Dimostrazioni fisica Parte 2

GAS PERFETTI: TEMPERATURA ED ENERGIE MOLECOLARI; VELOCITÀ QUADRATICA MEDIA

MODELLO DEI GAS PERFETTI: le molecole sono considerate come particelle puntiformi che non urtano mai l'un l'altra ma che urtano, invece, le pareti del recipiente. Si assume che questi un urto elastico e che, perciò, le molecole non perdano energia nell'urto. La variazione di direzione implica una variazione della quantità di moto.

Considero una molecola:

• - v²: velocità dopo l'urto

F Δt = Δp

_F = forza media che le molecole esercitano sulle pareti e viceversa.

F Δt = Θmv - mv (segno opposto perché va in verso opposto.)

_F = -^2mv/_Δt (spazio velocità ^2L/_v)

_F = -^2mv/_2L ─> ^mv2/_L (parete ─> molecola)

quindi: _F = ^mv2/_L (molecola ─> parete)

N → numero di molecole totale

• 1⁄3 urto sull'asse x
• 1⁄3 urto sull'asse y
• 1⁄3 urto sull'asse z

F_x = ^N/₃ mv²/_L

P = _Fx/^L2 ─> _Fx/^L2 = ^N/₃ mv²/_L³ = V (p = ^N/₃ mv²)

PV = ^N/₃ mv² = doppio dell’energia cinetica (2 · 1⁄2 mv²)

GAS PERFETTI: TEMPERATURA ED ENERGIE MOLECOLARI; VELOCITÀ QUADRATICA MEDIA

MODELLO DEI GAS PERFETTI: le molecole sono considerete come particelle puntiformi che non urtano mai l’un l’altra ma che urtano invece le pareti del recipiente. Si assume che questi un urto elastico e che, presso, le molecole non perdono energia nell’urto. La variazione di direzione implica una variazione della quantità di moto.

Considero una delle molecole: - v² vedrà dopo l’urto

FΔt = Δp

F forza media che le muro esercita sulla molecola e viceversa.

FΔt = 2mv - mv segno opposto perchè va verso opposto.

F = - 2mv_τ

spazio velocità

2L_τ

F = - 2mv²/L

quindi: F = + mv²/L

N numero di molecole totali

1/3 urto sull’asse x

1/3 urto sull’asse y

1/3 urto sull’asse z

F_x = N/3 mv²/L

F_x/L² ➡ N/3 mv²/L³

P = N/3 mv²

PV = ₂/³ N ( ₁/² m v² )

PV = nRT

₂/³ N Ec = nRT

Ec = ₃/² kT

Ec = ₃/² R/Na T

Ec = ₃/² RT/N

k (costante di Boltzmann)

L'energia cinetica è proporzionale alla temperatura assoluta.

₁/² m v̅² = ₃/² kT

v̅² = _3kT/_m

√v̅² = √_3kT/_m

Velocità quadratica media (per evitare di avere valori negativi)

Per ogni valore di temperatura, c'è un insieme di velocità più probabile. Essa è da poco inferiore alla velocità quadratica media.

• Calore specifico molare

- A Volume Costante

C^V_mole = ¹⁄_n ^ΔQ⁄_ΔT

ΔQ = ΔU + L

L=0 perché V é costante

ΔU = ³⁄₂kNΔT - ΔQ

C^V_mole = ¹⁄_n ³⁄₂ kNΔT ⁄ΔT = ³⁄₂ ^kN⁄_n = Na = ³⁄₂kNaR

C^V_mole = ³⁄₂ R

- A Pressione Costante

C^p_mole = ¹⁄_n ^ΔQ⁄_ΔT

ΔQ = ΔU + L

L = p ΔV = nR ΔT

ΔU = ³⁄₂kNΔT

ΔQ = ³⁄₂ (kNa) n ΔT + nRΔT = R

ΔQ = ³⁄₂ RnΔT + nRΔT = ⁵⁄₂ nRΔT

C^p_mole = ¹⁄_n ⁵⁄₂ nRΔT ⁄ΔT

C^p_mole = ⁵⁄₂ R

Equazione di Bernoulli

P₁ + ¹/₂ ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ¹/₂ ρv₂² + ρgh₂

• A, B istante iniziale
• C, D istante finale
• S₁ area sezione A
• S₂ area sezione B
• F₁ , F₂ forze che agiscono sulla massa di fluido

L₁ = P₁ ΔV₁

L₂ = -P₂ ΔV₂

ΔV₁ = ΔV₂ (perché la portata è costante)

• Le forze esercitate dalle due forze deve essere uguale alla somma dell'energia cinetica più l'energia potenziale (applicazione della legge di conservazione dell'energia)

L₁ + L₂ = ΔEc + ΔU

- L₁ + L₂ = P₁ ΔV₁ - P₂ ΔV₂ = ΔV(P₁ - P₂)

- ΔEc = ¹/₂ Δm v_{2² - ¹/2 Δm v1²}

ΔEc = ¹/₂ ρ ΔV v_{2² - ¹/2 ρ ΔV v1²}

- ΔU = Δm gh₂ - Δm gh₁

ΔU = ρ ΔV g h₂ - ρ ΔV g h₁

L₁ + L₂ = ΔEc + ΔU

ΔV(P₁ - P₂) = ₁/₂ ρ ΔV v_{2² - 1/2 ρ ΔV v1² + ρ ΔV g h2 - ρ ΔV g h1}

(assumo che la sezione A ha uguale alla sezione C e che la sezione B ha uguale alla sezione D perché Δt è molto piccolo.)

Semplifico ΔV e sposto tutti i termini con indice 1 a sinistra e quelli con indice 2 a destra.

P₁ + ¹/₂ ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ¹/₂ ρv₂² + ρgh₂