Fisica 1: dimostrazioni e formule

Dimostrazioni

Dinamica:

1^o principio: Esistono infiniti sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali ogni punto materiale libero ha velocità costante.

2^o principio: In un sistema di riferimento inerziale, ogni volta che un corpo ha moto accelerato, esiste (almeno) una forza responsabile di tale accelerazione. Tra forza risultante e accelerazione esiste la relazione: F = m·a (F = dp / dt) (d / dt (mv)) m·dv / dt = m·a

3^o principio: (principio di azione e reazione) Se un corpo A applica una forza su B allora B applica su A una forza uguale e contraria.

Principio sovrapposizione: La somma di una forza non dipende dalla presenza di altre forze. (Se abbiamo n forze su un punto materiale è come avere un'unica forza che è il risultato di tutte).

Lavoro ed energia

Sappiamo che dL = F·dr

∫_A^B dL = ∫_A^B F·dr Poiché il lavoro si definisce integrale "di linea" = ∫ lungo il cammino ∫_A^B F·dr = ∫_A^B (F_x dx + F_y dy + F_z dz) = (F_x, F_y, F_z) (dx, dy, dz) = ∫_A^B F_x dx + ∫_A^B F_y dy + ∫_A^B F_z dz F_x (x, y, z)

Sappiamo inoltre che W = dL / dt, ovvero: la potenza è quanto rapidamente faccio il lavoro.

Dimostrazioni

Dinamica:

1° principio: Esistono infiniti sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali ogni punto materiale libero ha velocità costante.

2° principio: In un sistema di riferimento inerziale, ogni volta che un corpo ha moto accelerato, esiste (almeno) una forza responsabile di tale accelerazione. Tra forza risultante e accelerazione esiste una relazione: F = m•a \[ \left( \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \right) \left( \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) \right) \frac{m\cdot \delta \mathbf{v}}{\delta t} = m \cdot \delta \mathbf{a} \]

3° principio: (principio di azione e reazione) Se un corpo A applica una forza su B, allora B applica su A una forza uguale e contraria.

Principio sovrapposizione: La somma di una forza non dipende dalla presenza di altre forze. (Se abbiamo più forze su un punto materiale è come avere un'unica forza, che è il risultante di tutte).

Lavoro ed energia

Sappiamo che dL = F•ds

Proprio il lavoro si definisce "integrale di linea":

Sappiamo inoltre che L' = \(\frac{dL}{dT}\) ; ovvero la potenza è quanto rapidamente faccio il lavoro.

Teorema energia cinetica (o forze vive)

dL ≣ F⃗ ⋅ d r⃗ = m ⋅ a⃗ ⋅ d r⃗ = m ⋅ d v⃗ /dt ⋅ d r⃗ = m ⋅ d v⃗ ⋅ d v⃗ /dt = m ⋅ d r⃗ ⋅ d v⃗ /dt

m ⋅ d v⃗ ⋅ v⃗ = 1/2 m d(v²) = d( 1/₂ m v²)

d((v⃗)²) = 2 v⃗ ⋅ d v⃗

E_c ≢ 1/₂ m N² e quindi: dL = d(E_c)

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La^B_A = ∫_A0^B dL = ∫_A0^B d(E_c) = E_c(B) - E_c(A)

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Quando una F agisce su un corpo essa provoca uno spostamento compie su di esso un lavoro.

Il lavoro compiuto dalla F per spostare il corpo da un punto A ad un punto B = alla variazione D E_c del corpo tra A e B.

Lavoro delle forze

F è conv se: ∫_A1^B F̅ ⋅ d r⃗ = ∫_A2^B F̅ ⋅ d r⃗ ∀r₁,r₂.

Poniamo il numero a SX:

• ∮_A0^B F̅ ⋅ d r⃗ - ∮_A0^A₂ F̅ ⋅ d r⃗ = 0
• ∮_A0^B F̅ ⋅ d r⃗ + ∫_A2^B F̅ ⋅ d r⃗ = 0

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In poche parole, F̅ è conservativa se ∮_S β ^F ⋅ d r⃗ = 0 (circuito di β^F = 0) e ∃ E_p(x, y, z) ∄ L_A→B = - (E_p^B - E_p^A) → il lavoro non dipende dal cammino

• Forza peso (conservativa) → costante su y.

P̅ = -mg ĵ