q₁ + q₂

impostiamo e risolviamo un sistema di tre equazioni con tre incognite.

p_m

α - 12μVα

h³ μ^m

p_m/b

12μVα

h³ q = q₁ + q₂