Dimostrazioni teoremi Fondamenti di algebra lineare e geometria

EM

& sottospazio

> in

Notor

vo = -

M

=> Vot +

Sie

⑧ M cisé +

No v

ve + = /

↳

we

dinastire -

Asso +

H vo

vo + =

① Me vol

wet

⑧ Vot M

= v +

Drin : Allora

⑯ werM

sin :

n'el

-Vetr

w con

↓ )

per Cisé

# votutu' :

= m)

(m M

w vo

=

V +

+ +

= Ell

↳

⑧ Sir M ,

cise

m'e miz

w m"

No + : ro +

=

, #Prx) n

2 u

+

= -

(e" u) M

w 2 eve

= +

= -

-M 2) *

Tesi

③ :

Fer weM

vole

sott se

e

wo -

, nel

U Me

wo +

- Wel

wotMr

2- ( ma)e

No

wi

=> Me

M

V +

= - =

- =

-

0 - E

⑧ K)

Per M/mxm

Ac

Agri vole :

,

AT A

det =

Dimi A

A

Ponismo bji

(aij)

= = .

,

aij i

6ji

Dove J

= ,

①V (0) sow(o)

rol

Su

o son = Marti

di

o

Esprimento 0 leie

una

con

e 8 ! : 0 o'

5

0 0030 00

0

00 ..... 0

= =

, . . _

Si is

Attine O'

, !

000 00 ....

o oro

0

, 0

= ... mambi

quind on

composizione uts

Quindi entrambi entramb

o

s Pari

v son

e

tali o

Disponi

, o

sono

e e

①V vole

e Su

o :

2001, 9001 mo(a) =

...... a

a) 98)

= m)

......

+ m

infatt allas

a(i) Gio(i)

F

ve 045

= =

AT

det

=> =

det

lef 60016001). Gewerful

Erasm Se(0)

= . . .

⑧ Göple. bämbal

Göte

Sonlo

Eresen :...

=

plaf 6)

da

=

Essend ama)

Neo)

ap ·.....

·

=

↳ Sow/5)ap5() (m)

a) amJ

...

-Se de

8 Sorap5)

Ejes am5(m)

a ( ..... =

·

③ Dimostrare che un endomorfismo L di uno spazio vettoriale di dimensione finita

VK `e diagonalizzabile se e solo se esiste una base B di VK i cui elementi sono

tutti autovettori di L.

Proposizione 3. Dati un endomorfismo L di VK e una base B = v1,v2,...,vn di VK, la matrice ALBB

`e diagonale se, e solo se, vj `e un autovettore di L, per ogni j = 1,2,...,n.

Dim : Posto Alo-lais)

=> ,

lp if5

1

is

per 2

per m

aigo =

. ,

...

,

Sostituisco in :

*

4)

wj) 1

ju + ...

+... 5

+2x + angUm

a a

= =

. -

Si (eg)-age

attene 5

: m

...

Quind definizione

la

rende vera

27

ogni

Per Im

de de

hp 7 ek E c

.

.

, ,

.

15 v5

((vf) Combino

1 cow *

5 n

= = ...

, dj

ju + -f(z+ + amyVm

& owtore

a + ovn

+

=

... ..

Vit=Als Diagonale

=> aito En

④ Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale VK di dimensione finita n,

B una base di VK e λ K. Dimostrare che λ `e un autovalore se e solo se

∈

vale det(ALBB −λIn) = 0.

Proposizione 4. Sia L un endomorfismo di VK, B una base di VK eλ∈K. Allora

(2)

λ e un autovalore di L se,e solo se, det −λIn = 0.

Dim :

JoeV (2) -Je

wo

: , 4 Xv)

I (Xhx

Passano coordinate

a = Xxr

weV Xe X4

Quxe

+

: =

XCul-JXv

Fo eV Xe exe

:

weV AloX-XXv

= Xe+uxe

: Si TOGLIE

V son

XeK" .

7 AioX-XX

XfCuxe w

:

: Aio-XInXe

* X Auxe

XcK Cuxe

+ =

XIn)X

(Aio

EXck" XyCuxe Buxe

=

: -

(Ac-(n)

det o

= *

Siano A, C M(n × n, K ). Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti: (i) C

∈

⑤ `e invertibile e C−1AC `e diagonale; (ii) le colonne di C sono tutte autovettori di A e

formano una base di Kn.

