Fisica 1: dimostrazioni e formule

Dimostrazioni

Dinamica:

1^o principio: Esistono infiniti sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali ogni punto materiale libero ha velocità costante.

2^o principio: In un sistema di riferimento inerziale, ogni volta che un corpo ha moto accelerato, esiste (almeno) una forza risultante. Tra forza risultante e accelerazione esiste la relazione:

F_r = m⋅a     ( F_r = dp/dt   o   (mv̇) = m⋅a )

3^o principio: (Principio di azione e reazione)

Se un corpo A applica una forza su B allora B applica su A una forza uguale e contraria.

Principio sovrapposizione: La somma di una forza non dipende dalla presenza di altre forze.

(Se abbiamo più forze su un punto materiale è come avere un'unica forza, che è il risultante di tutte)

Lavoro ed Energia

Sappiamo che dL = F_r * dr

Quindi il lavoro si definisce "integrale di linea":

∫_A^B F_r * dr = ∫_A^B (Fx dx + Fy dy + Fz dz)

( Fx, Fy, Fz) (dx, dy, dz ) =

= ∫_A^B Fx dx + ∫_A^B Fy dy + ∫_A^B Fz dz

Fx (x, y, z)

Sappiamo inoltre che P = dL/dt, ovvero: la potenza è quanto rapidamente faccio il lavoro.

Teorema energia cinetica (o forze vive)

dL ≡ F_i ⋅ dr_i = m ⋅ a ⋅ dr_i = m ⋅ dv_i^- dt = m ⋅ v ⋅ dv_i^- dt = d (1/2 mv²)

Ec = 1/2 mv² e quindi: dL = d(Ec)

L_A→B = ∫_A^B dL = ∫_A^B d(Ec) = Ec(B) - Ec(A)

Quando una F agisce su un corpo e ne provoca uno spostamento, compie su di esso un lavoro.

Il lavoro compiuto dalla F per spostare il corpo da un punto A ad un punto B è... alla variazione di Ec del corpo tra A e B.

Lavoro delle Forze

Forze conservative: il lavoro non dipende dal cammino

F conserv. sse: ∫_A1^B F ⋅ dr^- = ∫_A2^B F ⋅ dr^- ∀ r₁, r₂.

• Porto il 2° membro a sx: ∫_A1^B F ⋅ dr₁^- - ∫_A2^B F ⋅ dr₂^- = 0

In poche parole, F è conservativa se e solo se ∫_β F ⋅ dr^- = 0 (Circuito ϕ F = 0).

Es. E(P, q, u, z) L_A→B = - (E_f^B - E_P^A) → il lavoro non dipende dal cammino.

• Forza peso (conservativa) → costante su y:

P_- = -mg j^-

L_A→B = ∫_A^B P_- ⋅ dr^- = ∫_A^B (-mg j^-) ⋅ dr_i^-

-mg ∫_A^B j^- ⋅ dr = -mg ∫_A^B j ⋅ (dx^-i + dy^-j + dz^-k) = -mg ∫_A^B dy = -mg (y_B - y_A)

Energia potenziale:

-mg (y_B - y_A) = (-mg y_B + mg y_A)

EP = -mg y + C

In generale se Ho F = cost:

L_A→B = ∫_A^B F_- ⋅ dr = ∫_A^B F₃ dy = F_y (y_B - y_A)

Teorema di König

E_c = E_c + ½ M N v_c²

E_c: Ec in un sistema inerziale

E_c^*: Ec dal centro di massa; dopo l'urto = 0.

½ m v_c^*2 non puà cambiare per il 1° teorema del centro di massa (urto perfettamente anelastico, max perdita di energia possibile).

Abbiamo ipotizzato che F(t-d) = costante durante l'urto, tutte le forzesono trascurabili.

Statica dei fluidi

Pressione a livello microscopico

Hp: in ogni direzione ho lo stesso numero di particelle collineari, isomorfa interazioni nulle, tutte con massa uguale.

F_z = ^dp/_dt (quando ho quantità di moto, ho una forza).

Hp: urto elastico.

Ny non cambia, Nx sì, quindi la quantità di moto è:

Su Ny = 0   Su Nx: Δp_x = -m N v_x - (-m N v_x) = 2m N v_x

Quanto è? ^2a/_vx

La forza lungo x è:

F_x: ^Δp_x/_t = ^{2m N v_x}/_2a = ^m/_a v_x²   F_x RIS ^∑/_i=1 ^m/_a N v_xi²

Pressione:

P = ^F_x/_a² = ^m/_a² ∑^m/_a N v_x² = ^m/_V ∑^m/_i=1 v_xi²

Equazione statica dei fluidi su cubetto

Dimostrazione Teorema Clausius:

Genere meccanico: 1 macchina che scambi Q_n con M sorgenti.

Tesi da dimostrare:

•  ∑^m_i=1 (Q_i/T_i) ≤0
• II Principio Termodinamica

Entropia:

• ∑Q_i/T_i ≤0
• ∫dQ/T ≤0
• ∫₁²dQ/T = ∫₁²(M_R/V)T
• S_IR, R₁₂: l'entropia non dipende dal cammino

Espansione libera con entropia tra stato 1 e stato 2:

Visto che i 2 sistemi hanno stessa T, uso una isoterma irreversibile.

du = dq - dsl (1^o principio)

dQ - dS_L = PdV = (MR_T/V) dV

∫₁²(MR_V/VT) dV = ∫₁² (MR_T/V) dV - MR (ln V₂ - ln V₁)

= MR ln (V₂/V₁) = TAS