Algebra e Geometria - Teoremi e dimostrazioni

Algebra e Geometria

Teorema fondamentale dell’aritmetica

Enunciato > 1

Ogni numero naturale o è un numero primo o si può scrivere come prodotto di numeri primi. Tale

rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori.

Dimostrazione (per il secondo principio di induzione)

= 2):

Base di induzione ( il teorema vale banalmente perché 2 è un numero primo.

0 .

Ipotesi di induzione: supponiamo vero il teorema per i numeri minori di

Tesi di induzione: anche per vale il teorema.

Passo di induzione:

= ∗ , 1 < < 1 < < .

Se non è primo allora con e diversi da e da 1. Quindi e

< , = ∗ ∗ … ∗

Dato che allora vale l’ipotesi di induzione: ( è prodotto di numeri primi).

1 2

< , = ∗ ∗ … ∗

Dato che allora vale l’ipotesi di induzione: ( è prodotto di numeri primi).

1 2

= ∗ = ∗ ∗ … ∗ ∗ ∗ ∗ … ∗

Quindi , ovvero è un prodotto di numeri primi.

1 2 1 2

Esistenza di infiniti numeri primi

Enunciato , :

Per quanto grande si scelga un numero naturale esiste sempre un numero primo maggiore di i numeri

primi sono infiniti.

Dimostrazione (per assurdo) = { , , … , } 1 < < < ⋯ <

Supponiamo che i numeri primi formino un insieme finito dove

1 2 1 2

.

( )

= ∗ ∗ … ∗ + 1, ∉ >

Consideriamo il numero con in quanto (quindi non è un

1 2

numero primo). = ∗ ∗ … ∗ ∗ ∗ … ∗ ∈

Per il teorema fondamentale dell’aritmetica con (sono numeri

1 2 1 2

primi). ( )

∗ ∗ … ∗ + 1 = ∗ ∗ … ∗ 1 = ( ∗ ∗ … ∗ ) −

Possiamo quindi dire che , da cui

1 2 1 2 1 2

( ).

∗ ∗ … ∗

1 2

∈ = , 1 = ( ∗ ∗ … ∗

Scegliamo , numero primo. Sicuramente e quindi per una quindi

1 1 1 1 2

) − ∗ ∗ ∗ … ∗

( ).

1 2

1 = &lo