Proposizione 26.5. Siano A, C M(n × n, K). Sono equivalenti le seguenti asserzioni:

∈

(i) C `e invertibile e C−1AC `e diagonale;

(ii) le colonne di C formano una base di Kn e sono tutte autovettori di A.

Dim Invertionesse

Ricordiamo de C è .

: C' :... c "

colore

la delle 2

foniglia =

,

Km

.

di

bose

una alla

Investile

I Se C è

non

entrambe fola equivalente

quind

sans ,

Supprioms (investibile . Km

Bos

(C) 2

Ge (

C d

>

= -

...

,

F vole

>K AX

X-

FD * > :

: :

= A A

A

CAC = ,

Applicano &

18 . Al

CAC-Amer

B(c)

C'AC tutti

disgondesse vettor st

è

=> i A

(C) autovetter F

↑ d cisé

sens ·

,

⑥

Teorema 6. Date due matrici simili A, B M(n × n, K ), dimostrare che esse hanno lo stesso

∈

polinomio caratteristico. K)

M/nxm

AB simile hp

Siano e .

,

S

Allora Pold)

Ps(X)

Th : :

: =

Dim IMPORTANTE Kinetble

Le M/uxn

Per hp existe

. ,

1

-

CAC B

t c =

. . det/CAC XIm)

(8 X[m)

Po(t) det

= =

- -

[C )

(rivendo In Ottenso

come : I

(

det/C X())

(AC =

-

= det)((A-X)() ()

/Racco

=

= OX

A

Teorem

Richiamo Binet

d

: k)

M(mxn (AB)

A 8.

A det

det

B det

=

e .

= .

,

, C' det/A-XIn)

det det C

= .

.

I I

det/A-SIm) sowo NUMER

dat C

dat

= . . -

Posso CAMBIARE

I

ORDINE

x[n))Binet)

(n) det(A

det

= -

-XFm)

(A Po(4)

det

1 =

.

= ⑨

Teorema 7. Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta r di parametri direttori l, m, n

sia parallela al piano π di equazione ax + by + cz + d = 0 e:

al + bm + cn = 0.

Dim Ne

Se gli

Me diretioni

spazi

sono

e

: M

Ne

allas vole

i

· 2 e i ..

Mo u)

<(l m

= ,

,

I de

la

del

punt solusion

piano sens

Sistema t

by 0

ax c +

+ + =

: che

Sappiamo del Sistem

le sol

Me

Xo Insieme

sono delle di

+ sol :

>

: -

↓ by c

+

+

ax 0

=

PARTICOLARE

SOL

Allora : (l (lim

No u)

n)

Me Me cioé

m e

, ,

,

by

è Di

sol ce

ax

+ + = 0

Quindi alben

es o

=

⑧

Teorema 8. Condizione necessaria e sufficiente affinché i piani

π: ax+by+cz+d=0 e

π′: a′x+b′y+c′z+d′=0 ex/

siano paralleli e:

Dimi Il'

Siamo Il gli di it

et

spati direttori

e e

l'

Thi M = Alles

N'

Lemma M-dim

dis e

se =

: :

Thi M'

M (MN)

dim 2

= = .

I

Mrl' M M

=> = = (MM)

M

dim dim

=2 = -

=

Per (M11/

hp dim quindi

# e :

=

. all'

MrM's M e hp

Il dim=a

us per e

.

l'

Il 1 Il sim-2

di

è .

sorospazio

- M

M Mil

l

Me

=> =

,

l'un sim--e M'stin-a

Mill'è di

sottospazio M

l'

M l' M

M

=> =

= =

= ⑭

Riconismo M-M'

Th o

lose

in

La e

:

Lemma bosto dim(MrM/

dimostrare e

=

6

by

π c

ax +

+ +

: 0

=

↳> M by

sottospazio c

sol +

ax 0

+ =

= :

61

Tax 6'y c +

+ + 0

=

M'

↳ 6y c

ax

son =

sottospazio +

:

= + = 0

E

=

Mil 6y c

+

ax 0

+ #

=

6 c

& =

ax y

+ + = 0

M')

/Mr

dim intens

il ha cosoz

=

= :

2)

E 1

V V

n = -

- =

-

n 3

= ②

⑨ IMPORTANTE

Teoreme Couchy Schwere

-

Vi

Sa è spazio vestoriale euclideo

una

Vi alla

e, Le e

e :

Iw-) Il m Il Il Il

me

= .

.

im

6(mm)